【摘 要】對(duì)數(shù)學(xué)公式的證明的教學(xué)重點(diǎn)不在于用了多少種不同的方法，也不在于所用的方法有多么巧妙，而是在于要選擇合適的證明方法。數(shù)學(xué)公式證明方法的選擇要關(guān)注三個(gè)方面：一是要植根于單元內(nèi)容，二是要凸顯認(rèn)知的一致性，三是要追求動(dòng)態(tài)發(fā)展。數(shù)學(xué)公式證明中所采用的方法應(yīng)植根于單元內(nèi)容，為實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)的目標(biāo)服務(wù)。

【關(guān)鍵詞】單元教學(xué);數(shù)學(xué)公式;證明方法;選擇

【作者簡介】何凱果 ，一級(jí)教師。

數(shù)學(xué)公式是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)高度濃縮與提煉的結(jié)晶，從某種程度上講，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的其中一個(gè)重要目的就是為了獲得更多有用的模型與公式。數(shù)學(xué)公式教學(xué)也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，其教學(xué)過程一般由公式的猜想與發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)與證明、拓展與應(yīng)用三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，其中公式的推導(dǎo)與證明是“重頭戲”。對(duì)數(shù)學(xué)公式的證明教學(xué)要做到“不惜時(shí)，不惜力”已經(jīng)成為很多教師的共識(shí)，教師希望通過讓學(xué)生親歷公式推導(dǎo)與證明，從而達(dá)到“知其然而知其所以然”的效果。

數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系性決定了公式證明方法的多樣性，單從某節(jié)課看，由于缺乏明確的宏觀目標(biāo)導(dǎo)向，證明方法的選擇已經(jīng)成為很多教師的一大困惑。但如果站在單元的視角認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，連貫地理解教學(xué)目標(biāo)，使教學(xué)的方向性得到進(jìn)一步明確，將公式證明活動(dòng)的每一步、每一個(gè)環(huán)節(jié)都放到單元教學(xué)活動(dòng)的大系統(tǒng)中考量，而不是片面地突出或者強(qiáng)調(diào)某一知識(shí)點(diǎn)，那么，公式證明的方法必然會(huì)清晰起來。

一、證明方法應(yīng)植根于單元內(nèi)容

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材是以知識(shí)系統(tǒng)為主線來組織單元教學(xué)內(nèi)容的，比如，函數(shù)單元、數(shù)列單元、解析幾何單元等，這樣做的好處就是在遵循學(xué)科自身邏輯特點(diǎn)的基礎(chǔ)上為學(xué)生提供相對(duì)完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知。數(shù)學(xué)公式是單元內(nèi)容的重要組成部分，證明中所采用的方法不僅不能偏離單元的主題，而且應(yīng)該植根于單元內(nèi)容，為實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)的目標(biāo)服務(wù)。

例如，在推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”中，人教A版2007年版的教材（以下簡稱教材）提供了兩種方法。一是幾何構(gòu)造法，如圖1，在單位圓內(nèi)構(gòu)造直角三角形 ，用割補(bǔ)的方法得到OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα;二是向量法，聯(lián)想到α，β終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為 A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），發(fā)現(xiàn)等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊與向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)表示 a→·b→=x1x2+y1y2相近，從而聯(lián)想到OA·OB=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。幾何構(gòu)造法比較直觀，但學(xué)生很難想到;向量法比較簡單，但似乎與三角函數(shù)沒什么聯(lián)系，因此，很多教師對(duì)選擇哪種方法感到很糾結(jié)。其實(shí)選擇哪種方法，關(guān)鍵在于對(duì)“兩角差的余弦公式”這節(jié)內(nèi)容所屬的單元主題的認(rèn)識(shí)。

圖1

教材是按照“三角函數(shù)—平面向量—三角恒等變換”順序來編寫的，因此，這節(jié)內(nèi)容既是“三角函數(shù)”內(nèi)容的延續(xù)，又是“平面向量”應(yīng)用價(jià)值的體現(xiàn)。因此，公式的證明方法既要凸顯“三角函數(shù)”單元主題，又有體現(xiàn)向量的工具作用?；谶@樣的分析，采用向量法是比較合理的，當(dāng)然，最后還需要把證明結(jié)論推廣到任意角。如果教材按照“三角函數(shù)—三角恒等變換”的順序來編寫，那么，上述兩種方法就都不合適了。因?yàn)樗鼈兌紱]有凸顯“三角函數(shù)是圓函數(shù)，兩角差的余弦公式是圓對(duì)稱性的體現(xiàn)”這一單元主題，而旋轉(zhuǎn)對(duì)稱法恰恰能夠滿足主題要求：如圖2，P1（cosα，sinβ），A1（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sin（α-β）），把扇形OAP繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)β角，則點(diǎn)A，P分別與A1，P1重合，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，可知AP=A1P1，則[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，可得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

