石振興

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維.”同時，課程目標(biāo)中也明確提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提出問題、分析問題以及解決問題的能力”.“變式教學(xué)”應(yīng)運而生，它是目標(biāo)達(dá)成的重要方法.而傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師只重視數(shù)學(xué)知識的“變式”和數(shù)學(xué)解題的“變式”，而忽視了問題發(fā)現(xiàn)和提出的創(chuàng)新.因此，在實際教學(xué)過程中，教師把“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”有效地融入“變式教學(xué)”中，不僅能夠有效地調(diào)動學(xué)會參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，使“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體”的教學(xué)理念真正扎根發(fā)芽.

【關(guān)鍵詞】提出問題;變式教學(xué);數(shù)學(xué)課標(biāo);數(shù)學(xué)思維

一、課前分析

創(chuàng)新來源于問題的提出和生成，沒有問題，創(chuàng)新就無從談起.長期以來，我們的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂往往只關(guān)注問題的解決，卻忽視了其中更為重要的問題提出的教學(xué)，致使學(xué)生只會機(jī)械地做“答”，不會創(chuàng)造地提“問”.愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”因此，在實際教學(xué)中，我們不僅要重視問題解決過程中的創(chuàng)新，更要關(guān)注問題生成過程中的創(chuàng)新，把數(shù)學(xué)問題提出的訓(xùn)練和強(qiáng)化作為今后數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的“契合點”.本文是冀教版初中數(shù)學(xué)九年級“正弦和余弦”一課的教學(xué)實錄，教學(xué)中突出對學(xué)生提出問題、生成問題的強(qiáng)化訓(xùn)練和培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自然而然、承上啟下的提出問題的習(xí)慣，強(qiáng)調(diào)問題的生成和升華，而不是單純地為了問而“提問題”.

二、教學(xué)案例

（一）回顧舊知，鞏固提升

師：在上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正切和余切.如圖1，請指出∠A的正切和余切分別是什么？（意在通過復(fù)習(xí)正切和余切引發(fā)問題）

（生思考、回憶正切和余切的定義）

生：tan A= ∠A的對邊[]∠A的鄰邊 = a[]b ，①

cot A=? ∠A的鄰邊 ∠A的對邊 = b a .②

（二）借助舊知，提出問題

師：我們通過學(xué)習(xí)，知道一個銳角的正切和余切是兩條直角邊的比值.那么，觀察圖1，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？有什么問題可以提出來我們共同思考、分析.（教師可以適時進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)）

（學(xué)生思考之后，舉手發(fā)言）

生：圖1中Rt△ABC的三條邊，除了兩條直角邊的比以外，還能組成其他的比，比如 ∠A的對邊 斜邊 ，除此以外，還能得到哪些比呢？

（學(xué)生從一個極其自然、樸素的角度提出了這么好的問題，很自然地就導(dǎo)入到本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，這充分說明，并不像有些教師說的那樣，學(xué)生不會提問題，更提不出什么有價值的問題.而是在很多時候，教師根本沒有給學(xué)生創(chuàng)造提問題的情境和機(jī)會，只是簡單地替代學(xué)生完成而已）

師：這個問題提得很好！有深度、有創(chuàng)意！那么，你還能組成哪些比呢？

生： ∠A的對邊 斜邊 = a c ，③? 斜邊 ∠A的對邊 = c a ，④

∠A的鄰邊 斜邊 = b c ，⑤

斜邊 ∠A的鄰邊 = c b . ⑥

（三）問題導(dǎo)入，引出課題

師：很好！上面的④和⑥分別叫作∠A的余割和正割.到高中以后會進(jìn)行學(xué)習(xí)，我們初中階段暫時不做研究，但是你仍然很了不起，發(fā)現(xiàn)了我們今天要學(xué)習(xí)的兩種“新”的三角函數(shù)：正弦和余弦.

教師板書課題：正弦和余弦.

（四）歸納概括，總結(jié)定義

師：結(jié)合上節(jié)課的學(xué)習(xí)，誰能仿照∠A的正切和余切那樣，概括出∠A的正弦和余弦的定義？

生：如圖1，我們把∠A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦;把∠A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦.

