解題之道 在于悟法

過小明

方程的出現(xiàn)源于解決實(shí)際問題的需要，方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，的有效的數(shù)學(xué)模型.

一元一次方程是其他類型方程的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)知識體系中起著至關(guān)重要的作用.一元一次方程的知識點(diǎn)包括：基本概念、等式性質(zhì)、解方程等，要想高效掌握解題方法，靈活運(yùn)用知識，必須掌握幾種數(shù)學(xué)思想.

一、整體思想

整體思想是將注意力放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，著眼于宏觀上的整體分析.運(yùn)用整體思想，往往能事半功倍，出奇制勝.

點(diǎn)評：將x+l和x-l分別看作一個整體，通過整體移動，整體合并，解答就很簡捷，同時省略了去分母的步驟，簡化了去括號的過程.

應(yīng)用整體思想，要從結(jié)構(gòu)上對問題的條件進(jìn)行分析，把握問題的整體特征，對問題進(jìn)行整體處理.

二、分類思想

分類的原則是“不重復(fù)、不遺漏”.先確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后將問題分成幾個部分或者幾種情況，逐一解決，各個擊破，最后得出結(jié)論，

點(diǎn)評：當(dāng)方程含有字母參數(shù)時，方法步驟與一般方程一樣.把方程化為ax=b的形式后，在進(jìn)行“系數(shù)化為1”時，要根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分類討論.注意：最后的解不能合并，只能分情況進(jìn)行說明，

例3 已知A.B兩地相距120 km，一輛汽車以每小時50 km的速度從A地出發(fā)，另一輛貨車以每小時40 km的速度從B地同時出發(fā)，兩車相向而行.經(jīng)過多長時間兩車相距30 km？

解析：兩車相遇前相距30 km：行程之和+30 km=兩地距離;兩車相遇后相距30 km：行程之和-30 km=兩地距離，

設(shè)經(jīng)過x小時兩車相距30 km.根據(jù)題意，得：

①兩車相遇前相距30 km：50x+40x+30=120.解得x=l;

②兩車相遇后相距30 km：50x+40x-30=120，解得x=5/3.

答：經(jīng)過l小時或5/3小時兩車相距30 km

點(diǎn)評：對于“兩車相距30 km”這個條件，要分類討論.分別是“兩車相遇前相距30 km”和“兩車相遇后相距30 km”.

分類思想往往用于解決開放性問題，如解含字母參數(shù)的方程、含絕對值符號的方程，以及解決有關(guān)方案設(shè)計(jì)的實(shí)際問題.解題時需要考慮可能出現(xiàn)的所有情況，然后總結(jié)分析，

三、轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)化思想無處不在，它是分析問題、解決問題的基本思想.轉(zhuǎn)化的紐帶是新舊知識之間的聯(lián)系，

點(diǎn)評：本題分母不為整數(shù)，要運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”將分母化為整數(shù)，但要注意與去分母的區(qū)別.解一元一次方程的過程，實(shí)質(zhì)上就是利用等式基本性質(zhì)，通過去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為l等步驟同解變形，不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程，最后逐步把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，體現(xiàn)了化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想.

例5小明從家里騎摩托車到火車站，若每小時行30千米，則比火車開車時間早到15分鐘;若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分鐘，現(xiàn)在小明打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，求小明騎摩托車的速度.

點(diǎn)評：火車開出的時間和小明從家到火車站的路程不變，直接設(shè)未知數(shù)較難，應(yīng)該轉(zhuǎn)變角度，合理地間接設(shè)未知數(shù)以尋求新的解決途徑.

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中分析問題和解決問題的基本思想.轉(zhuǎn)化是指將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件，將生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，將正向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)字、符號用直觀的圖形體現(xiàn)，或者通過精確的數(shù)量計(jì)算研究圖形的形狀大小，即代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，

例6 甲、乙兩站相距480 km.一列慢車以每小時90 km的速度從甲站開出，一列快車以每小時140 km的速度從乙站開出，慢車與快車同時出發(fā)，同向而行，經(jīng)過多少小時兩車相距600 km？

解析：設(shè)經(jīng)過x小時兩車相距600 km，則可將此題情境用線段圖表示，如圖1.

根據(jù)題意得90x+600=480+140x.

解得x=2.4.

答：經(jīng)過2.4小時兩車相距600 km.

點(diǎn)評：用一元一次方程解決行程問題，畫線段圖是常用的方法.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非，以形輔數(shù)，以數(shù)助形，能更快找到解題途徑，

五、方程思想

方程思想就是利用方程來解決問題，是學(xué)習(xí)方程的目的和意義，方程思想是從問題的等量關(guān)系人手，運(yùn)用代數(shù)式將條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程使問題獲得解決，

例7某商場購進(jìn)甲、乙兩種服裝后，都加價40%標(biāo)價出售.春節(jié)期間商場搞優(yōu)惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標(biāo)價的八折和九折出售.某顧客購買甲、乙兩種服裝各一件，共付款182元，兩種服裝標(biāo)價之和為210元.這兩種服裝的進(jìn)價和標(biāo)價各是多少元？

答：甲種服裝的進(jìn)價是50元，標(biāo)價是70元;乙種服裝的進(jìn)價是100元，標(biāo)價是140元.

點(diǎn)評：初中數(shù)學(xué)中的方程思想無處不在，最常見的就是列方程解應(yīng)用題，其一般步驟如下.

（1）審題，搞清已知量和待求量，分析數(shù)量關(guān)系，尋找等量關(guān)系.

（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系與解題需要設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系建立方程.

（3）解方程.

（4）檢查和反思解題過程，檢驗(yàn)答案的正確性以及是否符合題意，并作答，

其中“尋找等量關(guān)系”最為關(guān)鍵.

方程法實(shí)現(xiàn)了由算術(shù)方法向代數(shù)方法的轉(zhuǎn)化，是最基本的數(shù)量關(guān)系分析方法，有等式就可以有方程，有公式就可以有方程.方程思想是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的重要手段.

練一練

1.解方程|x-2|=3.

2.如圖2.矩形ABCD由六個顏色不同的正方形組成，若設(shè)中間最小的一個正方形邊長為1.則矩形ABCD的面積為____ .

參考答案：

1.x=5或x=-l.2.143