馬偉哲, 程韌俐，史軍，華棟，孫高星，張聰

(1.深圳供電局有限公司，廣東 深圳 518001； 2.華南理工大學(xué)，廣東 廣州 510641；3. 湖南大學(xué)，湖南 長沙 410082)

作為一類清潔的可再能源，風(fēng)電的開發(fā)利用可減輕環(huán)境污染和緩解當(dāng)前的能源危機(jī)。風(fēng)電功率取決于風(fēng)速，而風(fēng)速隨時間呈現(xiàn)無規(guī)律的變化，導(dǎo)致風(fēng)電功率難以預(yù)測[1]。風(fēng)電的波動會引起電網(wǎng)運行參數(shù)如線路有功潮流、相角、電壓等的波動，從而威脅電網(wǎng)運行的安全性；因此，需計算風(fēng)電并網(wǎng)后運行變量變化的范圍，為運行調(diào)度部門制訂應(yīng)對方案提供依據(jù)，以保證電力系統(tǒng)的安全運行。為此，本文研究了含風(fēng)電場電網(wǎng)的區(qū)間潮流模型，用于獲取不確定性風(fēng)電并網(wǎng)后潮流變量的變化范圍。

目前，處理潮流問題中風(fēng)電不確性的方法主要有2種，即概率潮流法[2-15]和區(qū)間潮流法[16-29]。概率潮流法是將風(fēng)電的不確定性數(shù)據(jù)當(dāng)作服從某個概率分布的隨機(jī)變量，建立相應(yīng)的概率潮流模型，并通過求解該模型來獲取電網(wǎng)潮流變量的概率分布函數(shù)或者概率分布函數(shù)的特征變量。求解概率潮流模型的方法主要有分析法[2-6]、點估計法[7-11]和蒙特卡洛模擬[12-15]。蒙特卡洛模擬是通過隨機(jī)模擬技術(shù)生成一系列樣本，求解每個樣本下的潮流方程，獲得潮流變量概率分布的方法。蒙特卡洛模擬采樣時隨機(jī)變量之間存在相關(guān)性，導(dǎo)致算法的計算效率低。為提高采樣效率，相關(guān)文獻(xiàn)提出了拉丁超立方采樣方法[14]，但無法從本質(zhì)上提高其抽樣效率，特別在求解大規(guī)模電網(wǎng)潮流問題時，計算時間大幅上升[15]，而潮流結(jié)果精度大幅下降。點估計法是通過從采樣數(shù)據(jù)中提煉相關(guān)的統(tǒng)計信息，以獲得隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征。根據(jù)矩估計的階數(shù)，可將點估計法分為兩點估計法[20]和三點估計法[14]。點估計法比蒙特卡洛模擬的計算效率更高，但它無法得到潮流解精確的概率分布函數(shù)。分析法是通過數(shù)學(xué)近似變換和卷積方法來獲取潮流變量的概率分布函數(shù)，如Cornish-Fisher展開[8]，Gram-Charlier展開[15]和快速傅里葉變換[13]。該方法在求解不確定性潮流問題時，需采用線性變換法線性化潮流方程；然而線性變換法的過程過于復(fù)雜，降低了算法的靈活性，同時會產(chǎn)生線性近似誤差。以上涉及的概率潮流法旨在獲取概率潮流模型的潮流變量的關(guān)鍵統(tǒng)計信息或概率分布函數(shù)。在實際中，隨機(jī)變量分布函數(shù)中的參數(shù)均為近似值，并且概率潮流方法的采樣空間有限，導(dǎo)致估計潮流變量的變化范圍比實際潮流變量的變化范圍窄，算法結(jié)果不精確。

