大學(xué)微積分課程的延伸
——分?jǐn)?shù)階微積分

宋 傳 靜

(蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

一、引言

微積分由德國(guó)人萊布尼茨(Gottfried Leibniz，1646-1716)與英國(guó)人牛頓(Issac Newton，1643-1727)分別獨(dú)立發(fā)明，它是大學(xué)里的一門基礎(chǔ)課程，它的思想和方法無(wú)處不在[1][2]。自從牛頓、萊布尼茨建立微積分，經(jīng)過(guò)幾百年的千錘百煉，微積分已形成一整套經(jīng)典的理論框架和表達(dá)方式。目前為止，大學(xué)生接觸到的微積分，指的都是整數(shù)階的微分和積分[1][2]，關(guān)于微積分方面的教學(xué)改革也都是基于整數(shù)階微積分給出的[3][4]。微積分課程一旦結(jié)束，學(xué)生便認(rèn)為已經(jīng)掌握了所謂的微積分學(xué)。實(shí)際上，分?jǐn)?shù)階微積分也是存在且有重要意義的，此時(shí)所求微分或積分的階次就會(huì)由通常的整數(shù)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)。學(xué)生的學(xué)習(xí)不能止于經(jīng)典，給學(xué)生留下思考的空間是很有必要的。因此，在學(xué)生已掌握一元函數(shù)與多元函數(shù)的整數(shù)階微分學(xué)與積分學(xué)后，可適當(dāng)給學(xué)生介紹些微積分的應(yīng)用或后繼發(fā)展，例如分?jǐn)?shù)階微積分的概念及其應(yīng)用。

以左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分為例的教學(xué)已在課堂上實(shí)踐過(guò)，課堂上介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念，并舉例說(shuō)明其用法及性質(zhì)。本科生課堂上講到的關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的知識(shí)將在下面列出來(lái)，希望能夠拋磚引玉，激發(fā)大學(xué)生及研究生對(duì)微積分的內(nèi)容作進(jìn)一步的探索。

二、預(yù)備知識(shí)

先介紹兩類特殊函數(shù)：Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)，它們?cè)诜謹(jǐn)?shù)階微積分的定義及運(yùn)算中經(jīng)常用到[1][7]。

(1.1)Γ(z+1)=zΓ(z)，Γ(-n)=，

n=0,1,2,…

三、左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分

1.左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分

設(shè)u(x)為一函數(shù)，x∈(a,b)，μ>0，則

稱為次數(shù)為μ的左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分[7]。

由這個(gè)定義可得：

第一，當(dāng)μ=n為正整數(shù)時(shí)，有

在一般的教科書(shū)上，上式表示對(duì)函數(shù)u(t)求普通意義下的n重積分，即普通意義下的積分是分?jǐn)?shù)階積分的特殊情況。

第二，定義中，令a=0，則當(dāng)u=1/2時(shí)，可得

當(dāng)u=1時(shí)，可得

當(dāng)u=3/2時(shí)，可得

由此可看出，左Riemann-Liouville型u階積分是一種加權(quán)積分，其中u<1時(shí)，積分變量ξ距離積分上限t越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的權(quán)值越小；u=1時(shí)，其權(quán)值恒為1；u>1時(shí)，積分變量ξ距離積分上限t越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的權(quán)值越大。

第四，左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分滿足如下線性關(guān)系

2.左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是通過(guò)將普通意義下的導(dǎo)數(shù)與左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分算子作復(fù)合運(yùn)算得到的。

設(shè)u(x)為一函數(shù)，x∈(a,b)，μ>0，n是大于μ的最小整數(shù)，則

稱為次數(shù)為μ的左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[7]。

由這個(gè)定義出發(fā)，可得：

第一，當(dāng)μ=n為正整數(shù)時(shí)，

當(dāng)μ=n-1為正整數(shù)時(shí)，

即普通意義下的導(dǎo)數(shù)(整數(shù)階導(dǎo)數(shù))是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的特殊情況。

第二，左Riemann-Liouville型μ階導(dǎo)數(shù)也可視作一種加權(quán)積分，積分變量ξ距離積分上限t越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的權(quán)值越小。也正因如此，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被認(rèn)為具有記憶性。

第三，左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿足如下線性關(guān)系

四、舉例說(shuō)明

課堂上共給出如下3個(gè)例題，它們均是從文獻(xiàn)[7]中整理組織的。

例4.1 當(dāng)t>a時(shí)，求u(t)=C(C為常數(shù))的μ階左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)，其中n-1<μ

解：由左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義可得

特別地，當(dāng)a=0，μ=1/2時(shí)，可得

由例4.1可以看出，Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階意義下，對(duì)常數(shù)求導(dǎo)不為零，而普通意義下(整數(shù)階求導(dǎo))，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。因此，Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分與整數(shù)階微分之間有一定的差別。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，引入分?jǐn)?shù)階微積分的概念是對(duì)傳統(tǒng)微積分的一種完善和補(bǔ)充。

例4.2 試求函數(shù)u(t)=(t-a)ν，ν>0的左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)。

解：由左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分的定義出發(fā)，并令τ=(ξ-a)/(t-a)，則有

再由左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義可得

特別地，當(dāng)a=0，u(t)=t，μ=1/2時(shí)，可得

解：利用例4.1和例4.2的結(jié)果可得

由此可得

即左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分算子滿足交換律。實(shí)際上，這個(gè)結(jié)論是始終成立的，即對(duì)于任意的μ,ν>0，

這個(gè)結(jié)論可以用左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分的定義進(jìn)行證明，這里就省略了。

同理可得，左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不滿足交換律，只有當(dāng)函數(shù)u(t)滿足一定的條件時(shí)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的運(yùn)算才能滿足交換律，這里也不詳細(xì)介紹了。

五、結(jié)論

課堂上只簡(jiǎn)單給出左Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分的定義，并舉例說(shuō)明其用法。實(shí)際上，分?jǐn)?shù)階積分的連續(xù)性與絕對(duì)連續(xù)性定理、分?jǐn)?shù)階微積分的萊布尼茨公式、分?jǐn)?shù)階微積分的中值定理等均已有研究。除此之外，右Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分及Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分的相應(yīng)成果也均有研究，感興趣的同學(xué)可以閱讀相關(guān)資料進(jìn)行了解。