費(fèi) 寢，陳果萍，范伯文，曹 煉，鄧 帥

(湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003)

1 帶導(dǎo)數(shù)非最小耦合暴漲模型

宇宙暴漲理論成功地解決了標(biāo)準(zhǔn)宇宙學(xué)模型遇到的平坦性問題、視界問題、磁單極子問題等諸多疑難，而且在暴漲期間的量子擾動形成了宇宙大尺度結(jié)構(gòu)的種子[1-4].擁有平坦勢的標(biāo)量場經(jīng)常被用于暴漲理論研究。然而，理論上最適用的希格斯(Higgs)標(biāo)量場與引力最小耦合暴漲模型被觀測數(shù)據(jù)所排除[3].Higgs粒子是目前唯一被發(fā)現(xiàn)的標(biāo)量場粒子，為了堅(jiān)持由Higgs標(biāo)量場驅(qū)動暴漲的觀點(diǎn)，學(xué)者們考慮了Einstein張量與Higgs標(biāo)量場的動能項(xiàng)之間存在非最小耦合[5-6]，最終結(jié)果顯示Higgs標(biāo)量場的勢能形式跟觀測數(shù)據(jù)[4]相一致，并且該模型不引入新的自由度[7-9].

Horndeski推導(dǎo)了一套最普遍的標(biāo)量-張量理論.該理論下的場方程至少包含了4維空間里對度規(guī)gμν和標(biāo)量場φ的二階導(dǎo).在Horndeski理論中，二階導(dǎo)φ;μν和Einstein張量通常耦合成f(φ,X)Gμνφ;μν的形式，其中X=gμνφ;μφ;ν.如果取f(φ,X)=φ，則可通過分部積分法得到Gμνφμφν的耦合形式.所以，如果選擇Gμνφμφν形式的帶導(dǎo)數(shù)非最小耦合模型，場方程不會含有超過二階導(dǎo)的項(xiàng)[7]，并且由于標(biāo)量場變化緩慢，引力會提高阻尼效應(yīng).

本研究考慮帶導(dǎo)數(shù)非最小耦合模型，并假設(shè)某一個(gè)宇宙學(xué)參數(shù)為常數(shù)，然后通過具體的參數(shù)化例子ns=1-p/(N+A)(p和A為引入的任意參數(shù))來重構(gòu)暴漲勢函數(shù).

2 勢重構(gòu)

本節(jié)主要推導(dǎo)動能項(xiàng)和Einstein張量非最小耦合下暴漲勢函數(shù)的重構(gòu)關(guān)系式.動能項(xiàng)和Einstein張量非最小耦合的作用量如下：

(1)

(2)

方程(2)中，H為哈勃參數(shù)，F(xiàn)=H2/M2.標(biāo)量場的運(yùn)動方程是：

(3)

2.1 宇宙學(xué)擾動

為了保證有足夠長的暴漲時(shí)間，通常假設(shè)標(biāo)量場的勢能緩慢降低，則可得到如下慢滾條件：

(4)

在慢滾條件下，背景方程(2)～(3)可近似為如下簡單形式：

(5)

(6)

方程(5)～(6)中，Vφ=dV/dφ，通過方程(5)可得到：

(7)

為了量化慢滾條件(4)，引入如下慢滾參數(shù)：

(8)

(9)

通過背景方程(5)～(6)和慢滾參數(shù)方程(8)，得到：

(10)

根據(jù)關(guān)系dN=-Hdt，計(jì)算得到慢滾參數(shù)的一階，則可進(jìn)一步得到：

(11)

計(jì)算標(biāo)量擾動功率譜，得到慢滾參數(shù)的一階，可以求得[16]：

(12)

且張量功率譜為[18]：

(13)

標(biāo)量擾動譜指數(shù)ns和張標(biāo)比r可以表示成如下關(guān)于慢滾參數(shù)的形式[18-19]：

(14)

(15)

聯(lián)立方程(11)和方程(14)，可以得到ns與εv的關(guān)系：

(16)

2.2 勢重構(gòu)關(guān)系式

結(jié)合方程(2)和(10)，則可得到暴漲子φ與e指數(shù)數(shù)目N*的關(guān)系為：

(17)

方程(17)中“±”的選取和dV/dφ一致.由于通過時(shí)間反演可從“+”得到“-”，因此討論其中一種情況即可，本研究僅考慮取“+”的情況.結(jié)合方程(8)和(11)，可以得到勢函數(shù)與慢滾參數(shù)方程(8)的關(guān)系：

(18)

通過方程(7)和(11)，可以把方程(12)，(16)，(18)寫成張標(biāo)比r的形式：

(19)

(20)

r=8(lnV),N

(21)

需要注意的是：以上關(guān)系并不顯含參數(shù)F.

