以“植樹(shù)問(wèn)題”為例探討數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

李林婧

（文山學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的總目標(biāo)中明確提出了“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）[1]，表明在小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)技能同等重要，必需習(xí)得。這就好比授人以魚(yú)不如授人以漁，魚(yú)在此為必要的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能；而漁為基本思想方法與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有了捕魚(yú)的方法，學(xué)生想要魚(yú)也容易多了。

可是，在當(dāng)前的小學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)并沒(méi)有得到足夠的重視，教材中潛藏的數(shù)學(xué)思想方法未能夠得到充分應(yīng)用，有的教師甚至認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法講多了容易增加學(xué)生負(fù)擔(dān)。數(shù)學(xué)思想方法的滲透能不能提高學(xué)習(xí)效率，小學(xué)教師應(yīng)該如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)呢？查閱文獻(xiàn)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)雖然較多研究者提出了數(shù)學(xué)思想教學(xué)的方法和建議，但是都基于理論研究，實(shí)踐研究較少。因此筆者以人教版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角——“植樹(shù)問(wèn)題”單元為例展開(kāi)研究，查閱“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)設(shè)計(jì)與教研論文，通過(guò)觀察法與個(gè)案研究等方法對(duì)這一單元教學(xué)中可能存在的問(wèn)題進(jìn)行梳理，對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)以及本單元涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法的滲透提出個(gè)人思考。

1 關(guān)于數(shù)學(xué)廣角——“植樹(shù)問(wèn)題”分析

本教學(xué)單元主要討論隔段沿指定路線(xiàn)植樹(shù)的問(wèn)題，內(nèi)容緊貼生活，活動(dòng)性和操作性比較強(qiáng)，具有積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、滲透數(shù)學(xué)思想方法等特征，同時(shí)也可延伸到解決其他生活問(wèn)題方面。但是因?yàn)樗纱嬖诘淖兞慷?、情況多，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)無(wú)頭緒的情況，因此教與學(xué)都有著較大的探究空間。

1.1 “植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)內(nèi)容分析

“植樹(shù)問(wèn)題”設(shè)計(jì)的兩個(gè)重要變量：坑數(shù)，即植樹(shù)問(wèn)題一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)挖一個(gè)坑，這樣描述有利于今后學(xué)生演變到對(duì)應(yīng)其他類(lèi)似問(wèn)題；間隔，表示兩個(gè)坑之間有一段距離，間隔數(shù)即有幾個(gè)間隔的問(wèn)題。

“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)內(nèi)容中涉及兩個(gè)等量關(guān)系：第一個(gè)關(guān)系是全長(zhǎng)÷平均間距=間隔數(shù)；第二個(gè)關(guān)系是坑數(shù)、間隔數(shù)之間的關(guān)系，需要分三種情況討論，兩端都不栽（坑數(shù)比間隔數(shù)少1）、僅一端栽（坑數(shù)與間隔數(shù)一樣多）、兩端都栽（坑數(shù)比間隔數(shù)多1）。而實(shí)際兩個(gè)關(guān)系式中，坑數(shù)只與間隔數(shù)有關(guān)系，與間距大小，是否為平均間距無(wú)關(guān)；但是知道平均間距和總長(zhǎng)可以求出間隔數(shù)。

1.2 “植樹(shù)問(wèn)題”涉及的數(shù)學(xué)思想方法

本教學(xué)單元的主要數(shù)學(xué)思想方法有：抽象的方法，數(shù)形結(jié)合思想、歸納猜想、模型的方法，分類(lèi)討論、類(lèi)比的思想、化歸的方法。如何讓學(xué)生經(jīng)歷一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)、認(rèn)識(shí)這些重要的思想方法，今后如何將此思考方式與方法遷移到其他數(shù)學(xué)問(wèn)題上，是教師需要思考的問(wèn)題。

1.3 “植樹(shù)問(wèn)題”衍生或者轉(zhuǎn)化的系列問(wèn)題

“植樹(shù)問(wèn)題”的衍生問(wèn)題：環(huán)形植樹(shù)問(wèn)題，方陣植樹(shù)問(wèn)題、方陣外圈植樹(shù)問(wèn)題等；

