郭鵬程，孫龍剛，羅興锜

混流式水輪機(jī)葉道渦流動(dòng)特性研究

郭鵬程，孫龍剛，羅興锜

（西安理工大學(xué)省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710048）

葉道渦是混流式水輪機(jī)運(yùn)行在偏工況下出現(xiàn)的一種典型的空化流動(dòng)現(xiàn)象，其起源于兩葉片之間而消失于轉(zhuǎn)輪出口附近，對(duì)水輪機(jī)內(nèi)部的壓力及速度場(chǎng)有直接的影響。為了闡明葉道渦演化特征及其對(duì)水力性能的影響，該文基于SST湍流模型及Zwart空化模型對(duì)某一低水頭混流式模型水輪機(jī)進(jìn)行瞬態(tài)空化兩相流動(dòng)的數(shù)值模擬及試驗(yàn)研究。結(jié)果表明，葉道渦流動(dòng)結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬與試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果基本一致。在葉道渦工況區(qū)，轉(zhuǎn)輪內(nèi)空泡體積呈周期性脈動(dòng)，葉道渦頻率為轉(zhuǎn)頻的90%。葉道渦沿葉片展向發(fā)展于輪轂面，主水流在離心力的作用下向下環(huán)方向偏移，迫使葉道渦向出水邊方向移動(dòng)，故渦束沿葉片出口邊背面靠近輪緣處流出。轉(zhuǎn)輪內(nèi)有限空間限制及偏工況下負(fù)沖角的綜合作用，是形成葉道渦的主要原因。壓力脈動(dòng)及其頻譜分析表明，活動(dòng)導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪之間的無葉區(qū)、轉(zhuǎn)輪葉片以及尾水管內(nèi)均捕捉到了葉道渦頻率，表明葉道渦頻率同時(shí)向上游及下游傳播。葉道渦對(duì)尾水管內(nèi)部流場(chǎng)有較大影響，表現(xiàn)為錐管段及肘管段中心處形成較大回流區(qū)。該研究為進(jìn)一步深入理解復(fù)雜的葉道渦流動(dòng)特性提供一定參考。

混流式水輪機(jī)；數(shù)值模擬；空化；葉道渦；壓力脈動(dòng)

0 引 言

隨著風(fēng)能、太陽能等間歇性能源在電網(wǎng)中占比的增大，水輪機(jī)被頻繁要求運(yùn)行在部分負(fù)荷甚至極小負(fù)荷等偏工況，以平衡間歇性能源對(duì)電網(wǎng)參數(shù)的不利影響[1-3]。水輪機(jī)在偏工況下運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)輪進(jìn)出口水流運(yùn)動(dòng)狀態(tài)十分復(fù)雜，模型試驗(yàn)中由透明尾水管錐管中可以看到比較穩(wěn)定的連續(xù)空腔渦管顯示在轉(zhuǎn)輪2個(gè)葉片之間，這種起源于轉(zhuǎn)輪兩葉片之間，而消失于尾水管入口水體中的空腔渦管，即是葉道渦（inter-blade vortex）[4]。葉道渦是混流式水輪機(jī)對(duì)來流不適應(yīng)的外在表征，當(dāng)葉道渦出現(xiàn)時(shí)，水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪與活動(dòng)導(dǎo)葉之間的無葉區(qū)及尾水管中的壓力脈動(dòng)可能增強(qiáng)，甚至?xí)鹌谄茐腫5-7]，然而并非所有的葉道渦都會(huì)對(duì)水力性能產(chǎn)生顯著的影響，要視葉道渦是否穩(wěn)定而確定[8]。現(xiàn)代模型水輪機(jī)驗(yàn)收試驗(yàn)中，葉道渦作為一項(xiàng)重要的考察指標(biāo)必不可少。目前，針對(duì)葉道渦的形成、發(fā)展過程以及其出現(xiàn)對(duì)水輪機(jī)水力性能的研究相對(duì)較少，因此，深入研究和理解葉道渦的流動(dòng)特性及其演化發(fā)展，對(duì)水輪機(jī)的水力設(shè)計(jì)及性能優(yōu)化具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

葉道渦是混流式水輪機(jī)的一種固有水力現(xiàn)象，水輪機(jī)模型試驗(yàn)觀測(cè)到的葉道渦實(shí)際上為一種典型的空化現(xiàn)象，而葉道渦的形成并不意味著空化的發(fā)生[9]。水輪機(jī)運(yùn)行在葉道渦工況區(qū)，當(dāng)空化系數(shù)較小且在葉道中心產(chǎn)生空腔時(shí)為可見葉道渦，而當(dāng)空化系數(shù)較大時(shí)，空腔渦管消失，此時(shí)也存在葉道渦，為不可見葉道渦[10]。按照Guo等[11]人的試驗(yàn)研究，不同水頭段機(jī)組葉道渦的形成以及發(fā)展各不相同，低水頭水輪機(jī)葉道渦初生線及發(fā)展線在模型綜合特性曲線上的位置靠近最優(yōu)區(qū)，約在60%額定出力以下，而高水頭則遠(yuǎn)離最優(yōu)區(qū)，出現(xiàn)在約40%額定出力以下，且水頭對(duì)葉道渦的出現(xiàn)位置以及出流位置均有影響。

Yamamoto等[12-14]系統(tǒng)開展了混流式水輪機(jī)葉道渦的試驗(yàn)和數(shù)值研究，提出了一種活動(dòng)導(dǎo)葉嵌入式可視化技術(shù)，可以更直觀地由轉(zhuǎn)輪進(jìn)口觀測(cè)葉道渦流動(dòng)結(jié)構(gòu)。Zuo等[15]對(duì)一混流式模型水輪機(jī)進(jìn)行了空化兩相數(shù)值模擬，獲得了2種不同的葉道渦，分別為穩(wěn)定的柱狀葉道渦及不穩(wěn)定的流線型葉道渦。壓力脈動(dòng)結(jié)果顯示轉(zhuǎn)輪葉片背面壓力脈動(dòng)較強(qiáng)，葉道渦初生工況下，葉道渦頻率約為轉(zhuǎn)頻的0.84倍左右，而葉道渦發(fā)展工況頻率約為1.0倍轉(zhuǎn)頻。相似地，Xiao等[16]的研究結(jié)果表明，葉道渦頻率相對(duì)較低且隨著運(yùn)行工況的變化而改變。