為克服概率潮流法的缺點，研究者提出了區(qū)間潮流法。該方法采用數(shù)據(jù)的邊界信息即區(qū)間，來對不確定性輸入數(shù)據(jù)建模，建立區(qū)間潮流模型來獲得潮流變量的變化范圍。區(qū)間潮流模型在數(shù)學(xué)上是一個非線性非凸的帶區(qū)間參數(shù)方程組，求解難度較大。目前，主要有4種區(qū)間潮流算法，即區(qū)間迭代算法[16-21]、仿射算法[22-26]、區(qū)間泰勒展開[27]和優(yōu)化場景法[28-29]。區(qū)間迭代算法旨在通過傳統(tǒng)的非線性方程組迭代求解方法，如牛頓迭代[16]、Gauss-Seidel迭代[17]和Krawczyk-Moore方法[18]，結(jié)合區(qū)間數(shù)學(xué)運算來求解區(qū)間潮流模型；然而，區(qū)間的四則運算存在依賴性問題，導(dǎo)致上述方法得到的區(qū)間結(jié)果過于保守[19]，且區(qū)間迭代算法的收斂依賴于初始區(qū)間的選擇，收斂效果差。

為降低區(qū)間計算的保守性，研究者提出了仿射區(qū)間運算，即將區(qū)間看成是一系列噪聲元素的線性組合，在進(jìn)行仿射區(qū)間運算時，只需計算噪聲元素前的系數(shù)，保留了區(qū)間之間的關(guān)聯(lián)信息。仿射算法在計算過程考慮了區(qū)間計算的依賴性問題，其精度和收斂性均比區(qū)間迭代算法有大幅改善?；诜律渌阈g(shù)的區(qū)間潮流算法通過引入域壓縮方法來取代迭代過程，以克服算法中存在的收斂性問題[26]。仿射算法為區(qū)間潮流模型的求解提供了有效的途徑，但非線性函數(shù)的仿射計算會產(chǎn)生切比雪夫近似誤差，導(dǎo)致算法估計的潮流變量范圍會比實際的范圍大[19]。區(qū)間泰勒展開是將區(qū)間函數(shù)通過區(qū)間泰勒公式展開并保留二階項[28]，再利用區(qū)間計算獲得潮流變量的區(qū)間，但區(qū)間泰勒公式存在截斷誤差，對于數(shù)據(jù)波動區(qū)間較大時，算法的有效性無法保證。優(yōu)化場景法通過極值定理建立優(yōu)化模型來獲得潮流變量的變化范圍[28]，在理論上可獲得潮流變量的精確變化區(qū)間，但大量非線性規(guī)劃模型的求解造成算法的效率過低。綜上所述，區(qū)間潮流算法的研究已經(jīng)趨于成熟，但上述算法均未考慮風(fēng)電的控制模型，無法反映風(fēng)電并網(wǎng)后電網(wǎng)的實際運行工況。

對于考慮風(fēng)電場模型的概率潮流法，已經(jīng)有大量的研究[30-32]。對于區(qū)間潮流模型，有研究者在區(qū)間潮流模型中考慮了風(fēng)電[33]，并將區(qū)間與概率結(jié)合起來研究，但未涉及風(fēng)電場的具體模型。因此，為估計風(fēng)電并網(wǎng)后電網(wǎng)的潮流變化范圍并反映風(fēng)電場的運行特征，本文提出了考慮風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型。為求解該模型，提出了考慮風(fēng)電場模型的仿射區(qū)間潮流算法。本文的主要研究工作包含以下幾個方面：①提出了考慮風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型。該模型將風(fēng)電場有功輸出功率表示成區(qū)間，采用3種類型控制模型來描述風(fēng)電場的無功功率，可計算含不同類型風(fēng)電場電網(wǎng)的潮流變化區(qū)間。②提出了考慮風(fēng)電場模型的仿射區(qū)間潮流算法。在仿射運算過程中，將3類風(fēng)電場有功功率和無功功率對應(yīng)的噪聲元素關(guān)聯(lián)起來，并建立和求解對應(yīng)的噪聲元素壓縮優(yōu)化模型，從而獲得風(fēng)電并網(wǎng)后潮流變量的區(qū)間。③將所提算法與蒙特卡洛模擬法比較，驗證了所提方法的有效性和優(yōu)越性，并通過IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)算例驗證其求解大系統(tǒng)的可行性。

