曹盼盼,趙西卿
(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)
對(duì)于任意正整數(shù)n,歐拉函數(shù)φ(n)定義為不大于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。歐拉函數(shù)在數(shù)論中有著重要的作用,近年來,有關(guān)歐拉函數(shù)的性質(zhì)以及歐拉方程吸引了很多學(xué)者的興趣。如Guy討論了方程φ(x+y)=φ(x)+φ(y)的可解性[1];張四寶,許霞等研究了方程φ(mn)=3(φ(m)+φ(n)),φ(mn)=4(φ(m)+φ(n)),φ(mn)=11(φ(m)+
φ(n))的可解性[2-5];孫翠芳,王曦浛等分別討論了當(dāng)m=2,4,5,6時(shí),方程φ(xyz)=m(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性,并給出了所有正整數(shù)解[6-10];楊張媛研究了系數(shù)不同的方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的可解性,并給出了所有正整數(shù)解[11]。由此,本文將在之前研究的基礎(chǔ)上,討論三個(gè)系數(shù)且系數(shù)各不相同的方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的可解性,并給出其所有正整數(shù)解。
引理1[11]對(duì)任意正整數(shù)m,n,(m,n)=d,則
引理2[11]對(duì)任意正整數(shù)n,n≥φ(n)。
引理3[11]對(duì)任意正整數(shù)n,n≥3時(shí),φ(n)必為偶數(shù)。
引理4[11]方程φ(n)=14無正整數(shù)解;方程φ(n)=26無正整數(shù)解;φ(n)=34無正整數(shù)解;φ(n)=38無正整數(shù)解。
定理歐拉函數(shù)方程
φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)
(1)
的正整數(shù)解如下:
(x,y,z)=(5,2,4),(5,2,6),(8,1,4),(8,1,6),(8,2,3),(10,1,4),(10,1,6),(10,2,3),(12,1,4),(9,1,3),(9,1,6),(9,2,3),(18,1,3),(13,1,3),(13,1,4),(13,1,6),(13,2,3),(21,1,4),(26,1,3),(28,1,3),(3,2,12),(6,1,12),(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3),(12,1,9),(7,1,15),(7,1,16),(7,1,20),(9,1,16),(9,1,20),(3,7,4),(4,7,3),(3,3,7),(3,3,14),(4,3,9),(6,3,7),(3,4,9),(3,6,7)。
證明由引理1知
由引理2可得φ(xyz)≥φ(x)φ(y)φ(z),則有
φ(x)+2φ(y)+5φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z),
即φ(x)[φ(y)φ(z)-1]≤2φ(y)+5φ(z)
(2)
由于φ(y)φ(z)>0,則可按φ(y)φ(z)的取值分以下幾種情況討論。
情況1 當(dāng)φ(y)φ(z)=1時(shí),有φ(y)=φ(z)=1,則有(y,z)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)。又由(1)可得φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=7+
φ(x),再由引理3可知,φ(x)=1,則有x=1,2,即
φ(xyz)=8,有xyz=15,16,20,24,30。經(jīng)計(jì)算,方程無解。
情況2 當(dāng)1<φ(y)φ(z)≤10,由(2)式可得
(3)
而又由(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0,可得
(4)
2.1 當(dāng)φ(y)φ(z)=2時(shí),有φ(y)=1,φ(z)=2,此時(shí)(y,z)=(1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6);或φ(y)=2,φ(z)=1,此時(shí)(y,z)=(3,1),(4,1),(6,1),(3,2),(4,2),(6,2)。又由(4)式可知φ(x)<15,則φ(x)=1,2,4,6,8,10,12。
(1)當(dāng)φ(x)=1時(shí),x=1,2,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=13,由引理3可得此式不成立,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=10,有xyz=11,22,經(jīng)計(jì)算,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(2)當(dāng)φ(x)=2時(shí),x=3,4,6,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=14,由引理4得,此式不存在,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=11,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無解。
(3)當(dāng)φ(x)=4時(shí),有x=5,8,10,12,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=16,xyz=17,32,34,40,48,60,經(jīng)計(jì)算,方程有解(x,y,z)=(5,2,4),(5,2,6),(8,1,4),(8,1,6),(8,2,3),(10,1,
4),(10,1,6),(10,2,3),(12,1,4);或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=13,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)有解(x,y,z)=(5,2,4),(5,2,6),(8,1,4),(8,1,6),(8,2,3),(10,1,4),(10,1,6),(10,2,3),(12,1,4)。
(4)當(dāng)φ(x)=6時(shí),有x=7,9,14,18,有
φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=18,xyz=19,27,38,54,經(jīng)計(jì)算,方程有解(x,y,z)=(9,1,3),(9,1,6),(9,2,3),(18,1,3);或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=15,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)有解(x,y,z)=(9,1,3),(9,1,6),(9,2,3),(18,1,3)。
(5)當(dāng)φ(x)=8時(shí),有x=15,16,20,24,30,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=20,xyz=25,33,44,50,66,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+
2φ(y)+5φ(z)=17,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無解。
(6)當(dāng)φ(x)=10時(shí),有x=11,22,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22,xyz=23,46,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無解。
(7)當(dāng)φ(x)=12時(shí),有x=13,21,26,28,36,42,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=24,xyz=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,經(jīng)計(jì)算,方程有解(x,y,z)=(13,1,3),(13,1,4),(13,1,6),(13,2,3),(21,1,4),(26,1,3),(28,1,3);或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=21,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)有解(x,y,z)=(13,1,3),(13,1,4),(13,1,6),(13,2,3),(21,1,4),(26,1,3),(28,1,3)。
2.2 當(dāng)φ(y)φ(z)=4時(shí),有φ(y)=1,φ(z)=4,此時(shí)(y,z)=(1,5),(1,8),(1,10),(1,12),(2,5),(2,8),(2,10),(2,12);或φ(y)=2,φ(z)=2,此時(shí)(y,z)=(3,3),(3,4),(3,6),(4,3),(4,4),(4,6),(6,3),(6,4),(6,6);或φ(y)=4,φ(z)=1,此時(shí)(y,z)=(5,1),(8,1),(10,1),(12,1),(5,2),(8,2),(10,2),(12,2),又由(4)式可知φ(x)≤8,則φ(x)=1,2,4,6,8。
(1)當(dāng)φ(x)=1時(shí),x=1,2,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=23,由引理3可得此式不成立,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=15,由引理3可得經(jīng)計(jì)算,方程無解;或者φ(xyz)=
φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=14,由引理4得,此式不存在,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(2)當(dāng)φ(x)=2時(shí),x=3,4,6,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=24,xyz=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,經(jīng)計(jì)算方程有解(x,y,z)=(3,2,12),(6,1,12);或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=16,xyz=17,32,34,40,48,60,經(jīng)計(jì)算方程有解(x,y,z)=(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3);或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=15,由引理3得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)有解(x,y,z)=(3,2,12),(6,1,12),(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3)。
(3)當(dāng)φ(x)=4時(shí),x=5,8,10,12,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=26,由引理4得此式不存在,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=18,xyz=19,27,38,54,經(jīng)計(jì)算方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=17,由引理3得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無解。
(4)當(dāng)φ(x)=6時(shí),x=7,9,14,18,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=28,xyz=29,58,經(jīng)計(jì)算方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=20,xyz=25,33,44,50,66,經(jīng)計(jì)算方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19,由引理3得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無解。