目前針對(duì)混流式水輪機(jī)葉道渦流動(dòng)特性及其影響的研究比較有限，為進(jìn)一步分析這種復(fù)雜的渦流現(xiàn)象及其對(duì)水力性能的影響，本文基于瞬態(tài)空化兩相流動(dòng)數(shù)值模擬與模型試驗(yàn)觀測(cè)的方法，對(duì)某低水頭混流式模型水輪機(jī)葉道渦流動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值及試驗(yàn)研究。通過數(shù)值模擬及試驗(yàn)觀測(cè)獲得空化條件下轉(zhuǎn)輪內(nèi)的葉道渦的流動(dòng)結(jié)構(gòu)、葉道渦位置及其發(fā)展，分析空泡體積的時(shí)變規(guī)律獲得了葉道渦頻率。本文進(jìn)一步分析了葉道渦的形成原因，系統(tǒng)性闡明了葉道渦工況區(qū)計(jì)算域不同位置的壓力脈動(dòng)特性及尾水管內(nèi)的典型流動(dòng)特征。

1 葉道渦計(jì)算方法

1.1 流動(dòng)控制方程及SST k-ω模型

數(shù)值模擬采用SST湍流模型[17]與基于質(zhì)量輸運(yùn)的Zwart空化模型[18]耦合的方法求解非穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程。SST湍流模型在邊界層使用湍流模型，在其余區(qū)域應(yīng)用湍流模型，可較好地捕捉葉輪機(jī)械的流動(dòng)分離現(xiàn)象[19-23]。Zwart空化模型通過氣泡數(shù)密度計(jì)算相間質(zhì)量輸運(yùn)率，并且考慮了氣體體積分?jǐn)?shù)對(duì)蒸汽核位置處密度的影響，廣泛應(yīng)用于空化流動(dòng)的數(shù)值模擬中[24-27]。氣液混合兩相模型中，假定兩相流組份中速度及壓力相同，基本的兩相流動(dòng)控制方程如下[28]

式中為時(shí)間，s；u、u和u為、和方向上的速度，m/s；δ為Kronecker符號(hào)；x、x和x分別為笛卡爾坐標(biāo)系上的3個(gè)分量；和μ分別為動(dòng)力黏度和湍動(dòng)黏度，N·s/m2；為混合相密度，kg/m3；與分別定義為

式中ρ和ρ分別為液相和氣相密度，kg/m3；α和α分別為液相和氣相體積分?jǐn)?shù)；和分別為氣相和液相的動(dòng)力黏度，N·s/m2。

式中為速度，m/s；P為湍動(dòng)生成項(xiàng)；1為混合函數(shù)；c、、、σ、σ均為方程組閉合系數(shù)。

Zwart空化模型[18]通過傳輸方程來控制空化的發(fā)生，對(duì)應(yīng)的質(zhì)量輸運(yùn)方程如下式所示

1.2 計(jì)算域離散及邊界條件

本文以某低水頭電站模型水輪機(jī)為研究對(duì)象，如圖1所示。該模型水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪直徑0.35 m，活動(dòng)導(dǎo)葉與固定導(dǎo)葉葉片數(shù)均為24，轉(zhuǎn)輪葉片數(shù)為13，模型測(cè)試試驗(yàn)水頭為30.0 m。原型水輪機(jī)在額定水頭48.0 m下出力為123.8 MW，電站最高和最低水頭分別為59.6和43.1 m。

圖1 混流式模型水輪機(jī)

采用高精度的多塊結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域進(jìn)行網(wǎng)格離散，為使模型水輪機(jī)進(jìn)出口流動(dòng)充分發(fā)展，對(duì)蝸殼進(jìn)口以及尾水管出口幾何域進(jìn)行了適當(dāng)延伸，如圖1所示。對(duì)固定導(dǎo)葉、活動(dòng)導(dǎo)葉及轉(zhuǎn)輪葉片，采用“H”形和“O”形塊結(jié)合的方法處理葉片附近以更好地適應(yīng)復(fù)雜翼型幾何結(jié)構(gòu)。由于涉及到復(fù)雜的相變過程，空化流動(dòng)數(shù)值模擬相對(duì)于單項(xiàng)流對(duì)計(jì)算網(wǎng)格、邊界條件以及計(jì)算資源等的要求更加苛刻。按照Wack等[29]人的研究，網(wǎng)格數(shù)目，特別是轉(zhuǎn)輪網(wǎng)格對(duì)空化發(fā)生率有較大的影響，因此本文特別針對(duì)不同網(wǎng)格數(shù)目下轉(zhuǎn)輪域內(nèi)的空泡體積進(jìn)行了無關(guān)性研究。本文利用5組不同數(shù)目的網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證，網(wǎng)格總數(shù)分別為6 638 000、8 819 000、10 794 000、13 201 000和14 999 000，圖2為5種不同網(wǎng)格數(shù)目下按照計(jì)算域進(jìn)出口總壓差計(jì)算的水輪機(jī)水頭與轉(zhuǎn)輪內(nèi)空泡體積隨時(shí)間變化曲線。由網(wǎng)格無關(guān)性測(cè)試結(jié)果可知，水輪機(jī)水頭與轉(zhuǎn)輪內(nèi)的空泡體積均隨網(wǎng)格數(shù)的增加而增大，且網(wǎng)格數(shù)目在10 794 000以下時(shí)變化明顯。網(wǎng)格數(shù)由6 638 000增加至10 794 000時(shí)，相鄰網(wǎng)格計(jì)算的水頭的階段性誤差分別為9.70%、11.36%、3.33%和3.34%，空泡體積的階段性誤差分別為5.73%、8.62%、0.42%和0.28%。因此，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)大于10 794 000時(shí)，水頭以及空泡體積的相對(duì)誤差較小，可以認(rèn)為當(dāng)網(wǎng)格數(shù)大于10 794 000時(shí)網(wǎng)格數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度影響可忽略，符合網(wǎng)格無關(guān)性要求，且數(shù)值模擬的水輪機(jī)水頭與效率分別為29.97 m和77.5%，與試驗(yàn)結(jié)果29.86 m和77.0%比較接近，故本文采用網(wǎng)格數(shù)為10 794 000的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算。圖3所示為最終采用的轉(zhuǎn)輪網(wǎng)格示意圖及轉(zhuǎn)輪葉片壁面的y值分布云圖。由圖3可知，轉(zhuǎn)輪葉片表面平均y值約為4.2，y值最大為11.8，位于葉片下環(huán)靠近出水邊處。SST模型及SAS-SST模型一般要求y值為1左右，但是對(duì)于水輪機(jī)多部件、轉(zhuǎn)輪幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜且偏工況下流動(dòng)相對(duì)紊亂的特性，往往很難保證y+值均在1附近，此時(shí)，對(duì)于y值大于1的部分，往往采用壁面函數(shù)處理。因此，圖3中的y值在可接受的范圍之內(nèi)，網(wǎng)格劃分可以滿足湍流模型的需求。