1 考慮風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型

對于不含風(fēng)電場的發(fā)電機(jī)節(jié)點和負(fù)荷節(jié)點，潮流方程為：

PGi-PLi-Pi=0,i∈SG；

(1)

-PLi-Pi=0,i∈SD；

(2)

QCi-QLi-Qi=0,i∈SD；

(3)

(4)

(5)

式(1)—(5)中：S、SG和SD分別為系統(tǒng)所有節(jié)點、發(fā)電機(jī)節(jié)點和負(fù)荷節(jié)點組成的集合；Pi、Qi分別為節(jié)點有功功率和節(jié)點無功功率(下標(biāo)“i”表示節(jié)點i，下同)；PGi為常規(guī)發(fā)電機(jī)的有功輸出功率；QLi和PLi分別為節(jié)點無功和有功負(fù)載；QCi為節(jié)點上無功功率補(bǔ)償器的輸出；θij為節(jié)點i、j的相角差；Ui為節(jié)點電壓幅值；Bij和Gij分別為節(jié)點導(dǎo)納矩陣Y的元素Yij的虛部和實部。

對于含F(xiàn)SCF風(fēng)電場的節(jié)點，潮流方程為：

(6)

(7)

(8)

對于含CPFCM風(fēng)電場的節(jié)點，潮流方程為：

(9)

(10)

(11)

式中φ為功率因數(shù)cosφ的角度。潮流計算分析時，可將該類型節(jié)點當(dāng)作P-Q節(jié)點處理。

(12)

其無功功率可在區(qū)間潮流計算后求得，潮流計算時可將該類節(jié)點當(dāng)作P-U節(jié)點。

式(1)—(12)組成了考慮風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型，在數(shù)學(xué)上是含區(qū)間參數(shù)的非線方程組，其求解算法在第2章中給出。

2 考慮風(fēng)電場模型的仿射算術(shù)區(qū)間潮流算法

對于第1章中提出的考慮風(fēng)電場模型的仿射區(qū)間潮流模型，本文根據(jù)文獻(xiàn)[40]中的仿射算術(shù)理論，并結(jié)合風(fēng)電場模型特點，提出考慮風(fēng)電場模型的仿射區(qū)間潮流算法。由于FSCF風(fēng)力機(jī)目前很少使用，本文在算法的描述中將忽略該模型。對于CVCM模型，無需考慮無功控制模型。

考慮風(fēng)電場模型的仿射算術(shù)區(qū)間潮流算法主要包括4個步驟：

步驟1：將電壓幅值和相角的區(qū)間表示成仿射形式，并在仿射形式中考慮風(fēng)電場模型。

根據(jù)仿射算術(shù)理論，負(fù)荷節(jié)點的電壓幅值和非平衡節(jié)點的相角的區(qū)間可以寫成如下仿射形式：

(13)

(14)

(15)

(16)

步驟2：計算節(jié)點功率的仿射形式，計算時考慮風(fēng)電場有功和無功的關(guān)系。

將電壓幅值和相角的仿射形式代入節(jié)點功率方程，并通過仿射加、減、乘法運算和非線性函數(shù)的逼近仿射運算，得到節(jié)點有功功率和無功功率的仿射形式分別為：

(17)

(18)

式中Qi,0和Pi,0分別是節(jié)點的注入無功和有功功率。對于連接風(fēng)電場的節(jié)點，Pi,0為風(fēng)電場輸出功率區(qū)間的中點，即:

(19)

(20)

SnN是由非線性函數(shù)(三角函數(shù))逼近仿射運算生產(chǎn)的一組新噪聲元素集合，包括正弦、余弦函數(shù)的乘積和切比雪夫線性近似。

步驟3：構(gòu)造線性規(guī)劃模型壓縮噪聲元素εPi的范圍。

將式(17)和(18)中的仿射形式寫成矩陣形式，即

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f(X)=AX+B.

