王良軍

[摘 ?要] 函數(shù)是刻畫變量之間聯(lián)系關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，也是初中數(shù)學(xué)十分重要的知識內(nèi)容，在中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn). 該類問題的突破除了需要掌握函數(shù)的知識定理，還需要使用一定的技巧方法. 文章以一道函數(shù)綜合題為例，開展思路突破，多解探析.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);存在性;等腰三角形;數(shù)形結(jié)合

考題呈現(xiàn)

（2019年鹽城中考）如圖1，二次函數(shù)y=k（x-1）2+2的圖像與一次函數(shù)y=kx-k+2的圖像交于A，B兩點，點B在點A的右側(cè)，直線AB分別與x軸、y軸交于點C和點D，其中k<0.

（1）求A，B兩點的橫坐標(biāo).

（2）若△OAB是以O(shè)A為一腰的等腰三角形，求k的值.

（3）二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數(shù)k，使得∠ODC=2∠BEC？若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.

思路突破

上述屬于二次函數(shù)與一次函數(shù)的壓軸題，題干給出相應(yīng)函數(shù)的解析式，以及圖像上關(guān)鍵點的位置關(guān)系. 題目包含三問，涉及點的坐標(biāo)求值、特殊情形下參數(shù)k的求值，以及存在性問題. 下面對其解題思路加以探究.

1. 聯(lián)立函數(shù)，定位交點

第（1）問求A，B兩點的橫坐標(biāo)，考慮到上述兩點就是二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，因此實際上是傳統(tǒng)的交點問題，只需要聯(lián)立兩函數(shù)的解析式即可，即聯(lián)立y=k（x-1）2+2，y=kx-k+2， 可解得x=1或x=2. 由于點B在點A的右側(cè)，所以點A的橫坐標(biāo)為1，點B的橫坐標(biāo)為2. 另外，還可以推知A（1，2），B（2，k+2）.

2. 分類等腰，討論腰長

第（2）問求△OAB是以O(shè)A為一腰的等腰三角形時k的值，屬于等腰三角形存在性問題，而k屬于二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式中的參數(shù)，其數(shù)值大小影響點的坐標(biāo)，而點的坐標(biāo)關(guān)系到線段長，因此此問基本的解題思路是“利用等腰性質(zhì)→提取等長線段→構(gòu)建代數(shù)方程→解析確定k值”. 題干只說OA是等腰三角形的一條腰，但并沒有說明另一條腰，因此存在OA=AB和OA=OB兩種情形，需要分類討論.

當(dāng)OA=AB時，已知點A和點B的坐標(biāo)分別為（1，2），（2，k+2），根據(jù)兩點之間的距離公式可求得OA= ，AB= ，于是有 = ，解得k=2（舍去）或k=-2.

當(dāng)OA=OB時，可求得OB= ，于是有 = ，解得k=-1或k=-3.

綜上可知，若△OAB是以O(shè)A為一腰的等腰三角形，k的值可為-1，-2或-3.

3. 提取模型，數(shù)形結(jié)合

第（3）問設(shè)定了點E的位置，要求分析是否存在k值使得∠ODC=2∠BEC，屬于角度關(guān)系中的存在性問題. 考慮到角度關(guān)系涉及倍數(shù)，因此較為常規(guī)的方式是在幾何圖形中構(gòu)建等角，將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)角的大小分析，然后借助特殊圖形的性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的求解模型，即通過數(shù)形結(jié)合的方式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的代數(shù)問題. 實現(xiàn)由“形”到“數(shù)”的定理公式有很多，常見的有距離公式、三角函數(shù)式、勾股定理、相似圖形線段長關(guān)系式等，解題時需要根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)來選用定理公式.

本題中點B的坐標(biāo)為（2，k+2），k的值影響到點B在拋物線上的位置，具體可以分為x軸上方和x軸下方兩種情形.