圖2 水頭與空泡體積隨網(wǎng)格數(shù)變化

注：y+表示第一層網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)距離壁面的無量綱距離。

數(shù)值模擬在活動(dòng)導(dǎo)葉開度=18°的工況下進(jìn)行，單位轉(zhuǎn)速與單位流量分別為11=78.91 r/min，11=0.64 m3/s，出力為額定出力的47%。最優(yōu)工況活動(dòng)導(dǎo)葉開度=26°，單位流量與單位轉(zhuǎn)速分別為11=70.0 r/min，11=0.95 m3/s。進(jìn)口給定質(zhì)量流量邊界條件，出口設(shè)置為靜壓出口，且設(shè)置為開放式邊界條件，即允許尾水管出口有回流，計(jì)算域壁面均采用光滑、無滑移條件。瞬態(tài)計(jì)算動(dòng)靜交界面（transient rotor stator），時(shí)間步長(zhǎng)為轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)1°所用的時(shí)間。對(duì)流采用高階求解格式，瞬態(tài)模型則采用二階向后歐拉模式，收斂標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為最大殘差小于0.001。

空化工況下，定義空化系數(shù)為

式中2為尾水管出口壓力，Pa；p為水的汽化壓力，p=3 477 Pa；ρ為水密度，kg/m3；Q為出口流量，m3/s；2為尾水管出口面積，m2；H為模型試驗(yàn)水頭，m；為重力加速度，m/s2。

2 數(shù)值方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證數(shù)值模擬的可靠性，本文進(jìn)行了水輪機(jī)葉道渦可視化的模型試驗(yàn)。試驗(yàn)裝置如圖4所示。模型試驗(yàn)中，采用電磁流量計(jì)記錄流量，壓差傳感器用來測(cè)量蝸殼進(jìn)口與尾水管出口之間的壓差來計(jì)算水頭。尾水管錐管段為專門設(shè)計(jì)的透明材質(zhì)，通過高速攝像機(jī)拍攝轉(zhuǎn)輪葉片出口處的葉道渦生成及發(fā)展?fàn)顩r。模型試驗(yàn)工況點(diǎn)與數(shù)值模擬保持一致，均在空化系數(shù)=0.15下進(jìn)行，通過調(diào)節(jié)尾水箱的壓力來達(dá)到調(diào)節(jié)空化系數(shù)的目的。模型試驗(yàn)嚴(yán)格按照IEC60193試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行水力效率、流量的測(cè)量以及傳感器標(biāo)定[30]。模型試驗(yàn)臺(tái)水力效率的隨機(jī)誤差f與系統(tǒng)誤差f分別按照式（7）和式（8）計(jì)算

式中為效率測(cè)量次數(shù)；0.95(N-1)為置信率為0.95，自由度為（-1）的分布；η為試驗(yàn)第次效率的測(cè)量值；η為效率平均值。f，f，f，f分別為水頭、扭矩、流量及轉(zhuǎn)速的相對(duì)不確定度，分別為±0.065%，±0.075%，±0.188%，±0.025%。經(jīng)計(jì)算，水力效率的隨機(jī)誤差及系統(tǒng)誤差分別為±1.0%和±0.214%，滿足試驗(yàn)要求。

圖4 混流式水輪機(jī)模型試驗(yàn)裝置示意圖

圖5所示為試驗(yàn)記錄的葉道空化渦形態(tài)與數(shù)值模擬的對(duì)比，其中圖5b用10%的空泡體積分?jǐn)?shù)等值面來表示葉道渦的形態(tài)，為數(shù)值模擬穩(wěn)定后轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)5圈的氣泡體積分?jǐn)?shù)平均值。由圖5可知，數(shù)值模擬與試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果葉道空化渦結(jié)構(gòu)比較一致，空腔狀的葉道渦位于相鄰葉片之間，靠近轉(zhuǎn)輪葉片背面流向出水邊，最后消失于尾水管進(jìn)口處，并且不同流道內(nèi)葉道空化渦的形態(tài)并不相同。圖5的比較結(jié)果表明，本文采用的數(shù)值模擬模型及方法能較好地再現(xiàn)葉道空化渦的發(fā)展形態(tài)。由于試驗(yàn)測(cè)量及觀測(cè)條件限制，模型試驗(yàn)僅僅能觀察到轉(zhuǎn)輪出口處葉道渦形態(tài)，而數(shù)值模擬則可以很好地補(bǔ)充這種缺陷，因此本文后續(xù)內(nèi)容主要針對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析。