圖2

由此可見，教師首先要深入了解教材的編寫意圖，從而對(duì)教學(xué)內(nèi)容所屬的單元有明確的定位，然后再根據(jù)單元教學(xué)的主題對(duì)公式證明方法做出合理的選擇。

二、證明方法應(yīng)凸顯認(rèn)知的一致性

在單元教學(xué)視角下，數(shù)學(xué)公式的證明不僅需要在學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合考量與整體性建構(gòu)，而且還需要確保同一單元內(nèi)容中具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的公式在證明思路的呈現(xiàn)與證明過程的設(shè)計(jì)上體現(xiàn)出一致性的特點(diǎn)，也就是說通過類比一個(gè)數(shù)學(xué)公式的證明思路能夠順利獲得證明另一個(gè)數(shù)學(xué)公式的方法，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)邏輯內(nèi)部的協(xié)調(diào)統(tǒng)一與有序轉(zhuǎn)化。

例如，正弦定理與余弦定理是兩個(gè)具有較強(qiáng)關(guān)聯(lián)性的公式。它們分別從正弦與余弦的視角對(duì)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行定量刻畫，因?yàn)檎?、余弦可以相互轉(zhuǎn)化，所以，從某種程度上講，正弦定理與余弦定理在本質(zhì)上是等價(jià)的。因此，這兩個(gè)定理的證明方法應(yīng)該是一致的。在教材中，正弦定理是通過三角形作高線而獲得的，而余弦定理的證明則是借助了向量的數(shù)量積，證明方法的不一致無法揭示兩個(gè)公式之間的聯(lián)系，這不利于學(xué)生整體性認(rèn)知的發(fā)展。

其實(shí)，兩個(gè)公式的證明可以做一致化處理。余弦定理其實(shí)也可以通過三角形作高線來獲得。如圖3，CD垂直于AB，則CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，所以a2=CD2+BD2=b2sin2A+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA。同樣地，正弦定理也可以通過向量數(shù)量積來證明，在此筆者不再贅述。當(dāng)然，最后到底選擇哪種方法，還是要取決于這兩個(gè)定理所屬的單元主題。

圖3

又比如，要說明“勾股定理是余弦定理的特殊形式”，雖然這能夠從兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征上得到確認(rèn)，但如果無法從證明方法上得到佐證，顯然是不具備說服力的。歷史上，歐幾里得是這樣證明勾股定理的。

如圖4，分別在直角△ABC 的三邊上作正方形ACDE、ABFG 和BCHI，作CL⊥GF于點(diǎn)L，連接BE 和CG，可得正方形ACDE的面積是△AEB 的兩倍、長方形AMLG 的面積是△ACG的兩倍（同底等高）。由△AEB≌△ACG，得正方形ACDE 和長方形AMLG 的面積相等。同理，正方形BCHI與長方形BMLF的面積相等，最后得到c2=a2+b2。

圖4

類比上述證法，如圖5，若△ABC 為銳角三角形，分別作正方形ACDE、ABFG 和BCHI;從三個(gè)頂點(diǎn)分別向?qū)呑鞔咕€，垂足分別為K、M 和N，與正方形另一邊的交點(diǎn)分別為L、P 和Q。則有S四邊形AMPE=S四邊形AKLG，S四邊形BNQI=S四邊形BKLF，所以 c2=S四邊形AMPE+S四邊形BNQI=a2+b2-（S四邊形MCDP+S四邊形NCHQ）。而又有S四邊形MCDP=b（acosC）=abcosC，S四邊形NCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2-2abcosC（△ABC 為鈍角三角形也同理可證）。

圖5

公式證明方法的一致性不僅有助于把同一單元主題的公式有機(jī)地串聯(lián)起來，形成一個(gè)類別清楚、聯(lián)系緊密的線性知識(shí)體系，而且有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體架構(gòu)，避免知識(shí)的碎片化。