(5)當(dāng)φ(x)=8時(shí),x=15,16,20,24,30,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=30,xyz=31,62,經(jīng)計(jì)算方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22,xyz=23,46,經(jīng)計(jì)算方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=21,由引理3得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無解。
2.3 當(dāng)φ(y)φ(z)=6時(shí),有φ(y)=1,φ(z)=6,此時(shí)(y,z)=(1,7),(1,9),(1,14),(1,18),(2,7),(2,9),(2,14),(2,18);或φ(y)=6,φ(z)=1,此時(shí)(y,z)=(7,1),(9,1),(14,1),(18,1),(7,2),(9,2),(14,2),(18,2),又由(4)式可知φ(x)≤7,則φ(x)=1,2,4,6。
(1)當(dāng)φ(x)=1時(shí),x=1,2,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=33,由引理3可得此式不成立,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=18,有xyz=19,27,38,54,經(jīng)計(jì)算,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(2)當(dāng)φ(x)=2時(shí),x=3,4,6,有φ(xyz)=
φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=34,由引理4可得此式不存在,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(3)當(dāng)φ(x)=4時(shí),x=5,8,10,12,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=36,xyz=37,57,63,74,76,108,114,126,經(jīng)計(jì)算方程有解(x,y,z)=(12,1,9);或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=21,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(12,1,9)。
(4)當(dāng)φ(x)=6時(shí),x=7,9,14,18,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=38,由引理4可得,此式不存在,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=23,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
2.4 當(dāng)φ(y)φ(z)=8時(shí),有φ(y)=1,φ(z)=8,此時(shí)(y,z)=(1,15),(1,16),(1,20),(1,24),(1,30),(2,15),(2,16),(2,20),(2,24),(2,30);或φ(y)=2,φ(z)=4,此時(shí)(y,z)=(y,z)=(3,5),(3,8),(3,10),(3,12),(4,5),(4,8),(4,10),(4,12),(6,5),(6,8),(6,10),(6,12);或φ(y)=4,φ(z)=2,此時(shí)(y,z)=(5,3),(8,3),(10,3),(12,3),(5,4),(8,4),(10,4),(12,4),(5,6),(8,6),(10,6),(12,6);或φ(y)=8,φ(z)=1,此時(shí)(y,z)=(15,1),(16,1),(20,1),(24,1),(30,1),(15,2),(16,2),(20,2),(24,2),(30,2)。又由(4)式可知φ(x)≤6,則φ(x)=1,2,4,6。
(1)當(dāng)φ(x)=1時(shí),x=1,2,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=43,由引理3可得此式不成立,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=25,由引理3可得此式不成立,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19,由引理3得,此式不成立,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22,xyz=23,46,經(jīng)計(jì)算,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(2)當(dāng)φ(x)=2時(shí),x=3,4,6,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=44,xyz=69,92,110,138,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=26,由引理4可得此時(shí)不存在,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=20,xyz=25,33,44,50,66,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=23,由引理3可得,此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(3)當(dāng)φ(x)=4時(shí),x=5,8,10,12,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=46,xyz=47,94,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=28,xyz=29,58,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22,xyz=23,46,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=25,由引理3可得,此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(4)當(dāng)φ(x)=6時(shí),x=7,9,14,18,