圖5 試驗(yàn)觀測(cè)與數(shù)值模擬葉道空化渦形態(tài)比較

3 葉道渦流動(dòng)特性

3.1 葉道渦形態(tài)及發(fā)展

空化是一種復(fù)雜的非定常流動(dòng)現(xiàn)象，水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪與活動(dòng)導(dǎo)葉及尾水管相對(duì)位置時(shí)刻發(fā)生變化，導(dǎo)致轉(zhuǎn)輪葉道內(nèi)的速度壓力場(chǎng)等處于非恒定狀態(tài)，進(jìn)而決定了葉道渦的初生及發(fā)展形態(tài)。圖6給出了水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)10個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)輪內(nèi)的空泡體積隨時(shí)間的變化曲線及通過快速傅里葉變換（FTT）獲得的頻譜特征。

注：1、2、3、4、5為空泡體積震蕩一個(gè)周期內(nèi)的5個(gè)不同時(shí)刻。相鄰2時(shí)刻的時(shí)間步長(zhǎng)為0.013 631 s，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)度數(shù)為98°。

Note:1,2,3,4and5refer to 5 time instants during one period of vapor volume oscillation. The time interval between 2 consecutive instants is 0.013 631 s, which corresponds to the time cost that the runner rotates 98° in a time interval.

a. 空泡體積隨時(shí)間變化

a. Variation of vapor volume with time

注：無量綱頻率為模擬頻率與轉(zhuǎn)頻的比值。

Note: Non-dimensional frequency represents ratio of simulated frequency to rotating frequency.

b. 空泡體積FFT變換

b. FFT transform of vapor volume

圖6 空泡體積隨時(shí)間變化及其頻譜分析

Fig.6 Time history oscillation and spectrum analysis of vapor volume

圖6結(jié)果顯示，在葉道渦工況區(qū)，轉(zhuǎn)輪內(nèi)的空泡體積隨時(shí)間做周期性波動(dòng)，表明葉道渦在流道內(nèi)是一個(gè)形成、發(fā)展、局部潰滅消失以及再形成的動(dòng)態(tài)循環(huán)過程，通過FFT變換獲得的主頻約為轉(zhuǎn)頻的90%，即葉道渦運(yùn)動(dòng)周期約為轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)周期的1.11倍。由于空化的發(fā)生是葉道渦的外在表征，空泡體積直接決定葉道渦的形態(tài)，故本文認(rèn)為該計(jì)算工況下的葉道渦頻率為轉(zhuǎn)頻的90%，該計(jì)算結(jié)果與Zuo等[15]以及Yamamoto等[31]的數(shù)值和試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果比較接近。圖7為圖6a中5個(gè)典型時(shí)刻轉(zhuǎn)輪內(nèi)10%空泡體積分?jǐn)?shù)等值面分布圖以及轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)5圈的平均空泡體積分?jǐn)?shù)在轉(zhuǎn)輪軸面上的投影圖。

圖7 不同時(shí)刻10%空泡體積分?jǐn)?shù)分布及平均空泡體積分?jǐn)?shù)軸面投影圖

圖7結(jié)果清晰地顯示了葉道渦的演變過程：1時(shí)刻，空泡附著在輪轂面上，不同流道之間的空泡結(jié)構(gòu)比較接近。2時(shí)刻，輪轂處空泡體積有所發(fā)展，部分流道內(nèi)形成不連續(xù)葉道渦，如圖7b所示。3時(shí)刻，空泡體積達(dá)到最高值，轉(zhuǎn)輪內(nèi)葉道渦充分發(fā)展，呈空腔渦管狀由輪轂延伸至葉片出口附近，且有部分空泡附著在葉片背面。3時(shí)刻以后，空泡體積開始減小，轉(zhuǎn)輪出口處的葉道渦消失。進(jìn)一步分析可知，葉道渦總是附著在輪轂面上，且靠近輪轂處的空泡體積最大，表明葉道渦經(jīng)由輪轂面處發(fā)展而來。受轉(zhuǎn)輪內(nèi)壓力場(chǎng)的影響，葉道渦出現(xiàn)時(shí)，首先附著在輪轂處，其次為輪緣靠近出水邊處，最后為流道中間位置從而貫穿整個(gè)流道?？张蒹w積軸面投影直觀展示了葉道渦在轉(zhuǎn)輪內(nèi)的分布形態(tài)，葉道渦充分發(fā)展時(shí)，頭部附著在輪轂面，而尾部沿靠近輪緣處的出水邊流出轉(zhuǎn)輪。由于葉道渦初生在輪轂面上，渦管狀葉道渦中心線垂直于輪轂面，主水流在離心力作用下的流動(dòng)迫使葉道渦沿葉片展向向出水邊方向移動(dòng)，因此葉道渦整體呈弧狀曲線結(jié)構(gòu)。

3.2 葉道渦形成

葉道渦形成于偏離最優(yōu)工況區(qū)，而偏離最優(yōu)工況區(qū)最典型的流動(dòng)特征為轉(zhuǎn)輪進(jìn)口沖角發(fā)生變化。圖8為最優(yōu)工況與本文計(jì)算工況轉(zhuǎn)輪進(jìn)口速度三角形對(duì)比示意圖，相對(duì)于最優(yōu)工況，本文計(jì)算工況轉(zhuǎn)速升高，流量減小，在速度三角形上對(duì)應(yīng)的變化為葉片進(jìn)口相對(duì)水流角減小，相對(duì)速度及軸面速度減小，圓周速度增大。此時(shí)，葉片進(jìn)口為較大的負(fù)沖角，葉片流道具備脫流條件。圖9為最優(yōu)工況與計(jì)算工況轉(zhuǎn)輪及尾水管內(nèi)的速度流線，特別地，轉(zhuǎn)輪速度流線局部放大圖中給出了轉(zhuǎn)輪進(jìn)口靠近輪轂處的流線軌跡，如圖中紅色流線所示。最優(yōu)工況下，轉(zhuǎn)輪及尾水管內(nèi)流線順暢，速度分布均勻；而葉道渦出現(xiàn)時(shí)，由轉(zhuǎn)輪進(jìn)口靠近輪轂面的速度矢量在負(fù)沖角的作用下同時(shí)向轉(zhuǎn)輪輪緣及出口方向偏移，且尾水管壁面附近的速度較高，錐管段中心速度矢量比較紊亂，能量耗散較大。