(21)

式中：X為噪聲元素組成的向量，每個噪聲元素的初始值設(shè)置為區(qū)間[-1,1]；f(X)為節(jié)點注入功率；A為線性部分的系數(shù)組成的矩陣；B為由新噪聲元素計算后得到的區(qū)間向量。具體表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[26]。新的噪聲元素εh在固定的區(qū)間[-1,1]中變化，無法對它的范圍進(jìn)行壓縮，代表由非線性函數(shù)的仿射計算產(chǎn)生的內(nèi)部噪聲元素。

在步驟1中對電壓幅值和相角仿射形式乘以了放大系數(shù)，同時步驟2采用了非線性函數(shù)仿射近似運算，所以式(21)的區(qū)間范圍必定包含了注入節(jié)點功率的真實范圍。通過壓縮X的范圍來獲取潮流變量的區(qū)間，即

minεPj或maxεPj,j∈SCPFCM∪SCVCM；

(22)

式中，C=f(X)-B，C是由Ci組成的向量,inf(·)和sup(·)是下界和上界函數(shù),nP和nQ是集合SG∪SL和SL的元素個數(shù)。

步驟4：計算潮流區(qū)間，并在計算時考慮風(fēng)電場模型。

通過式(22)可獲得相角和電壓幅值的精確范圍為：

(23)

通過以上4個步驟，可獲得負(fù)荷節(jié)點電壓幅值和非平衡節(jié)點相角的區(qū)間。為了得到式(17)和式(18)仿射形式，中間需要進(jìn)行仿射近似計算，如乘法計算和切比雪夫近似，具體過程可參考文獻(xiàn)[40-41]。

3 算例分析

為驗證所提基于仿射算術(shù)的區(qū)間潮流算法的有效性，本節(jié)測試了IEEE 30和IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)。在IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)的測試中，將本文算法與蒙特卡洛模擬方法進(jìn)行比較，以驗證本文算法的優(yōu)點和有效性。IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)的測試用于驗證本文算法求解大系統(tǒng)的能力。所有參數(shù)和數(shù)據(jù)均采用標(biāo)幺值，對應(yīng)的系統(tǒng)基準(zhǔn)功率取100 MVA。CPFCM風(fēng)電場的恒定功率因數(shù)設(shè)為cosφ=0.95，蒙特卡洛模擬的樣本數(shù)設(shè)為5 000，以保證采樣結(jié)果的真實性。為反映風(fēng)電并網(wǎng)后潮流變量的波動情況，所有仿真結(jié)果圖中均采用了“基準(zhǔn)場景”對比，其定義為“風(fēng)電場的輸出功率區(qū)間中點處的潮流”。為便于描述，算例中對系統(tǒng)所有節(jié)點編號重新排列，包括平衡節(jié)點、CVCM風(fēng)電場節(jié)點、傳統(tǒng)發(fā)電機(jī)節(jié)點、負(fù)荷節(jié)點、CPFCM風(fēng)電場節(jié)點。所有支路重新排列，假設(shè)支路后節(jié)點編號大于前節(jié)點編號，功率傳輸方向為從前節(jié)點傳輸?shù)胶蠊?jié)點。所有支路按照前節(jié)點編號升序排列，如2條支路的前節(jié)點編號相同，則后節(jié)點編號較小的支路排前。

3.1 IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)

采用的IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)包含2個風(fēng)電場、5臺發(fā)電機(jī)、37條傳輸線、4臺變壓器和2個電容器，如圖1所示。其中，2號和30號節(jié)點的分別并入CVCM風(fēng)電場和CPFCM風(fēng)電場。由于FSCF風(fēng)電場技術(shù)已過時且很少在實踐中使用，此處不予考慮。CVCM風(fēng)電場和CPFCM風(fēng)電場的有功輸出功率區(qū)間分別設(shè)置為[0,1.04](即0～104 MW)和[0,0.275 6](即0～27.56 MW)。假設(shè)風(fēng)速v是一個隨機(jī)變量，符合Weibull分布，即

(24)