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=48,xyz=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,經(jīng)計(jì)算,方程有解(x,y,z)=(7,1,15),(7,1,16),(7,1,20),(9,1,16),(9,1,20);或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=30,xyz=31,62,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=24,xyz=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=27,由引理3可得,此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)有解(x,y,z)=(7,1,15),(7,1,16),(7,1,20),(9,1,16),(9,1,20)。
2.5 當(dāng)φ(y)φ(z)=10時(shí),有φ(y)=1,φ(z)=10,此時(shí)(y,z)=(1,11),(1,12),(2,11),(2,22);或φ(y)=10,φ(z)=1,此時(shí)(y,z)=(11,1),(22,1),(11,2),(22,2),又由(4)式可知φ(x)≤6,則φ(x)=1,2,4,6。
(1)當(dāng)φ(x)=1時(shí),x=1,2,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=53,由引理3可得此式不成立,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=26,由引理4可得此式不存在,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(2)當(dāng)φ(x)=2時(shí),x=3,4,6,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=54,xyz=81,162,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=27,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(3)當(dāng)φ(x)=4時(shí),x=5,8,10,12,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=56,xyz=87,1,6,174,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=29,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
(4)當(dāng)φ(x)=6時(shí),x=7,9,14,18,有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=58,xyz=59,118,經(jīng)計(jì)算,方程無解;或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=31,由引理3可得此式不成立,方程無解。綜上所述,方程(1)無正整數(shù)解。
3.1 當(dāng)φ(x)=1時(shí),有
φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)≥φ(y)φ(z),即
φ(y)φ(z)≤1+2φ(y)+5φ(z)<
1+5(φ(y)+φ(z)),
從而φ(y)φ(z)-5(φ(y)+φ(z))-1<0,即(φ(y)-5)(φ(z)-5)<26。因此,可以繼續(xù)分以下情況討論。
(1)當(dāng)φ(y)=1時(shí),φ(z)>10,有φ(xyz)=1+2×1+5φ(z)=3+5φ(z),此時(shí)φ(z)=1與φ(z)>10矛盾,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(2)當(dāng)φ(y)=2時(shí),φ(z)≥6,有φ(xyz)=1+2×2+5φ(z)=5+5φ(z)≥2φ(z),經(jīng)計(jì)算,方程無解。所以方程(1)無正整數(shù)解。
(3)當(dāng)φ(y)=4時(shí),φ(z)≥4,有φ(xyz)=1+2×4+5φ(z)=9+5φ(z),此時(shí)φ(z)=1與φ(z)≥4矛盾,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(4)當(dāng)φ(y)=6時(shí),φ(z)=6,8,10,12,16,18,20,22,24,28,有φ(xyz)=1+2×6+5φ(z)=13+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(5)當(dāng)φ(y)=8時(shí),φ(z)=6,8,10,12,有φ(xyz)=1+2×8+5φ(z)=17+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(6)當(dāng)φ(y)=10時(shí),φ(z)=6,8,有φ(xyz)=1+2×10+5φ(z)=21+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(7)當(dāng)φ(y)=12時(shí),φ(z)=6,8,有φ(xyz)=1+2×12+5φ(z)=25+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(8)當(dāng)φ(y)=16時(shí),φ(z)=6,有φ(xyz)=1+2×16+5φ(z)=33+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(9)當(dāng)φ(y)=18時(shí),φ(z)=6,有φ(xyz)=1+2×18+5φ(z)=37+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(10)當(dāng)φ(y)=20時(shí),φ(z)=6,有φ(xyz)=1+2×20+5φ(z)=41+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(11)當(dāng)φ(y)=22時(shí),φ(z)=6,有φ(xyz)=1+2×22+5φ(z)=45+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(12)當(dāng)φ(y)=24時(shí),φ(z)=6,有φ(xyz)=1+2×24+5φ(z)=49+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(13)當(dāng)φ(y)=28時(shí),φ(z)=6,有φ(xyz)=1+2×28+5φ(z)=57+5φ(z),顯然,此式不成立,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(14)當(dāng)φ(y)≥30時(shí),φ(y)-5≥25>24與(φ(y)-5)(φ(z)-5)<26矛盾,所以方程(1)無正整數(shù)解。
