正交變換在幾何學中的應用

張立新

(鞍山師范學院 數(shù)學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

在高等代數(shù)的后續(xù)學習中，引入正交變換，從而讓學生了解到化二次型為標準形的方法不僅有配方法、合同變換法，還有正交變換法.正交變換是代數(shù)學中常用的線性變換，它具有鮮明的幾何特征.盡管如此，初學者對其在幾何學中的應用還是比較模糊，同時這方面的研究文獻也偏少，鑒于此，本文從3個方面論述正交變換在幾何學中的應用.

1 正交變換的相關理論

1.1 正交變換

歐式空間V的線性變換σ，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對于任意的α,β∈V,都有(σ(α),σ(β))=(α,β)，則稱σ為正交變換[1].正交變換可以從以下幾個方面來加以刻畫：

設σ是n維歐式空間V的一個線性變換，于是下面4個命題是相互等價的：

(1)σ為正交變換；

(2)σ保持向量的長度不變，即對于任意的α∈V,|σ(α)|=|α|；

(3)如果ε1,ε2,…,εn是標準正交基，那么σ(ε1),σ(ε2),…,σ(εn)也是標準正交基；

(4)σ在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.

1.2 正交矩陣

n階實方陣A，如果滿足A′A=E，則稱A為正交矩陣[2].

n階正交矩陣A具有如下性質(zhì)：

(1)A為可逆矩陣，且A-1=A′；

(2)A′也為正交矩陣(從而A-1也為正交矩陣)；

(3)對任意n維列向量X，AX保持向量X的長度，即|AX|=|X|；AX和AY保持向量X和Y的內(nèi)積，即(AX,AY)=(X,Y)；

(4)A的n列(行)向量構(gòu)成Rn的一個標準正交基.

歐式空間中，在標準正交基下，正交變換與正交矩陣是一一對應關系.一個正交變換對應一個正交矩陣；反之，一個正交矩陣對應一個正交變換.

如果A是正交矩陣，那么AA′=E可知|A|=±1.因此，行列式等于+1的正交變換通常稱為第一類正交變換(也稱為旋轉(zhuǎn)的)；行列式等于-1的正交變換通常稱為第二類正交變換.

2 正交變換在幾何學中的認識

正交變換是歐式空間保持向量內(nèi)積不變的線性變換.它不僅保持向量的長度不變，而且還保持向量的夾角不變.二維或三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換、關于某一條直線或平面的對稱變換都是正交變換.投影變換、平移變換不是正交變換.

例1平面上過原點的所有向量構(gòu)成實數(shù)域上二維線性空間R2.設σ是平面上的向量繞坐標原點按逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換,

證明

記

σ(k1β1+k2β2)=k1σ(β1)+k2σ(β2)，

所以旋轉(zhuǎn)變換σ是正交變換.

證畢

旋轉(zhuǎn)變換不僅是歐式空間的線性變換，而且還保持向量的內(nèi)積不變(即保持向量的長度不變，保持向量的夾角不變)，因而它是正交變換.由于旋轉(zhuǎn)變換的矩陣的行列式等于+1,所以旋轉(zhuǎn)變換是第一類正交變換.

解

σ(β1)+σ(β2)=β1+β2+2α0≠σ(β1+β2)，

故平移變換不是線性變換，所以它不是正交變換.

證畢

平移變換雖然保持向量的長度不變，保持向量的夾角不變，但它不是線性變換，因而平移變換不是正交變換.

例3設η是n維歐式空間V的一個單位向量，對任意α∈V，定義線性變換σ(α)=α-2(η,α)η,證明σ是正交變換(這樣的正交變換也稱為鏡面反射變換).

證明對任意

α,β∈V,(σ(α),σ(β))=(α-2(η,α)η,β-2(η,β)η)=

(α,β)-4(η,α)(η,β)+4(η,α)(η,β)(η,η)=(α,β)，

故σ是正交變換.

證畢

假設η是平面π的法線方向，(η,α)η是向量α在η方向的投影向量，如圖1所示，于是σ(α)與α關于平面π對稱，因此正交變換σ(α)=α-2(η,α)η也稱為鏡面反射變換.

鏡面反射變換是最簡單的一類正交變換.在n維歐式空間V中，任一正交變換都可表示成有限個鏡面反射的乘積.

圖1 鏡面反射變換鏡

3 正交變換在幾何學中的應用

正交變換是線性變換的一種，它從實內(nèi)積空間V映射到V自身，保持變換前后內(nèi)積不變.它應用在幾何學上就是保持變換前后圖形的不變性，這是正交變換的優(yōu)勢，從而達到了判斷二次曲面類型、辨明二次曲面形狀的目的.

任意一個實二次型

例4方程

表示何種二次曲面？

解首先利用正交的線性替換將實二次型

化為標準形

A的特征多項式為

A的特征值為λ1=λ2=2,λ3=-7.

可求得對應的λ1=λ2=2特征向量分別為p1=(-2,1,0)′,p2=(2,0,1)′，將其正交化

再單位化得

故正交變換

將實二次型f(x1,x2,x3)化為標準形

可知方程

表示的曲面為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面.

分析：先判斷二次曲面的形狀，然后再求其所圍成的幾何體的體積.

A的特征多項式為

A的特征值為λ1=1,λ2=2,λ3=3.

由特征值再解出特征向量，再單位化得正交矩陣為

故正交變換

因為二次曲面f(x,y,z)=4經(jīng)正交線性替換化為橢圓柱面v2+4w2=4,所以方程v2+4w2是二次型f(x,y,z)的標準形，而標準形的矩陣為

從而A與Λ相似，故|λE-A|=|λE-Λ|，展開得

-λ3+(a+2)λ2+(b2-2a+1)λ-1+2b-b2=-λ3+5λ2-4λ，

比較同次冪系數(shù)得

可求得A的特征值為

λ1=0,λ2=1,λ3=4,

其特征向量分別為

p1=(-1,0,1)′,p2=(1,-1,1)′,p3=(1,2,1)′，

再單位化得

所用的正交矩陣

分析：可先通過正交變換再通過平移變換，將二次曲面方程化成標準形式的方程.

解

則二次曲面方程為X′AX+B′X+3=0.

A的特征值為λ=2,5,0,對應的單位特征向量為

則經(jīng)正交變換X=TY，即

二次曲面方程化為

Y′T′ATY+B′TY+3=0，

即

再經(jīng)平移變換

綜上所述，二次曲面方程如果是二次型方程，可利用正交變換化實二次型為標準形，來判斷二次型曲面的形狀.更一般地，如果二次曲面方程中不僅含有二次項，而且還含有一次項，通常可通過正交變換再通過平移變換，將二次曲面方程化成標準形式的方程[3]，從而判斷了二次曲面的形狀，達到了模糊問題清晰化的目的.