注：C為絕對(duì)速度，(m·s-1)；W為相對(duì)速度，(m·s-1)；U為圓周速度，(m·s-1)；Cu為絕對(duì)速度圓周分量，(m·s-1)；Cm為軸面速度，(m·s-1)；α為進(jìn)口絕對(duì)液流角，(°)；β為進(jìn)口相對(duì)液流角，(°)。

圖9 最優(yōu)與計(jì)算工況轉(zhuǎn)輪及尾水管內(nèi)速度流線

為了進(jìn)一步闡明葉道渦的成因，圖10給出了數(shù)值模擬獲得的葉片展向無量綱距離=0.05和=0.50上的相對(duì)速度矢量及絕對(duì)壓力云圖分布，其中=0.05表示靠近輪轂處，=0.50表示葉片中間位置。

注：s表示沿葉片展向的無量綱距離。

分析圖10a可知，轉(zhuǎn)輪進(jìn)口水流相對(duì)速度與葉片安放角形成較大的負(fù)沖角，水流直接沖擊葉片背面，然而這種沖擊在輪轂附近葉片正面并未形成明顯的脫流。水流進(jìn)入轉(zhuǎn)輪后，首先沿平行于葉片方向向下游運(yùn)動(dòng)，隨后由葉片背面向正面方向流動(dòng)，且其流動(dòng)強(qiáng)度沿流向越來越強(qiáng)，在1/2葉片長(zhǎng)度處達(dá)到最大。由于主水流向葉片正面擠壓以及兩葉片間有限空間的限制，在背面附近形成了低壓區(qū)，迫使部分流體脫流并向低壓區(qū)運(yùn)動(dòng)，最終形成了較大回流區(qū)。=0.50葉片展向面上，主水流由背面向正面運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度減小，因此圖10b中的低壓回流區(qū)較圖10a中大大減小。此外，圖10結(jié)果表明，葉道渦發(fā)展強(qiáng)度在輪轂附近最大，且初生在葉片間靠近背面一側(cè)；隨著展向增加，葉道渦強(qiáng)度減弱，渦核中心距葉片背面距離減小。綜上，葉道渦工況下轉(zhuǎn)輪進(jìn)口產(chǎn)生較大的負(fù)沖角，使得葉道間出現(xiàn)了由葉片背面指向正面的水流運(yùn)動(dòng)，形成葉道間的低壓區(qū)及回流區(qū)，最終產(chǎn)生了葉道渦。

3.3 葉道渦對(duì)水力性能的影響

由葉道渦形態(tài)及其發(fā)展分析結(jié)果可知，葉道渦主要從靠近葉片背面的近上冠處發(fā)展而來，從葉片出水邊靠近輪緣處流出并消失。空泡體積周期性地生成及潰滅消失，表明轉(zhuǎn)輪內(nèi)壓力做相似的周期性變化。因此，為進(jìn)一步研究葉道渦對(duì)水輪機(jī)水力性能的影響，在活動(dòng)導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪之間無葉區(qū)布置了一個(gè)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)VL01，轉(zhuǎn)輪葉片背面布置3個(gè)壓力測(cè)點(diǎn)，分別命名為SS01、SS02、和SS03，尾水管進(jìn)口0.32（轉(zhuǎn)輪出口直徑）處間隔180°布置2個(gè)測(cè)點(diǎn)，分別為DT01和DT02，計(jì)算域測(cè)點(diǎn)位置如圖11所示。

圖12為轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)10個(gè)周期內(nèi)無葉區(qū)、葉片背面及尾水管壓力系數(shù)C隨時(shí)間變化曲線及FFT變換結(jié)果。壓力系數(shù)C表達(dá)式為

注：VL01、SS01、SS02、SS03、DT01、DT02為數(shù)值模擬壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)編號(hào)。

Note: Pressure monitoring points of numerical simulation are named VL01, SS01, SS02, SS03, DT01 and DT02.

圖11 計(jì)算域壓力測(cè)點(diǎn)位置示意圖

Fig.11 Locations of pressure monitoring points in simulation domain

分析圖12可知，不同位置壓力測(cè)點(diǎn)隨時(shí)間均做準(zhǔn)周期性脈動(dòng)，轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)10個(gè)周期內(nèi)無葉區(qū)、轉(zhuǎn)輪及尾水管出現(xiàn)的波峰波谷數(shù)目相同，與圖6a中轉(zhuǎn)輪內(nèi)空泡體積變化趨勢(shì)一致。同時(shí)，F(xiàn)FT變換結(jié)果中均出現(xiàn)了約0.9倍轉(zhuǎn)頻的特征頻率，表明葉道渦頻率對(duì)上游及下游壓力場(chǎng)均有較明顯的影響。無葉區(qū)內(nèi)測(cè)點(diǎn)一階主頻為13倍轉(zhuǎn)頻，為典型的動(dòng)靜干涉頻率，而2階頻率及3階頻率壓力幅值比較接近，分別為26倍和0.9倍轉(zhuǎn)頻，此外還出現(xiàn)較明顯的0.9倍轉(zhuǎn)頻的諧波頻率，表明無葉區(qū)內(nèi)同時(shí)受轉(zhuǎn)輪與活動(dòng)導(dǎo)葉之間的動(dòng)靜干涉及葉道渦的影響。轉(zhuǎn)輪域內(nèi)，進(jìn)口側(cè)壓力測(cè)點(diǎn)SS01由于距離活動(dòng)導(dǎo)葉較近，動(dòng)靜干涉效應(yīng)仍然存在，但其壓力幅值已經(jīng)大幅下降，小于葉道渦頻率對(duì)應(yīng)的幅值?？拷~道渦發(fā)展區(qū)域的壓力測(cè)點(diǎn)SS02和SS03，由于位于葉片出水邊，距離活動(dòng)導(dǎo)葉距離較遠(yuǎn)，動(dòng)靜干涉作用已完全消失，而0.9倍轉(zhuǎn)頻下的壓力幅值較進(jìn)口處有較大提高，表明葉道渦的發(fā)展演變對(duì)壓力幅值有較大的提升作用。對(duì)于尾水管內(nèi)測(cè)點(diǎn)DT01和DT02，其變化趨勢(shì)基本一致，因此文中只給出DT01結(jié)果。盡管DT01和DT02間隔180°布置，但兩者之間相位差幾乎為0，表明尾水管內(nèi)不同位置處的壓力按照相同的規(guī)律發(fā)生變化。DT01與DT02一階主頻均為0.9倍轉(zhuǎn)頻，二階頻率為一階主頻的諧波頻率1.8倍轉(zhuǎn)頻，同時(shí)，受轉(zhuǎn)輪的影響，出現(xiàn)了幅值不大的13倍轉(zhuǎn)頻頻率，表明尾水管內(nèi)的壓力脈動(dòng)同時(shí)受葉道渦及轉(zhuǎn)輪葉片數(shù)的影響，且葉道渦影響占據(jù)主導(dǎo)作用。