“植樹(shù)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化問(wèn)題：“數(shù)手指”“鋸木頭”“裝路燈”“擺花盆”“打木樁”“敲鐘”“爬樓梯”問(wèn)題等。

教師在教學(xué)中可以盡量收集衍生問(wèn)題并進(jìn)行歸類(lèi)，在縱橫聯(lián)系中促使學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去思考和探索問(wèn)題，加深對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)一步拓寬思路，激活了思維數(shù)學(xué)思想方法就能夠水到渠成地滲透給了學(xué)生[2]。通過(guò)對(duì)“模型的方法”“化歸的方法”的介紹，讓學(xué)生嘗試?yán)脭?shù)學(xué)思想方法進(jìn)行知識(shí)的遷移與轉(zhuǎn)化，有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究，訓(xùn)練思維能力。

1.4 教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的困難、成因分析及教學(xué)處理建議

首先，關(guān)于探索。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，受課堂時(shí)間所限難以給足學(xué)生時(shí)間細(xì)致深入地自主探索，學(xué)生自主解決問(wèn)題的能力難以提升；對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，教材例題數(shù)據(jù)大、畫(huà)圖困難，且同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)需要探索得出結(jié)論的模型（等量關(guān)系）。學(xué)生短時(shí)間內(nèi)既要猜想驗(yàn)證得出（兩端都種的）模型關(guān)系，又要理清題意解決問(wèn)題，除了接受能力強(qiáng)的同學(xué)，多數(shù)學(xué)生會(huì)思路混亂、產(chǎn)生畏難情緒。降低了解決問(wèn)題的興趣，遇見(jiàn)問(wèn)題沒(méi)有頭緒，學(xué)生開(kāi)始生吞活剝地硬套公式，解題就忽對(duì)忽錯(cuò)[3]。筆者建議適當(dāng)改良例題情景，用簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)、讓學(xué)生有充裕的時(shí)間經(jīng)歷對(duì)“坑數(shù)”與“間隔數(shù)”的探究和比較，并找到三種情況內(nèi)在的聯(lián)系。因?yàn)閷?duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，夠得著的問(wèn)題才有興趣經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證和理解。

其次，內(nèi)容安排。在一個(gè)課時(shí)內(nèi)，教師一般只能完成教材例題中“植樹(shù)問(wèn)題”兩端都栽的這一種情況討論，到第二個(gè)課時(shí)才能進(jìn)行另外兩種情況（兩端不栽，一端栽）的討論。這樣割裂的方式不利于學(xué)生對(duì)這三種情況進(jìn)行充分對(duì)比和深入理解，同時(shí)也讓學(xué)生錯(cuò)失了理解分類(lèi)討論的最佳時(shí)期。

再次，數(shù)學(xué)思想方法滲透。有的教師本身缺少對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)與思考，導(dǎo)致本單元的教學(xué)講解不夠深入，不能體現(xiàn)“數(shù)學(xué)廣角”編寫(xiě)的初衷。教師講解不到位，學(xué)生建立模型的過(guò)程只能靠死記硬背，在解決如環(huán)形植樹(shù)、打木樁等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，更難以轉(zhuǎn)化應(yīng)用。對(duì)于轉(zhuǎn)化應(yīng)用，筆者建議將 “植樹(shù)問(wèn)題”的系列問(wèn)題羅列出來(lái)，課堂中完成植樹(shù)模型討論后，進(jìn)一步探討這系列問(wèn)題如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，并總結(jié)“化歸方法”，歸納學(xué)生解決類(lèi)似問(wèn)題的思路。

2 “植樹(shù)問(wèn)題”的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)探究

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)的 “數(shù)學(xué)廣角”，學(xué)習(xí)的主要目的是讓學(xué)生掌握一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷自主探索，在生活中逐步增加解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與能力，屬于思維拓展性學(xué)習(xí)[4]。通過(guò)以上分析，筆者將“植樹(shù)問(wèn)題”設(shè)計(jì)為以探究應(yīng)用為主線(xiàn)，“數(shù)學(xué)思想方法”為暗線(xiàn)，由淺入深進(jìn)行的教學(xué)環(huán)節(jié)。順序如下：