式中k和c分別為分布函數(shù)的形狀和尺度參數(shù)。其風(fēng)速的Weibull分布參數(shù)和風(fēng)力機(jī)的運行參數(shù)見表1。表1中考慮了風(fēng)力機(jī)的切出風(fēng)速vco、切入風(fēng)速vci和額定風(fēng)速v，當(dāng)v

圖1 包含CPFCM和CVCM風(fēng)電場的IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)Fig.1 Layout of IEEE 30-bus system incorporating CPFCM and CVCM wind farms

表1 IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)中風(fēng)速和風(fēng)電場參數(shù)Tab.1 Parameters of wind speed and wind farms in IEEE 30-bus system

根據(jù)上述參數(shù)和輸入數(shù)據(jù)，采用蒙特卡洛模擬和本文所提的基于仿射算術(shù)的方法求解含風(fēng)電場的區(qū)間潮流模型，得到節(jié)點相角、電壓幅值和支路有功傳輸功率結(jié)果如圖2、3、4所示。可以看出，本文算法得到的潮流變量區(qū)間比蒙特卡洛模擬得到的潮流變量區(qū)間更寬。這是由于蒙特卡洛模擬在生成樣本時無法考慮所有場景，特別是極端場景，導(dǎo)致潮流變量區(qū)間估計不足。本文所提的仿射算法是基于自我完備(包含)特性的仿射運算，可獲得比真實潮流區(qū)間更保守的結(jié)果。為顯示這2種方法的包含關(guān)系，圖5給出了30號節(jié)點和2號節(jié)點的相角抽樣結(jié)果，表明蒙特卡洛的所有樣本均包含于仿射算法的區(qū)間中。從圖2和圖3可知，30號節(jié)點和2號節(jié)點的電壓幅值和相角都出現(xiàn)較大的波動，這是因為2號節(jié)點和30號節(jié)點直接與風(fēng)電場連接，節(jié)點潮流會跟隨風(fēng)電場的功率發(fā)生變化。圖4表明1號支路(連接1號和2號節(jié)點)的輸送功率也出現(xiàn)很大的波動，原因是2號節(jié)點與風(fēng)電場連接，且1號節(jié)點為平衡節(jié)點，2號節(jié)點的功率波動會轉(zhuǎn)移到1號支路。

綜上所述，本文所提考慮風(fēng)電場模型的仿射算法能有效求解含風(fēng)電場的區(qū)間潮流模型，獲得的潮流區(qū)間結(jié)果比蒙特卡洛模擬的結(jié)果更保守。

圖2 2種方法獲得的節(jié)點相角區(qū)間(IEEE 30節(jié)點系統(tǒng))Fig.2 Ranges of bus angles acquired by two methods(IEEE 30-bus system)

圖3 2種方法獲得的節(jié)點電壓幅值區(qū)間(IEEE 30節(jié)點系統(tǒng))Fig.3 Ranges of load voltages acquired by two methods(IEEE 30-bus system)

圖4 2種方法獲得的有功傳輸功率區(qū)間(IEEE 30節(jié)點系統(tǒng))Fig.4 Ranges of active transmission power by two methods(IEEE 30-bus system)

圖5 2號節(jié)點和30號節(jié)點的相角抽樣結(jié)果Fig.5 Sampling results of angles at bus No. 2 and bus No. 30

3.2 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)

IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)包含54臺發(fā)電機(jī)、64個負(fù)荷節(jié)點、169條線路、9臺變壓器和9個電容器(圖6)。為了考慮風(fēng)電場的影響，將IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)中第1、4、6、8、10號節(jié)點的發(fā)電機(jī)改為CVCM風(fēng)電場，第109、144、115、117、118號負(fù)荷節(jié)點改為CPFCM風(fēng)電場。所有風(fēng)電場的節(jié)點位置、控制類型、切入風(fēng)速、切出風(fēng)速、額定風(fēng)速、額定輸出功率以及風(fēng)速的Weibull分布參數(shù)信息見表2。

圖6 具有不同風(fēng)力發(fā)電場的IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)Fig.6 Layout of IEEE 118-bus system withdifferent wind power farms