當(dāng)點B在x軸上方時，過點A作x軸的垂線，與x軸的交點就為點E，連接BE，過點B作x軸的平行線，與AE交于點H，然后作∠HAB的平分線，交HB于點M，再過點M作AB的垂線，垂足為N，過點B作x軸的垂線，垂足為K. 為方便分析，從圖形中提取△ABH中的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，如圖2. 由圖形性質(zhì)可知，AE∥OD，可確定△ODC與△HAB為相似三角形，可得∠ODC=∠HAB，則問題可轉(zhuǎn)化為分析∠HAB與∠BEC的倍數(shù)關(guān)系，再由角平分線的性質(zhì)可進一步細化為分析∠HAM與∠BEC的大小關(guān)系. 考慮到兩角均位于對應(yīng)的直角三角形中：∠HAM為△HAM的一個內(nèi)角，∠BEC為△EBK的一個內(nèi)角，則可以利用直角三角形中的三角函數(shù)來實現(xiàn)等角向代數(shù)分析的轉(zhuǎn)化，即當(dāng)∠HAM=∠BEC時，tan∠HAM=tan∠BEC. 根據(jù)A，B的坐標(biāo)可求得AH=-k，HB=1，設(shè)HM=MN=m，則BM=1-m，AN=AH=-k，AB= ，NB=AB-AN. 在Rt△MNB中使用勾股定理，可得BM2=MN2+NB2，即（1-m）2=m2+（ +k）2，解得m=-k2-k . 在△AHM中，tan∠HAM= = ，又tan∠BEC= =k+2，若∠HAM=∠BEC，則 =k+2，解得k=± ，舍去其中的正值，可得k=- .

當(dāng)點B在x軸下方時，同理，tan∠HAM= = =tan∠BEK= =-（k+2），其中m=-k2-k ，k<-2，可解得k1= （舍），k2= .

綜上可知，當(dāng)k的值為- 或 時，可使得∠ODC=2∠BEC.

多解探究

上述考題屬于二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，其前兩問屬于常規(guī)問題，只需要按照常見的解題思路來逐步推導(dǎo)即可. 其核心之問為考題的第（3）問，屬于角關(guān)系的存在性問題，需要通過幾何關(guān)系的分析來確定參數(shù)k的值. 上述利用等角的三角函數(shù)相等知識，構(gòu)建了相應(yīng)的求解方程，實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題突破. 對于該問，還可以直接由幾何角的大小關(guān)系來探討圖形特性，利用圖形特性來求解k值，具體如下.

過點A作x軸的垂線，則垂足就為點E，同樣的，點B的位置可以分為位于x軸上方和x軸下方兩種情形，可以先假設(shè)存在k值使得∠ODC=2∠BEC.

當(dāng)點B在x軸上方時，連接EB，設(shè)∠BEC=α，分析可知OD∥AE，則∠ODC=∠EAB=2α，如圖3，可知∠AEB=90°-α，則∠ABE=180°-2α-（90°-α）=90°-α，所以∠AEB=∠ABE. 所以△AEB是等腰三角形，且AE=AB. 可求得A（1，2），E（1，0），B（2，k+2），其中-2

當(dāng)點B在x軸下方時，延長AE至點F，使得BF與x軸平行，然后作點E關(guān)于FB對稱的點G，連接GB，如圖4. 設(shè)∠BEC=α，由兩線平行的性質(zhì)可知∠BEC=∠EBF=α，結(jié)合對稱知識可進一步推知∠BEC=∠EBF=∠GBF=α. 又知∠ODC=∠EAB=2α，∠AGB=∠GEB=∠EAB+∠ABE=2α+∠ABE，而∠ABG=2α+∠ABE，所以∠AGB=∠ABG. 所以△AGB為等腰三角形，且AG=AB. 可確定A（1，2），E（1，0），B（2，k+2），G（1，2k+4），其中k<-2，利用兩點之間的距離公式可構(gòu)建方程1+k2=（2k+2）2，從而可解得k1= （舍），k2= .

綜上可知，當(dāng)k的值為- 或 時，可使得∠ODC=2∠BEC.