“數(shù)形結(jié)合”思想滲透：教學(xué)引入改良為，一只可愛(ài)的兔子想在它的茅屋旁種一排胡蘿卜充饑，請(qǐng)大家?guī)兔ΨN種地。（課件展示兔子與茅屋圖片）如何種呢？學(xué)生在這個(gè)時(shí)候?qū)?wèn)題產(chǎn)生了興趣，通過(guò)小組討論，確定將“一條線(xiàn)段”表示為種一排，一個(gè)蘿卜一個(gè)坑，一個(gè)“圓圈”表示為挖一個(gè)坑，初步確定問(wèn)題為在一條線(xiàn)段上畫(huà)坑。目的：溝通了圖形與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的聯(lián)系，加強(qiáng)了對(duì)題意的理解和方法應(yīng)用。

“分類(lèi)討論”的思想滲透：學(xué)生開(kāi)始在線(xiàn)段上畫(huà)圖挖坑，教師可通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提示兩個(gè)坑之間要有間隔?？拥膫€(gè)數(shù)可進(jìn)行限制，如果教師能夠掌控課堂，也可不加限制。學(xué)生畫(huà)好圖后進(jìn)行小組討論，找出線(xiàn)段上不同的排列（栽種方法）。經(jīng)過(guò)展示、對(duì)比、分析，引導(dǎo)學(xué)生描述出分類(lèi)方法為：僅一端栽、兩端都栽、兩端不栽。學(xué)生在自己的圖上標(biāo)注出種法，小組內(nèi)互相檢查批改。目的：通過(guò)此環(huán)節(jié)，讓學(xué)生會(huì)畫(huà)圖分析“植樹(shù)問(wèn)題”的三種情況。

“歸納法”的思想滲透：從“僅一端栽”開(kāi)始討論（此處可依據(jù)學(xué)生喜好選擇情況進(jìn)行討論）。從畫(huà)一個(gè)坑開(kāi)始依次到多個(gè)坑，通過(guò)邊畫(huà)圖邊數(shù)清坑數(shù)與間隔數(shù)的方法，歸納出坑數(shù)與間隔數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（教師可點(diǎn)撥觀察的順序）。

“模型的方法”滲透：當(dāng)學(xué)生找到“僅一端栽”情況的坑數(shù)與間隔數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，嘗試讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述并用等式表示為，坑數(shù)＝間隔數(shù)；則“兩端不栽”畫(huà)圖可得端點(diǎn)處少1個(gè)坑而間隔數(shù)沒(méi)變化，等式為，坑數(shù)＝間隔數(shù)-1；以此類(lèi)推，兩端栽為，坑數(shù)＝間隔數(shù)＋1。目的：學(xué)生通過(guò)歸納推理與建立模型，更進(jìn)一步整理三種情況的思路；還可以背個(gè)順口溜，即“與間隔數(shù)相比，兩端不栽坑少1，僅一端栽坑相同，兩端都栽坑多1”。

“化歸方法”的滲透：首先教師嘗試給出間隔數(shù)請(qǐng)學(xué)生求坑數(shù)，考察學(xué)生能否會(huì)分類(lèi)討論；再給出坑數(shù)請(qǐng)學(xué)生分情況討論間隔數(shù)，加深學(xué)生對(duì)模型的理解；然后，教師給出簡(jiǎn)單的環(huán)形植樹(shù)問(wèn)題（轉(zhuǎn)化為僅一端栽情況），“數(shù)手指”問(wèn)題（轉(zhuǎn)化為兩端都栽情況），“鋸木頭”問(wèn)題（轉(zhuǎn)化為兩端不栽情況），“鐘打點(diǎn)”問(wèn)題（轉(zhuǎn)化為兩端都栽情況），“爬樓梯”問(wèn)題（轉(zhuǎn)化為僅一端栽情況）等，嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“植樹(shù)問(wèn)題”的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到新的問(wèn)題模型。目的是讓學(xué)生初步的感知化歸的方法，學(xué)會(huì)將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知模型，今后解決問(wèn)題時(shí)能夠考慮應(yīng)用此方法。