表2 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)中風(fēng)速和風(fēng)電場參數(shù)Tab.2 Parameters of wind speed and wind farms in IEEE 118-bus system

基于以上數(shù)據(jù)和參數(shù)設(shè)置，將基于仿射算術(shù)的方法和蒙特卡洛模擬用于求解IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)，得到節(jié)點相角、電壓幅值和有功傳輸功率區(qū)間分別如圖7、8、9所示。為便于描述，圖9中根據(jù)有功傳輸功率中點值的大小對支路重新進(jìn)行排序(按升序)。從圖7、8、9可看出，仿射算法得到的潮流變量區(qū)間比蒙特卡洛模擬得到潮流變量區(qū)間更寬。此外，節(jié)點相角、負(fù)荷節(jié)點電壓幅值和傳輸功率區(qū)間寬度較大的情況，通常發(fā)生在風(fēng)電場并網(wǎng)點或與風(fēng)電場相連的支路，因為節(jié)點注入功率的波動會導(dǎo)致相角、電壓幅值和傳輸功率的波動。綜上所述，該算例驗證了本文算法求解含多個風(fēng)電場大節(jié)點系統(tǒng)的適用性。

圖7 2種方法獲得的節(jié)點相角區(qū)間(IEEE 118節(jié)點系統(tǒng))Fig.7 Ranges of bus angles acquired by two methods(IEEE 118-bus system)

圖8 2種方法獲得的節(jié)點電壓幅值區(qū)間(IEEE 118節(jié)點系統(tǒng))Fig.8 Ranges of load voltages acquired by two methods(IEEE 118-bus system)

圖9 2種方法獲得的有功傳輸功率區(qū)間(IEEE 118節(jié)點系統(tǒng))Fig.9 Ranges of active transmission power by two methods (IEEE 118-bus system)

算例均采用MATLAB 2016b編程實現(xiàn)，并在3.2 GHz CPU和4 GB RAM上進(jìn)行測試。其中，仿射算法和蒙特卡洛模擬測試IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)時分別需要4 s和20 s，而測試IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)分別需要15 s和50 s。這表明基于仿射算術(shù)的方法高于蒙特卡洛模擬法的計算效率。

4 結(jié)束語

針對現(xiàn)階段區(qū)間潮流模型中沒有考慮風(fēng)電場控制模型的問題，本文提出了考慮風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型，用于獲取含不確定性風(fēng)電電網(wǎng)的潮流變化范圍?？紤]風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型將風(fēng)電場的有功功率采用區(qū)間表示，并在模型中考慮3種控制模式來模擬風(fēng)電場的運行特征。為求解該模型，本文改進(jìn)了基于仿射算術(shù)的區(qū)間潮流算法，考慮了風(fēng)電場有功和無功功率的關(guān)聯(lián)控制模型，將潮流變量區(qū)間表示成仿射形式，并構(gòu)造優(yōu)化模型壓縮對應(yīng)的仿射形式以獲得潮流變量的精確區(qū)間。IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)測試結(jié)果表明，考慮風(fēng)電場模型的仿射算法能有效求解含風(fēng)電場的區(qū)間潮流模型，其獲得的潮流區(qū)間結(jié)果比蒙特卡洛模擬的結(jié)果更保守，更有利于保證電力系統(tǒng)安全性。IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)的測試結(jié)果表明，所提仿射算法具有較高的計算效率，并且能求解含多個風(fēng)電場的大節(jié)點系統(tǒng)。

由于所提仿射算法包含了非線性函數(shù)仿射運算的切比雪夫近似誤差，其獲得的潮流范圍比含風(fēng)電場的區(qū)間潮流模型的“實際”范圍寬。因此，未來需研究更合適的仿射形式，以減少近似誤差?？紤]風(fēng)電場模型的區(qū)間潮流模型的結(jié)果未經(jīng)實際系統(tǒng)數(shù)據(jù)驗證，需進(jìn)一步與實際運行工況下得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。