（學(xué)生通過歸納、交流，概括出∠A的正弦和余弦的定義，其間可能會遇到些許問題，教師不要急于求成，替代學(xué)生，而應(yīng)留給學(xué)生足夠的時間和空間，讓學(xué)生自主完成，這也是對學(xué)生進(jìn)行抽象概括能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)的過程）

師：我們知道，∠A的正切和余切可以用其英文tangent和cotangent中的前三個字母來表示.那么，同學(xué)們你們認(rèn)為∠A的正弦和余弦應(yīng)當(dāng)怎樣表示呢？同樣用正弦和余弦的英文sine和cosine中前三個字母來表示，可以嗎？（可以查閱英漢詞典）

（這個環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生體會到知識間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生凡事要問為什么、學(xué)習(xí)要刨根問底的良好習(xí)慣，同時培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力及發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而推動學(xué)生不斷成長，促進(jìn)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)的有效提升.）

師：不錯！∠A的正弦，記作sin A;∠A的余弦記作cos A.在圖1中：

sin A= ∠A的對邊 斜邊 = a c ，⑦

cos A= ∠A的鄰邊 斜邊 = b c .⑧

（五）設(shè)計問題，揭示規(guī)律

師：剛才，我們學(xué)習(xí)了∠A的正弦和余弦.那么，誰能結(jié)合上節(jié)課所學(xué)的∠A的正切和余切的相關(guān)知識，設(shè)計幾個類似的問題？下面以組為單位，大家共同思考、交流，設(shè)計出一個問題，看哪個小組設(shè)計的問題最有代表性.

（教師深入到各小組，及時了解其具體進(jìn)度，對有困難的小組給予引導(dǎo)：可以仿照正切和余切中的問題進(jìn)行設(shè)計，如確定另一個銳角∠B的正弦、余弦;特殊角的正弦值、余弦值等，但最好能設(shè)計出創(chuàng)新性的問題：如∠A的正弦、余弦、正切、余切之間的關(guān)系.這個環(huán)節(jié)的設(shè)置可以讓學(xué)生學(xué)會用類比的方法設(shè)計問題，進(jìn)一步培養(yǎng)和提升學(xué)生提出問題的能力）

小組1：在圖1中，請表示∠B的正弦和余弦.

（學(xué)生在弄清了正弦和余弦的定義的實質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合上節(jié)課所學(xué)的正切和余切，能夠提出相應(yīng)的變式練習(xí)，這是非常難能可貴的，說明學(xué)生不僅掌握了所學(xué)知識，更掌握了探究問題的方法，教師應(yīng)大力表揚）

師：思路很好！誰能結(jié)合圖1中的Rt△ABC，確定出∠B的正弦和余弦值？

生：sin B= ∠B的對邊 斜邊 = b c ，⑨

cos B= ∠B的鄰邊 斜邊 = a c .⑩

師：比較⑦⑧⑨⑩四個式子，同學(xué)們有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

生：sin A=cos B，cos A=sin B.

師：在上面的兩個式子中，能否只用∠A來表示？

生：因為∠A+∠B=90°，所以∠B=90°-∠A，因此

sin A=cos（90°-∠A），cos A=sin （90°-∠A）.

師：對于任意的一個銳角，是否都具有上面的性質(zhì)呢？若是，你能用語言文字?jǐn)⑹銎湫再|(zhì)嗎？

生：任意一個銳角的正弦值都等于它的余角的余弦值;任意一個銳角的余弦值都等于它的余角的正弦值.

師：你的敘述很準(zhǔn)確，也很完整，表現(xiàn)真不錯！

小組2：如何求特殊角30°，45°，60°角的正弦值和余弦值？

師：很好！那么你們組求出這些角的正弦值和余弦值了嗎？

生：求出來了：

sin 30°= 1 2 ，sin 45°=? 2? 2 ，sin 60°=? 3? 2

cos 30°=? 3? 2 ，cos 45°=? 2? 2 ，cos 60°= 1 2 .