三、證明方法應(yīng)追求動(dòng)態(tài)發(fā)展

動(dòng)態(tài)發(fā)展性是單元教學(xué)的一個(gè)重要特征。這意味著一方面對(duì)于數(shù)學(xué)公式證明方法的揭示有時(shí)并不能一蹴而就，而是需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)螺旋上升的思維過程;另一方面對(duì)于數(shù)學(xué)公式證明方法的選擇并不能止于對(duì)公式本身的證明，而應(yīng)該在追求證明方法拓展性的基礎(chǔ)上為一類數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)證明提供思維的啟迪。

例如，推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式用的是倒敘相加法，而推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式用的是錯(cuò)位相減法，兩類不同的數(shù)列用兩種不同的方法證明，這似乎再正常不過了。但若考慮到等差數(shù)列“先行組織者”的功能作用，我們不禁要思考等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)有什么啟發(fā)與幫助。如果從整個(gè)數(shù)列單元來看，我們還要進(jìn)一步思考能否通過等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)而獲得推導(dǎo)數(shù)列求和公式的一般思路。顯然，倒敘相加法和錯(cuò)位相減法兩者并沒有太多內(nèi)在的聯(lián)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)如果僅僅為了靜態(tài)地獲得這兩種方法，那么就無法回答上述兩個(gè)問題。

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是數(shù)列求和的思維起點(diǎn)，不同性質(zhì)的數(shù)列盡管其所采用的求和技巧有所差異，但求和其實(shí)就是為了實(shí)現(xiàn)對(duì)式子的化簡這一目標(biāo)是相同的。因此，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中首先應(yīng)該有目標(biāo)意識(shí)，即如何對(duì)Sn=a1+a2+a3+…+an進(jìn)行化簡，實(shí)現(xiàn)化多為少、化長為短的目的。在這一目標(biāo)的指引下，再根據(jù)等差數(shù)列的對(duì)稱性聯(lián)想到倒敘相加法，從而實(shí)現(xiàn)化簡的目的。但倒敘相加法是一種適用范圍比較窄的特殊方法，它無法推廣運(yùn)用到等比數(shù)列與一般數(shù)列。因此，還要對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法做進(jìn)一步研究，即在數(shù)列求和過程中，化簡的一般思路是什么？

由于Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1+d+a2+d+…+an-1+d=Sn-1+a1+（n-1）d，可以獲得Sn-Sn-1=a1+（n-1）d這一關(guān)于等差數(shù)列求和公式的遞推關(guān)系。遞推關(guān)系不僅體現(xiàn)了數(shù)列前后項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即已知前一項(xiàng)可以求得后一項(xiàng)，而且還反映了數(shù)列自相似這一本質(zhì)特征，即局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，而數(shù)列求和實(shí)際上就是借助自相似來達(dá)到結(jié)構(gòu)化簡的目的。根據(jù)Sn-Sn-1=a1+（n-1）d的結(jié)構(gòu)特征，可以用累和法進(jìn)行化簡，得Sn=na1+（1+2+…+n-1）d，于是等差數(shù)列前n項(xiàng)和問題就轉(zhuǎn)化為對(duì)自然數(shù)列的前n 項(xiàng)求和，這就與教材中的情境引入聯(lián)系起來了。

對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)求和，也可以利用自相似原理進(jìn)行化簡：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+qSn-1，即Sn-qSn-1=a1。一方面，從這個(gè)遞推關(guān)系中可以發(fā)現(xiàn)“Sn-1乘q與Sn的差是常數(shù)”，這就是錯(cuò)位相減法的靈感之源;另一方面，把遞推關(guān)系與Sn-Sn-1=an聯(lián)立，可直接求得等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=a1-anq1-q（q≠1）。由此可見，對(duì)于一般的數(shù)列求和關(guān)鍵是獲得蘊(yùn)含自相似結(jié)構(gòu)特征的遞推關(guān)系，然后再借助數(shù)列本身具有的特性實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的化簡。

公式的推導(dǎo)證明本身就是經(jīng)驗(yàn)積累、思維遞進(jìn)的動(dòng)態(tài)認(rèn)知過程，在深刻領(lǐng)悟證明方法共性與個(gè)性、通法與特法密切聯(lián)系的基礎(chǔ)上，教師要幫助學(xué)生不斷地拓展思維的深度、廣度與高度。

單元視角下的公式證明方法的選擇猶如在大森林的體系下審視每一棵樹木，可以讓教師擺脫大量眼花繚亂方法、技巧的干擾，直面單元教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)目標(biāo)，使得公式證明教學(xué)過程前后呼應(yīng)、環(huán)環(huán)相扣、邏輯分明。

（責(zé)任編輯：陸順演）