政府購(gòu)買社會(huì)服務(wù)一方面給社工組織的發(fā)展帶來了前所未有的機(jī)遇，僅從數(shù)量上看，廣州市近兩年來社工組織如雨后春筍般涌現(xiàn)，根據(jù)廣州市社會(huì)工作協(xié)會(huì)的統(tǒng)計(jì)資料，截至2012年底廣州市的社工機(jī)構(gòu)達(dá)至121家②。但另一方面社工組織的經(jīng)費(fèi)、場(chǎng)地等主要資源來自政府的服務(wù)購(gòu)買，服務(wù)方案以及具體的服務(wù)實(shí)施也要與政府的理念與要求契合，社工組織在專業(yè)自主性方

在葉道渦工況區(qū)，轉(zhuǎn)輪進(jìn)口處來流具有較大的負(fù)沖角，在水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪葉片之間有限的空間內(nèi)形成了渦旋流，轉(zhuǎn)輪內(nèi)流態(tài)發(fā)生根本改變，對(duì)尾水管內(nèi)的水流流動(dòng)特征有直接嚴(yán)重的影響。圖13a為尾水管速度在=0截面上的投影，圖中還給出了速度云圖分布。圖13b為DT01和DT02所連接直線上的軸向速度分布，其中軸向速度為正，表示與主流方向相反。

圖13 尾水管速度矢量

圖13a結(jié)果表明，尾水管錐管段及彎肘段遠(yuǎn)離壁面的中心區(qū)域出現(xiàn)與主水流方向相反的較大回流區(qū)，速度正值與負(fù)值之間的剪切形成了較大的渦旋區(qū)域，造成較大的能量損耗，如圖13a中區(qū)域A、B、C所示。由于葉道渦由轉(zhuǎn)輪出口靠近輪緣一側(cè)流出，而距離葉道渦距離越近，其壓力值越低，速度值越高，故進(jìn)入尾水管的水流在靠近壁面處出現(xiàn)速度極大值。軸向速度定量分析顯示，軸向速度由壁面向中心先增大后迅速減小，當(dāng)?0.129 m<<0.112 m時(shí)，軸向速度與主流相反，最大正向軸向速度為9.8 m/s，出現(xiàn)在=0.20 m處，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于流動(dòng)滯止區(qū)域的最大速度1.85 m/s。

4 結(jié) 論

1）本文對(duì)混流式模型水輪機(jī)偏工況下的葉道渦瞬態(tài)流動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值研究及試驗(yàn)觀測(cè)，數(shù)值模擬采用SST湍流模型與Zwart空化模型耦合的方法，試驗(yàn)觀測(cè)通過高速攝像機(jī)捕捉轉(zhuǎn)輪出口處葉道渦形態(tài)，數(shù)值模擬獲得的可視化葉道空化渦形態(tài)及其在轉(zhuǎn)輪內(nèi)的相對(duì)位置與試驗(yàn)觀測(cè)比較一致。

2）葉道渦出現(xiàn)在相鄰2葉片之間靠近葉片背面一側(cè)，發(fā)展于轉(zhuǎn)輪輪轂處，消失于輪緣側(cè)出口附近。在葉道渦工況區(qū)，轉(zhuǎn)輪內(nèi)空泡體積呈周期性脈動(dòng)，且葉道渦頻率為轉(zhuǎn)頻的90%。由于轉(zhuǎn)輪幾何由進(jìn)口至出口為擴(kuò)散型，主水流向轉(zhuǎn)輪出口的運(yùn)動(dòng)迫使垂直輪轂處發(fā)展而來的葉道渦沿葉片展向向出水邊方向移動(dòng)，故轉(zhuǎn)輪內(nèi)的葉道渦呈弧狀曲線結(jié)構(gòu)。

3）相對(duì)于最優(yōu)工況，轉(zhuǎn)輪進(jìn)口具有較大的負(fù)沖角是葉道渦工況區(qū)的最大特征。由于轉(zhuǎn)輪內(nèi)有限空間限制及負(fù)沖角的綜合作用，水流進(jìn)入轉(zhuǎn)輪后主水流由葉片背面向正面的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生脫流，在背面附近形成了低壓區(qū)，迫使部分流體向低壓區(qū)補(bǔ)充，最終形成葉道渦。

4）時(shí)變壓力脈動(dòng)及其頻譜分析結(jié)果表明，活動(dòng)導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪之間的無葉區(qū)、轉(zhuǎn)輪葉片以及尾水管內(nèi)均捕捉到了葉道渦頻率。無葉區(qū)內(nèi)葉片通過頻率對(duì)應(yīng)壓力幅值最大，葉道渦頻率次之；而轉(zhuǎn)輪及尾水管內(nèi)主頻均為葉道渦頻率，轉(zhuǎn)輪內(nèi)壓力測(cè)點(diǎn)靠近葉道渦區(qū)域，其壓力幅值增大。在葉道渦工況區(qū)，尾水管錐管段及肘管段中心處形成較大回流區(qū)，由于葉道渦對(duì)壓力場(chǎng)的直接影響，進(jìn)入尾水管的水流在靠近壁面處出現(xiàn)速度極大值，正向與負(fù)向速度之間的剪切形成較大的回流區(qū)域。

[1] Trivedi C, Agnalt E, Dahlhaug O G. Experimental study of a Francis turbine under variable-speed and discharge conditions[J]. Renewable Energy, 2018(119): 447—458.