總結(jié)“數(shù)學(xué)思想方法”：教師在講授完植樹(shù)問(wèn)題以及植樹(shù)的相關(guān)問(wèn)題后，及時(shí)按講課順序總結(jié)思路并對(duì)應(yīng)歸納使用的數(shù)學(xué)思想方法。五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備通過(guò)具體事例理解概念的能力，充分詮釋數(shù)學(xué)思想方法有助于學(xué)生的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，教師有必要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者選擇暑期四年級(jí)升五年級(jí)、數(shù)學(xué)成績(jī)、思維能力均屬中等水平的小學(xué)生進(jìn)行教學(xué)試驗(yàn)，學(xué)時(shí)一小時(shí)。通過(guò)觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，教學(xué)情景越簡(jiǎn)單有趣，學(xué)生越有興趣參與其中；教學(xué)提問(wèn)越有步驟和針對(duì)性，學(xué)生的行動(dòng)力越好；在充裕時(shí)間下，學(xué)生對(duì)于變量越少的探究，建立模型和解決問(wèn)題的能力越高。對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移。通過(guò)教學(xué)試驗(yàn)后，學(xué)生對(duì)植樹(shù)模型以及植樹(shù)問(wèn)題的分類(lèi)討論清楚明確，對(duì)解決此類(lèi)問(wèn)題產(chǎn)生了濃厚的興趣；數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用與概括使學(xué)生思考問(wèn)題的方法和角度更準(zhǔn)確，對(duì)中等難度問(wèn)題的解題方法更明確、正確率更高。人教版教材的內(nèi)容和習(xí)題則作為學(xué)生自主練習(xí)、復(fù)習(xí)鞏固的部分展開(kāi)。對(duì)于教材中稍難的題目，只要學(xué)生的思路正確，獨(dú)立思考時(shí)間足夠或者有教師稍加點(diǎn)撥就都能夠自行轉(zhuǎn)化為已知模型。

3 “植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)為例的其它教學(xué)建議

3.1 學(xué)生課后畫(huà)思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖作為一種筆記方法，它和傳統(tǒng)的直線(xiàn)記錄方法完全不同，以直觀形象的圖示建立起各個(gè)概念之間的聯(lián)系，是模擬思維網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行的記憶、歸納和創(chuàng)造的工具[5]。課后學(xué)生將課堂中思考的過(guò)程、探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、解決問(wèn)題的方法形成書(shū)面導(dǎo)圖，有助于加深記憶，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定、有條理。同時(shí)，教師依據(jù)學(xué)生畫(huà)的框架圖，可以找到學(xué)生學(xué)習(xí)中的缺漏并及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)。

3.2 對(duì)學(xué)生要求“下有保底，上不封頂”

由于學(xué)生思維能力不均衡，接受能力不同，建議教師制定有差異的教學(xué)目標(biāo)，由淺入深地設(shè)置問(wèn)題；進(jìn)行習(xí)題的難度系數(shù)歸類(lèi)，按照思維訓(xùn)練層次逐漸拔高（分為基礎(chǔ)題、提升提、拔高題等），讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)能力逐漸選擇解決更難的問(wèn)題。對(duì)于接受能力很強(qiáng)的學(xué)生，還可以再增設(shè)一些開(kāi)放性作業(yè)和問(wèn)題，拓展學(xué)生的思維并從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

3.3 教師要有提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意識(shí)

“數(shù)學(xué)廣角”蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)部分教師而言可能未曾學(xué)習(xí)過(guò)也是新內(nèi)容，對(duì)于大部分教師而言有一定了解卻從未深入探討過(guò)。教師如果缺乏數(shù)學(xué)思想方法在理論方面的深層次認(rèn)識(shí)，將很難對(duì)內(nèi)容有更深的把握，教學(xué)中難免會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的問(wèn)題，唯有不斷地學(xué)習(xí)才能夠增加深入理解[6]。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，正如米山國(guó)藏所說(shuō)“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)有什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益[7]。”然而，教科書(shū)中的很多數(shù)學(xué)思想并不是顯而易見(jiàn)的，甚至體現(xiàn)得還不夠，教師要在深挖教材的基礎(chǔ)上，采取多樣化的形式把蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)基本思想凸顯出來(lái)，有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)基本思想進(jìn)行升華和提煉[8]。數(shù)學(xué)基本思想作為義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的四基之一，對(duì)教師的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求。希望通過(guò)本論文能夠增加小學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)基本思想及數(shù)學(xué)廣角認(rèn)識(shí)的思考，同時(shí)對(duì)今后“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)思路提供一定的參考。