淺析借助幾何直觀解決數(shù)學(xué)中的類“線段條數(shù)”問題

張芳芳

摘 要：幾何直觀就是依托幾何圖形和直觀物體進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。幾何直觀是義務(wù)教育階段新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的10個(gè)核心概念之一，需要我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中借助相關(guān)內(nèi)容有機(jī)的去發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。本文借助同一平面中的幾個(gè)點(diǎn)可以組成幾條不同的線段模型，來解決同類問題，以下稱為類“線段條數(shù)”問題。

關(guān)鍵詞：幾何直觀 線段條數(shù)問題

一、幾何直觀的意義

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把生活中復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)或獲取結(jié)果?！盵1]在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，幾何直觀可以將生活中具體形象問題轉(zhuǎn)化為抽象數(shù)學(xué)幾何圖形問題，使問題變得簡(jiǎn)明、清晰。學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考、猜想、驗(yàn)證，進(jìn)而獲得結(jié)論或者推翻假設(shè)，達(dá)到問題解決和能力的提升。幾何直觀能力的培養(yǎng)至關(guān)重要，它是我們邏輯思維形成和發(fā)展的起點(diǎn)。

二、線段條數(shù)問題

線段條數(shù)問題：是指平面中或者一條直線上有幾個(gè)不同的點(diǎn)，可以組成不同的幾條線段。如圖，直線上有四個(gè)不同的點(diǎn)，可以組成幾條不同的線段？你有什么發(fā)現(xiàn)？（圖1）

學(xué)生借助以下幾何直觀方法：線段圖、樹狀圖、列舉法、歸納公式法。（這四種方法在以下具體問題中體現(xiàn)）

三、類“線段條數(shù)”問題的解決

以下問題都可以抽象為類“線段條數(shù)”問題加以解決：

（1）在中外領(lǐng)導(dǎo)人的會(huì)晤中，按禮節(jié)要握手。若每?jī)扇宋?次手，則3個(gè)人共握幾次手？4個(gè)人共握幾次手？

（2）象棋比賽中，所有比賽選手要進(jìn)行兩兩對(duì)弈，若有3人，則一共下幾局，若有4人呢？5個(gè)人呢？……n個(gè)人呢？

（3）一列高鐵往返于兩城市之間，每次運(yùn)行停靠n個(gè)站點(diǎn)（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）。請(qǐng)問鐵路部門共應(yīng)發(fā)售多少種不同的車票？

問題（1）是簡(jiǎn)單的組合問題。主要安排在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的第二學(xué)段，青島版教材四年級(jí)上冊(cè)和五年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生借助幾何直觀，為解決問題提供思路。問題（2）是在問題（1）基礎(chǔ)上對(duì)研究對(duì)象的擴(kuò)展到無數(shù)（進(jìn)一步滲透極限思想），引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀找到解決方法。并幫助學(xué)生理解、記憶和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律或總結(jié)的結(jié)論，為初中和高中學(xué)習(xí)排列與組合打下良好的基礎(chǔ)。

問題（1）、（2）是典型的類“線段條數(shù)”問題。此階段學(xué)生抽象思維開始發(fā)展，借助幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生思考拓展學(xué)生的想象力。將研究對(duì)象“人”抽象為一個(gè)點(diǎn)，把“兩人握手或比賽”抽象成“兩點(diǎn)之間連接成的線段”，借助直觀圖形就可以簡(jiǎn)明地解決問題。

其解決方法是：

方法一：線段圖（如圖2）。借助幾何直觀直接在圖上數(shù)出線段條數(shù)，數(shù)的時(shí)候要避免重復(fù)和遺漏。提醒學(xué)生從“A”開始依次與其后邊“B、C、D”全部完成握手，接著從B開始依次與其后邊的人握手，直至結(jié)束。當(dāng)“B”與其余人握手時(shí)，注意不能與“A”重復(fù)握手，最后數(shù)出所有次數(shù)：共計(jì)6次。

方法二：樹狀圖（如圖2）。用簡(jiǎn)單的樹狀圖直觀展示出組合結(jié)果。

得到結(jié)果：四個(gè)人兩兩握手共握6次。

方法三：列舉法。列舉法是將所有符合題意的結(jié)果一一列舉出來。是學(xué)生思維發(fā)展到更高階段出現(xiàn)的，此時(shí)學(xué)生的空間想象能力得到進(jìn)一步發(fā)展，邏輯思維、空間觀念和推理能力得到一定發(fā)展，有的學(xué)生無需借助幾何圖形，將研究對(duì)象抽象為字母或者符號(hào)，逐一列舉出對(duì)應(yīng)組合，直觀的數(shù)出結(jié)果，從而解決問題。此法用于研究對(duì)象有限且數(shù)據(jù)較小時(shí)。

如四人兩兩握手列舉如下：AB AC AD

BC BD

CD 得到結(jié)果：共計(jì)6次。

方法四：歸納公式法。當(dāng)?shù)诙€(gè)問題擴(kuò)展為n個(gè)人時(shí)，可采用幾何圖形或圖表的力量進(jìn)行歸納，總結(jié)出規(guī)律或歸納出公式直接應(yīng)用。人（點(diǎn)）數(shù) 線段條（次）數(shù) 規(guī)律

2 1 1

3 3 2+1

4 6 3+2+1

…… ……

n n（n-1）/2 （n-1）+…+3+2+1

綜上可知，生活中的握手問題，雙人對(duì)弈或者選手兩兩比賽問題，實(shí)際上都是簡(jiǎn)單的組合現(xiàn)象，皆可抽象為“線段條數(shù)”問題 ，借助以上四種幾何直觀的方法，可以直觀的簡(jiǎn)明的解決。此式（n-1）+…+3+2+1的求解方法，即對(duì)于n個(gè)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)都可以與其余的（n-1）個(gè)點(diǎn)組成（n-1）條線段，但每一個(gè)組合都重復(fù)算了一次，故共計(jì)線段條數(shù)n（n-1）/2條。或者向?qū)W生講解采用高斯求和公式進(jìn)行計(jì)算。

問題三“車票問題”和“握手問題”有所不同，其中蘊(yùn)含著排列思想。學(xué)習(xí)時(shí)若將“車票問題”看成“線段問題”，這里的線段有方向的，是矢量，從A至B是一種車票，從B至A是另一種不同的車票，學(xué)生借助先前經(jīng)驗(yàn)，得出結(jié)論就是“線段問題”的二倍，即n（n-1）。將組合和排列理解透徹。

結(jié)語

隨著知識(shí)難度的擴(kuò)展和深化，早期幾何直觀模型的建立至關(guān)重要，我們生活的是一個(gè)多維空間，要進(jìn)行歸納探究規(guī)律解決生活中一些常見的問題，勢(shì)必要采用數(shù)形結(jié)合即幾何直觀的方法，它是學(xué)生發(fā)展空間觀念的重要媒介，是數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的一種重要方法。在日常教學(xué)中，我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的這種能力。

參考文獻(xiàn)

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀[M].北京師范大學(xué)出版社，2012.200.