如果取廣義相對論極限H2?M2，或者F?1，方程(11)，(14)，(15)，(17)，(18)可以簡化為[15]：

(22)

(23)

r=16εv

(24)

(25)

(26)

如果取強(qiáng)阻尼極限H2?M2，或者F?1，方程(22)～(26)可以簡化為：

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

對于以上5組方程，原則上只需要知道函數(shù)εv(N)，r(N)，ns(N)和V(N)中的一個(gè)值，就可以通過求解方程組得到ns，r和勢能V(φ).

3 宇宙學(xué)參數(shù)的參數(shù)化模型

本節(jié)將根據(jù)參數(shù)化的功率譜指數(shù)ns重構(gòu)勢函數(shù).由于N*=60，則觀測數(shù)據(jù)偏向于ns=1-2/N，因此考慮采用一種簡單參數(shù)化方法：

(32)

當(dāng)p>1，且A為常數(shù)時(shí)，可以由方程(20)得到：

(33)

方程(33)中，C是大于0的積分常數(shù).通過方程(21)可以得到關(guān)于N的勢函數(shù)：

(34)

通過聯(lián)立方程(19)和(32)，可得到勢函數(shù)的幅度：

(35)

聯(lián)立方程(33)和(34)，并利用方程(15)可以得到慢滾參數(shù)：

(36)

方程(36)中，F(xiàn)0定義為F0=V0/M2.由于εv(0)=1，可以得到：

(37)

在滿足F0?1的廣義相對論極限時(shí)，方程(37)簡化為C=(p-1-2A)A-p；在滿足F0?1的強(qiáng)阻尼極限時(shí)，方程(37)簡化為C=(3p-3-2A)A-p，該結(jié)果比廣義相對論的結(jié)果大些.因此，對于同樣的參數(shù)p和A，由方程(33)可得到，強(qiáng)阻尼極限下的張標(biāo)比r比廣義相對論極限下的大.結(jié)合方程(17)和(34)，則可得到標(biāo)量場φ和N的關(guān)系：

(38)

標(biāo)量場φ和N之間的顯函數(shù)關(guān)系式為：

(39)

方程(39)中，φ0為積分常數(shù)，2F1(a,b,c,z)為超幾何函數(shù)，其形式可表示為：

(40)

暴漲結(jié)束時(shí)的暴漲子為：

(41)

對于p=2的情形，結(jié)合方程(34)和(39)，得到勢函數(shù)為：

(42)

在廣義相對論極限下，以上結(jié)果可以簡化為[15]：

(43)

該結(jié)果的勢函數(shù)為T模形式[21-23].

對于p≠2的情形，很難根據(jù)V(N)和φ(N)求出一般情形下的勢函數(shù)V(φ)，但可以解出強(qiáng)阻尼極限下的結(jié)果.在強(qiáng)阻尼F?1的情況下，將方程(32)～(33)的結(jié)果與Plank2015數(shù)據(jù)[4](取N*=60)進(jìn)行對比，得到ns-r曲線與p-A參數(shù)空間如圖1所示.

分析圖1可知，Planck 2015觀測數(shù)據(jù)[4]中ns與r0.002的1σ，2σ，3σ置信度圈圖和參數(shù)化方程(32)在強(qiáng)阻尼極限下的預(yù)測值.圖1(a)表示ns-r曲線，圖1(b)表示取N*=60時(shí)觀測數(shù)據(jù)對模型參數(shù)p和A的限制.

慢滾參數(shù)方程(36)可簡化為：

(44)

通過超幾何函數(shù)的漸進(jìn)行為得到：

2F1(a,b,c,z)≈1，|z|?1

(45)

則可得到強(qiáng)阻尼極限下φ與N的關(guān)系：

φ(N)-φ0=

(46)

將方程(46)代入方程(34)，則可得到關(guān)于標(biāo)量場φ的勢函數(shù)：

V(φ)=

(47)

方程(47)中：

(48)

(a) ns-r曲線

(b) p-A參數(shù)空間

圖2 勢函數(shù)V(φ)

4 結(jié)論

通過參數(shù)化ns重構(gòu)了勢函數(shù).對于ns=1-p/(N+A)的簡化模型：如果取p=2，可以得到一般情況下的勢函數(shù)，該勢函數(shù)符合實(shí)驗(yàn)觀測；如果取p≠2，可以得到強(qiáng)阻尼極限下的勢函數(shù)，該勢函數(shù)為含常數(shù)C的冪次勢形式.觀測數(shù)據(jù)將參數(shù)限制在1.0