(15)當(dāng)φ(z)=1時(shí),φ(y)>10,有φ(xyz)=1+2φ(y)+5×1=6+2φ(y),此式(x,z)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)。
取(x,z)=(1,1)時(shí),有φ(y)=1+2φ(y)+5×1=6+2φ(y),顯然,此式不成立,方程無解。
取(x,z)=(2,1)時(shí),有φ(2y)=1+2φ(y)+5×1=6+2φ(y),同上可得,方程無解。
φ(y)=3,此式不存在,方程無解。
(16)當(dāng)φ(z)=2時(shí),φ(y)≥6,有φ(xyz)=1+2φ(y)+5×2=11+2φ(y),顯然,此式不成立,方程無解。
(17)當(dāng)φ(z)=4時(shí),φ(y)>2,有φ(xyz)=1+2φ(y)+5×4=21+2φ(y),顯然,此式不成立,方程無解。
3.2 當(dāng)φ(x)=2時(shí),有φ(xyz)=2+2φ(y)+5φ(z)≥2φ(y)φ(z),即
2φ(y)(φ(z)-1)≤2+5φ(z)
(5)
因此,可以分以下幾種情況討論。
(1)當(dāng)φ(z)=1時(shí),有φ(xyz)=2+2φ(y)+5×1=7+2φ(y),顯然,此式不成立,方程無解。
(2)當(dāng)φ(z)=2時(shí),此式(x,z)=(3,3),(3,4),(3,6),(4,3),(4,4),(4,6),(6,3),(6,4),(6,6)代入(5)式得2φ(y)≤12,則φ(y)≤6。又
φ(y)φ(z)≥12,所以有φ(y)=6,此時(shí)φ(xyz)=24,xyz=35,39,45,52,70,72,78,84,90,經(jīng)計(jì)算,方程有解(x,y,z)=(3,7,4),(4,7,3)。
(3)當(dāng)φ(z)=4時(shí),代入(5)式得6φ(y)≤22,則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾,所以方程無解。
(4)當(dāng)φ(z)=6時(shí),此時(shí)(x,z)=(3,7),(3,9),(3,14),(3,18),(4,7),(4,9),(4,14),(4,18),(6,7),(6,9),(6,14),(6,18),代入(5)式得10φ(y)≤32,則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12,所以有φ(y)=2,此時(shí)φ(xyz)=36,xyz=37,57,63,74,76,108,114,126,經(jīng)計(jì)算,方程有解(x,y,z)=(3,3,7),(3,3,14),(4,3,9),(6,3,7),(3,4,9),(3,6,7)。
(5)當(dāng)φ(z)=8時(shí),此時(shí)(x,z)=(3,15),(3,16),(3,20),(3,24),(3,30),(4,15),(4,16),(4,20),(4,24),(4,30),(6,15),(6,16),(6,20),(6,24),(6,30),代入(5)式得14φ(y)≤42,則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12,所以有φ(y)=2,此時(shí)φ(xyz)=46,xyz=47,94,經(jīng)計(jì)算,方程無解。
(6)當(dāng)φ(z)=10時(shí),此時(shí)(x,z)=(3,11),(4,11),(6,11),(3,22),(4,22),(6,22),代入(5)式得18φ(y)≤52,則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12,所以有φ(z)=2,此時(shí)φ(xyz)=56,xyz=87,116,174,經(jīng)計(jì)算,方程無解。
(7)當(dāng)φ(z)≥12時(shí),由(5)式可得
即2φ(y)<6,則φ(y)<3,所以φ(y)=1,2。
取φ(y)=1時(shí),由
φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(x)+2φ(y)+5φ(z),
可得2φ(z)≤4+5φ(z),經(jīng)計(jì)算,方程無解。
取φ(y)=2時(shí),由
φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(x)+2φ(y)+5φ(z),
可得4φ(z)≤6+5φ(z),經(jīng)計(jì)算,方程無解。
3.3 當(dāng)φ(x)=4時(shí),有
φ(xyz)=4+2φ(y)+5φ(z)≥4φ(y)φ(z),即
2φ(y)(2φ(z)-1)≤4+5φ(z)
(6)
因此,可以分以下幾種情況討論。
(1)當(dāng)φ(z)=1時(shí),有φ(xyz)=4+2φ(y)+5×1=9+2φ(y),顯然,此式不成立,所以方程無解。
(2)當(dāng)φ(z)=2時(shí),代入(6)式得6φ(y)≤14,則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾,所以方程無解。
(3)當(dāng)φ(z)=4時(shí),代入(6)式得14φ(y)≤24,則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾,所以方程無解。
(4)當(dāng)φ(z)=6時(shí),代入(6)式得22φ(y)≤34,則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾,所以方程無解。
(5)當(dāng)φ(z)=8時(shí),代入(6)式得30φ(y)≤44,則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾,所以方程無解。
(6)當(dāng)φ(z)=10時(shí),代入(6)式得38φ(y)≤54,則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾,所以方程無解。