[2] Trivedi C, Gandhi B, Michel C J. Effect of transients on Francis turbine runner life: A review[J]. Journal of Hydraulic Research, 2013, 51(2): 121—132.

[3] Goyal R, Gandhi B K. Review of hydrodynamics instabilities in Francis turbine during off-design and transient operations[J]. Renewable Energy, 2018(116): 697—709.

[4] Escaler X, Egusquiza E, Farhat M, et al. Detection of cavitation in hydraulic turbines[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20 (4): 983—1007.

[5] Liu Demin, Liu Xiaobing, Zhao Yongzhi. Experimental investigation of inter-blade vortices in a model Francis turbine[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2017, 30(4): 854—865.

[6] 阮輝，廖偉麗，宮海鵬，等. 高比轉(zhuǎn)速混流式水輪機(jī)葉道渦工況下轉(zhuǎn)輪的動(dòng)力特性分析[J]. 水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2015，34(11): 25—31.

Ruan Hui, Liao Weili, Gong Haipeng, et al. Dynamic analysis of high-specific-speed Francis turbine runner in channel vortices condition[J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2015, 34(11): 25—31.

[7] Zuo Zhigang, Liu Shuhong, Liu Demin, et al. Numerical predictions of the incipient and developed interblade vortex lines of a model francis turbine by cavitation calculations[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2013(5): 397583.

[8] Guo Pengcheng, Wang Zhaoning, Luo Xingqi, et al. Flow characteristics on the blade channel vortex in the Francis turbine[J/OL]. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016(129): 012038.

[9] Magnoli M V, Anciger D, Maiwald M. Numerical and experimental investigation of the runner channel vortex in Francis turbines regarding its dynamic flow characteristics and its influence on pressure oscillations[J/OL]. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2019(240): 022044.

[10] 李啟章. 混流式水輪機(jī)水力穩(wěn)定性研究[M]. 北京：中國(guó)水利水電出版社，2014.

[11] Guo Pengcheng, Wang Zhaoning, Sun Longgang, et al. Characteristic analysis of the efficiency hill chart of Francis turbine for different water heads[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2017, 9(2): 1－8.

[12] Yamamoto K, Müller A, Favrel A, et al. Experimental evidence of inter-blade cavitation vortex development in Francis turbines at deep part load condition[J]. Experiments in Fluids, 2017, 58(10): 142.

[13] Yamamoto K, Müller A, Favrel A, et al. Numerical and experimental evidence of the inter-blade cavitation vortex development at deep part load operation of a Francis turbine[J/OL]. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2016(49): 082005.

[14] Yamamoto K, Müller A, Favrel A, et al. Guide vanes embedded visualization technique for investigating Francis runner inter-blade vortices at deep part load operation[C]. Ljubljana: 6thIAHR International Meeting of the Workgroup on Cavitation and Dynamic Problems in Hydraulic Machinery and Systems, 2015.

[15] Zuo Zhigang, Liu Shuhong, Liu Demin, et al. Numerical analyses of pressure fluctuations induced by interblade vortices in a model Francis turbine[J]. Journal of Hydrodynamics, 2015, 27(4): 513－521.

[16] Xiao Yexiang, Wang Zhengwei, Yan Zongguo. Experimental and numerical analysis of blade channel vortices in a Francis turbine runner[J]. Engineering Computations, 2011, 28(2): 154－171.

[17] Menter F R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications[J]. AIAA Journal, 1994, 32(8): 1598－1605.

[18] Zwart P, Gerber A G, Belamri T. A two-phase flow model for predicting cavitation dynamics[C]. Yokohama: ICMF 2004 International Conference on Multiphase Flow, 2004.

[19] 孫龍剛，郭鵬程，麻全，等. 基于TBR 模型的高水頭混流式水輪機(jī)水力性能預(yù)測(cè)[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2019，35(7)：62－69.

Sun Longgang, Guo Pengcheng, Ma Quan, et al. Hydraulic performance prediction for high-head francis turbine based on TBR model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering(Transactions of the CSAE), 2019, 35(7): 62－69. (in Chinese with English abstract)

[20] Trivedi C, Cervantes M J, Gandhi B K, et al. Experimental and numerical studies for a high head Francis turbine at several operating points[J/OL]. Journal of Fluids Engineering, 2013, 135(11): 111102.

[21] 陳鐵軍，郭鵬程，駱翼，等. 基于反轉(zhuǎn)雙吸泵的液力透平全特性的數(shù)值預(yù)測(cè)[J]. 排灌機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2013，31(3)：195－199.

Chen Tiejun, Guo pengcheng, Luo Yi et al. Numerical prediction on over-all performance of double suction pump reverse running as turbine[J]. Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engneering, 2013, 31(3): 195－199. (in Chinese with English abstract)

[22] 張德勝，吳蘇青，施衛(wèi)東，等. 軸流泵小流量工況條件下葉頂泄漏空化特性[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2013，29(22)：68—75.

Zhang Desheng, Wu Suqing, Shi Weidong, et al. Characteristics of tip leakage vortex cavitation in axial flow pump at small flow rate condition[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering(Transactions of the CSAE), 2013, 29(22): 68－75. (in Chinese with English abstract)

[23] 孫龍剛，郭鵬程，羅興锜. 水輪機(jī)尾水管渦帶壓力脈動(dòng)同步及非同步特性研究[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2019，50(9)：122—129.

Sun Longgang, Guo Pengcheng, Luo Xingqi. Investigation on synchronous and asynchronous characteristics of pressure fluctuations towards precessing vortex rope in Francis turbine draft tube[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2019, 50(9): 122—129. (in Chinese with English abstract)

[24] Ji Bin, Luo Xianwu, Wang Xin, et al. Unsteady numerical simulation of cavitating turbulent flow around a highly skewed model marine propeller[J/OL]. Journal of Fluids Engineering, 2011, 133(1): 011102.