上述所采用的雖然也是構(gòu)建代數(shù)方程的方式來求解參數(shù)k，但與之前的剖析思路不同，不再利用三角函數(shù)，而是直接利用等腰三角形“等角對等邊”來構(gòu)建模型. 其解析的難度在于將條件“∠ODC=2∠BEC”轉(zhuǎn)化為圖形中的等角關(guān)系. 從整體上來看，同第（2）問類似，依然屬于等腰三角形存在性問題. 對于等腰三角形存在性問題，常用的處理方法有兩種：一是幾何方法，即單純地通過幾何關(guān)系來確定點的位置;二是代數(shù)法，即利用等腰三角形的性質(zhì)定理來構(gòu)建代數(shù)方程. 而上述的問題分析則是幾何與代數(shù)方法的綜合，其優(yōu)勢在于數(shù)形結(jié)合，由“數(shù)”構(gòu)“形”，以“形”化“數(shù)”，實現(xiàn)了問題的直觀簡單化求解.

解后反思

函數(shù)綜合題在歷年中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，其特色在于可以利用函數(shù)與幾何之間的聯(lián)系來考查學(xué)生幾何、函數(shù)、圖形構(gòu)造等知識和技能，是對當(dāng)下素質(zhì)教育“知識應(yīng)用”理念的貫徹. 通過對上述考題的解析突破，有以下幾點學(xué)習(xí)建議.

1. 關(guān)注數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識

上述雖然屬于二次函數(shù)的綜合題，但由其解題過程可知問題的突破依然是基礎(chǔ)知識的組合應(yīng)用. 例如考題解析應(yīng)用到了兩點之間的距離公式、勾股定理、三角函數(shù)、角平分線性質(zhì)、對稱性質(zhì)、三角形相似等知識，正是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的合理調(diào)用，從而發(fā)現(xiàn)了圖形特性，獲得了問題突破的關(guān)鍵條件. 因此教學(xué)中，教師不能過于注重“題海”演練，而忽視了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的講解，應(yīng)以教材的基本定理、定義、公式、方法作為教學(xué)基礎(chǔ)，使學(xué)生深刻理解基礎(chǔ)知識的內(nèi)涵，能夠在問題剖析中靈活運用.

2. 重視問題的多解剖析

中考真題的優(yōu)點在于看待問題的角度不同，可以產(chǎn)生不同的解題靈感，尤其是一些優(yōu)秀的綜合題. 例如上述考題的第（3）問，如將條件視為三角函數(shù)構(gòu)建的基礎(chǔ)，則可以通過三角函數(shù)來解析突破，若將其視為圖形的特性條件，則可以通過構(gòu)造等腰三角形，利用等線段長來解析突破. 通過對問題的多解剖析可以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，即依托等角關(guān)系建立代數(shù)關(guān)系，利用代數(shù)分析確定參數(shù)取值. 因此在實際教學(xué)中需要教師注重問題的多解探究，通過對特定問題的多角度分析來提升學(xué)生思維的靈活性，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思考.

3. 注重解題的思想方法

思想方法是數(shù)學(xué)解題的精華，也是數(shù)學(xué)的靈魂所在，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不僅可以提升數(shù)學(xué)解題能力，更可以提升數(shù)學(xué)思維. 例如上述考題的解析過程運用了數(shù)形結(jié)合思想和構(gòu)造思想，即通過數(shù)形結(jié)合的分析方式準(zhǔn)確把握了圖形結(jié)構(gòu)，有效利用圖形特點構(gòu)建了相應(yīng)的代數(shù)模型，而利用構(gòu)造思想實現(xiàn)了圖形特殊化，獲得了問題求解的特殊模型. 上述兩種思想方法尤其適用于函數(shù)綜合問題的突破，建議教師在函數(shù)和幾何知識的教學(xué)中結(jié)合具體內(nèi)容加以滲透，使學(xué)生初步理解思想方法的內(nèi)涵，掌握思想方法解題的基本步驟，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思想的發(fā)展.