師：誰能代表你們組來闡述一下你們是如何求值的？

生：如圖2，在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A=30°，BC=a，則AB=2a，AC= 3 a，所以

sin 30°= BC AB = a 2a = 1 2 ，

sin 60°= AC AB =? 3? 2 ，

cos 30°= AC AB =? 3? 2 ，

cos 60°= BC AB = 1 2 .

生：同理，如圖3，在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A=45°，BC=a，則AC=a，AB= 2 a，可得

sin 45°= BC AB =? 2? 2 ，

cos 45°= AC AB =? 2? 2 .

小組3：我們學(xué)習(xí)了∠A的正弦、余弦、正切和余切，那么這幾個三角函數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？

師：這個問題提得很好，特別注重了知識之間的聯(lián)系，那么，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我們知道sin A= a c ，cos A= b c ，

tan A= a b ，cot A= b a .

如果sin A÷cos A= a c ÷ b c = a b? ，而tan A= a b ，即sin A÷cos A=tan A.

同理cos A÷sin A=cot A.

師：真不錯！我相信只要同學(xué)們肯動腦筋，善于觀察、勤于研究，就一定能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系無處不在.我也相信努力學(xué)習(xí)、善于發(fā)現(xiàn)的你們潛力無限，一定能闖出屬于自己的一片新天地.

（六）反思小結(jié)，歸納提升

師：本節(jié)課，我們在學(xué)習(xí)了正弦和余弦的相關(guān)知識的同時，還學(xué)到了提出問題的方法，相信每一名學(xué)生都會有所收獲.那么，哪名學(xué)生能具體說一說你本節(jié)課有哪些收貨？

生A：我們通過學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)可以用三種數(shù)學(xué)語言（符號語言、文字語言、圖形語言）來表示正弦和余弦的定義和性質(zhì)，并且它們之間可以轉(zhuǎn)換.我覺得數(shù)學(xué)非常有趣，現(xiàn)在更愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了.

生B：學(xué)習(xí)時要注意尋找數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，可以運用類比的方法自己設(shè)計問題，一題多變，觸類旁通.

生C：要多觀察、多思考、多交流，從不和諧處找問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并分析問題、解決問題.

生D：在學(xué)習(xí)時，只有善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，才能更好地解決問題，這樣不僅有助于提高我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，更有助于提升我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

……

三、教學(xué)反思

1.新時代對廣大教師提出了更高的要求，要求教師不僅要教會學(xué)生做“答”，更要教會學(xué)生提“問”.因此，在具體的教學(xué)中，教師要給學(xué)生留有足夠的空間，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性提出問題，并逐步學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.教師要相信只要給學(xué)生一個支點，他們就能撬起整個地球！

2.啟發(fā)式教學(xué)注定會替代“灌輸式”“填鴨式”教學(xué)，教師不能過多地替代學(xué)生，而應(yīng)適時引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，給學(xué)生更多的發(fā)言機(jī)會，相信“創(chuàng)造性”火花會在課堂上形成激烈的碰撞，激發(fā)出學(xué)生的積極思維，迸發(fā)出學(xué)生無限潛能.同時，作為教師的我們也能得以提升，從而推動師生共同進(jìn)步，共同成長，教學(xué)相長將不再成為空談.

3.有學(xué)生在課后小記中寫道：“這節(jié)課教師讓我們自己提出問題、設(shè)計問題，我真正體會到了學(xué)習(xí)的快樂，體會到了發(fā)現(xiàn)的樂趣和成功的喜悅，學(xué)起來挺輕松、特來勁，原來枯燥的數(shù)學(xué)還可以這樣學(xué)，我對學(xué)好數(shù)學(xué)更有信心了.”實踐證明，在教學(xué)中，教師只要敢于改變，創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，使其真正成為學(xué)習(xí)的主人，就一定能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.只有這樣，“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念才不會成為“空中樓閣” ，肯定會在教學(xué)中生根發(fā)芽，開出絢麗多姿的花朵.