[25] 阮輝，廖偉麗，羅興锜，等. 葉片低壓邊的軸面位置對(duì)高水頭水泵水輪機(jī)空化性能的影響[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2016，32(16)：73－81.

Ruan Hui, Liao Weili, Luo Xingqi, et al. Effects of low pressure meridional position on cavitation performance for high-head pump-turbine[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering(Transactions of the CSAE), 2016, 32(16): 73－81. (in Chinese with English abstract)

[26] Sun Longgang, Guo Pengcheng, Zheng Xiaobo, et al. Numerical investigation into cavitating flow around a NACA66 hydrofoil with DCM models[J/OL]. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2019(240): 062020.

[27] 劉厚林，劉東喜，王勇，等. 三種空化模型在離心泵空化流計(jì)算中的應(yīng)用評(píng)價(jià)[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2012，28(16)：54—59.

Liu Houlin, Liu Dongxi, Wang Yong, et al. Applicative evaluation of three cavitating models on cavitating flow calculation in centrifugal pump[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2012, 28(16): 54－59. (in Chinese with English abstract)

[28] Ji Bin, Luo Xianwu, Arndt R E A, et al. Large eddy simulation and theoretical investigations of the transient cavitating vortical flow structure around a NACA66 hydrofoil[J]. International Journal of Multiphase Flow, 2015(68): 121—134.

[29] Wack J, Riedelbauch S. Numerical simulations of the cavitation phenomena in a Francis turbine at deep part load conditions[J/OL]. Journal of Physics: Conference Series, 2015, (656): 012074.

[30] IEC60193-1999 Hydraulic Turbines, Storage Pumps and Pump Turbines- Model Acceptance Tests[S]. Geneva: International Electrotechnical Commission, 1999.

[31] Yamamoto K, Müller A, Favrel A, et al. Pressure measurements and high speed visualizations of the cavitation phenomena at deep part load condition in a Francis turbine[J/OL]. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2014, 22(2): 022011.

Flow characteristic investigation into inter-blade vortex for Francis turbine

Guo Pengcheng, Sun Longgang, Luo Xingqi

(,’710048,)

The operating of hydroturbines is inclined towards the off-design conditions due to tremendous development and integration of renewable energy resources, which inevitably induces various types of cavitation flowing causes rapid degradation in performance. The inter-blade vortex can be interpreted as a peculiar cavitation flowing phenomenon developed in the blade channels and disappeared near the runner outlet at partial load conditions for Francis turbine, in combination with several adverse effects on pressure and velocity fields. However, there is limited investigation available on the flow characteristic and underlying mechanism of inter-blade vortex, as well as its influence on hydraulic performance for Francis turbine. This paper presented numerical and experimental investigations into cavitation two-phase fluid for a reduced scale model of Francis turbine. The numerical investigation was carried out by coupling the SSTturbulent model and the Zwart cavitation model, and the experimental vortex structure was recorded by a high-speed camera through the transparent draft tube cone immediately downstream of the runner. The fluid structure of inter-blade vortex predicted by numerical simulation yielded a very good validation against the experimental visualization. At the given operating point, a periodic oscillation of vapor volume was obtained and accompanied by the precessing frequency of inter-blade vortex, which was about 0.9 times of the rotational frequency. The incipient of inter-blade vortex structure had been observed near the runner hub along the blade span-wise direction, under the action of centrifugal force, the main flow was susceptible to be offset towards runner shroud that forced the vortex structure to move towards the trailing edge of runner blade, as a consequence, the vortex filament left the runner outlet in the vicinity of runner shroud. The limited space between blade channels and large negative angle of attack, which caused remarkable flow separation and recirculation regions in the blade channels, were both responsible for the formation of inter-blade vortex. The pressure pulsation and spectrum analysis showed that the precessing frequency of inter-blade vortex was always captured in the vaneless space between the guide vane and the runner, the runner blade, as well as the draft tube, indicating that the frequency propagated to the upstream and downstream simultaneously. In the vaneless space, the maximum pressure amplitude was attained at the blade passage frequency induced by the rotor-stator interaction, but the frequency of inter-blade vortex was also powerful and cannot be neglected. In terms of the pressure minoring point near the runner inlet, both of the inter-blade vortex frequency and guide vane passage frequency were dominating the turbine. In the vicinity of trailing edge of runner blades, the guide vane passage frequency was completely dampened but the inter-blade vortex significantly promoted the pressure amplitude, which evidently indicated that the presence of inter-blade vortex had critical influence on the production of pressure fluctuation on the suction side adjacent to the trailing edge. The pressure oscillations in draft tube cone kept synchronized despite different positions, and the frequency of inter-blade vortex performed a dominant role on the excitation of pressure fluctuation. It was worth noting that severe backflow dominates on the central sections of draft tube cone and elbow owing to vital effects of inter-blade vortex on the internal flow fields of draft tube. The presented investigations provide greater insight into the complex fluid structure and better understanding of underlying mechanism of inter-blade vortex towards the Francis turbines.

Francis turbine; numerical analysis;cavitation; inter-blade vortex; pressure fluctuation

郭鵬程，孫龍剛，羅興锜. 混流式水輪機(jī)葉道渦流動(dòng)特性研究[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2019，35(20)：43－51.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.20.006 http://www.tcsae.org

Guo Pengcheng, Sun Longgang, Luo Xingqi. Flow characteristic investigation into inter-blade vortex for Francis turbine[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(20): 43－51. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.20.006 http://www.tcsae.org

2019-05-03

2019-06-30

國(guó)家自然科學(xué)基金（51839010）；陜西省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2017ZDXM-GY-081）；陜西省教育廳服務(wù)地方專項(xiàng)計(jì)劃（17JF019）

郭鵬程，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事水力機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)理論及優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。Email：guoyicheng@126.com。

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.20.006

TK733+.1

A

1002-6819(2019)-20-0043-09