王 群，董大偉，華春蓉，黃 燕

（西南交通大學 機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

機械振動會引起動力機械的零部件損壞，影響精密儀器的工作效果，甚至對人體產生不良影響。在動力機械領域中，多采用隔振元件來降低振動部件傳遞到設備的傳遞力和振動烈度，隔振元件的選用、連接方式和性能關系到整個系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性和可靠性[1]。隔振系統(tǒng)元件類型、參數(shù)對隔振性能的影響已有許多學者進行了大量研究，得到了許多有參考價值的結果，如文獻[2]分別用模態(tài)分析法和攝動法得到了隔振系統(tǒng)線性和非線性方程組的響應解，文獻[3]從隔振系統(tǒng)參數(shù)變化對功率流特性影響的角度研究了系統(tǒng)的隔振效果，文獻[4]基于快速攝動法研究了參數(shù)變異對雙層隔振系統(tǒng)隔振效率的影響規(guī)律，文獻[5-6]對隔振系統(tǒng)解耦優(yōu)化和剛度優(yōu)化進行了研究，文獻[7]建立了普通雙層隔振系統(tǒng)多體動力學模型，仿真分析了理論力的傳遞率特性。諸多學者的研究多是針對隔振器本身特性參數(shù)對系統(tǒng)的影響，且理論模型多做簡化，即未考慮串聯(lián)節(jié)點剛度對隔振系統(tǒng)的影響。

目前常用的隔振系統(tǒng)包含剛度元件和阻尼元件，典型的剛度元件如橡膠隔振器、彈簧隔振器等，典型的阻尼元件如材料阻尼器、油壓減振器等。由于油壓減振器制造簡單、價格便宜，且阻尼系數(shù)便于設計和調整，故其廣泛應用于動力機械隔振系統(tǒng)中。而在工程實踐中，減振器的端部節(jié)點或液壓油本身具有一定的彈性，所以，實際上減振器應當被看成一個阻尼元件和剛度元件的串聯(lián)組合，該剛度元件通常被稱為串聯(lián)節(jié)點剛度。在運用減振器的諸多領域，串聯(lián)節(jié)點剛度對系統(tǒng)的影響已然引起學者們的關注，如文獻[8]初步探討了串聯(lián)剛度對液壓減振器特性的影響，文獻[9]研究了減振器安裝剛度對車輛固有頻率的影響，文獻[10]研究了抗蛇形減振器的特性參數(shù)對其車輛動力學穩(wěn)定性的影響，文獻[11-12]研究了減振器橡膠節(jié)點剛度對鐵道車輛系統(tǒng)臨界速度的影響。但是在動力機械的隔振運用方面，大多數(shù)研究均未考慮串聯(lián)節(jié)點剛度對系統(tǒng)隔振性能的影響，而在實際應用中，減振器串聯(lián)節(jié)點剛度確實存在，且對其阻尼特性有一定影響[8]，阻尼特性的改變勢必影響隔振性能。為解決上述問題，以包含減振器串聯(lián)節(jié)點剛度的隔振系統(tǒng)為研究對象，分析其串聯(lián)節(jié)點剛度對隔振系統(tǒng)傳遞率的影響，并加以實驗驗證，為變剛度隔振系統(tǒng)提供理論依據(jù)，也為應用于隔振系統(tǒng)的減振器性能優(yōu)化設計提供參考。

2 考慮串聯(lián)節(jié)點剛度的減振器動力學模型

根據(jù)動力學理論，建立考慮串聯(lián)節(jié)點剛度的液壓減振器動力學模型，如圖1所示。

圖1考慮串聯(lián)節(jié)點剛度的液壓減振器模型[8]Fig.1 The Dynamics Model of a Hydraulic Shock Absorber Considering the Series Joint Stiffness

圖1 中，k1是減振器的串聯(lián)節(jié)點剛度，c是減振器的阻尼系數(shù)。當有外力F作用于減振器時，減振器端部A的位移為x，節(jié)點B的位移為y。

力學平衡方程為：

設減振器端部位移激勵為：

則端部運動速度為：

式中：x0—位移激勵的振幅；

ω—激勵圓頻率。

對于圖1的常系數(shù)線性系統(tǒng)，B點的穩(wěn)態(tài)響應的位移和速度是：

式中：y0—串聯(lián)彈簧位移的振幅；

φ—串聯(lián)彈簧位移的相位。

將式（3）、式（4）和式（5）代入式（1），并整理可得減振器的實際阻尼力幅值：

從式（6）中可以看出，串聯(lián)剛度后的減振器實際輸出阻尼力幅值與串聯(lián)節(jié)點剛度k1、減振器阻尼系數(shù)c、激勵圓頻率ω和位移激勵的振幅x0有關；當k1足夠大時，即端部近似剛性連接，減振器的實際阻尼力幅值為F0=cωx0；當k1足夠小時，減振器的實際阻尼力幅值為F0=x0。此理論模型的變化曲線，如圖2所示。其中激勵頻率取10Hz，阻尼系數(shù)1000N/（m/s），剛度變化范圍10-6×106N/m。

圖2 阻尼力隨串聯(lián)剛度變化曲線Fig.2 Damping Force Curve with Variation of Series Stiffness

從圖2可以看出，當串聯(lián)節(jié)點剛度小于2×105N/m時，阻尼力的幅值從0.05N逐漸增加至600N；當串聯(lián)節(jié)點剛度大于3×105N/m后，阻尼力幅值約624N，且基本保持不變。

根據(jù)相關文獻[13]，常規(guī)減振器端部橡膠襯套的Z向剛度即串聯(lián)節(jié)點剛度約4.2×106N/m，結合圖2，該剛度下減振器的輸出阻尼力基本恒定，符合工程需求。但是實際應用中，未考慮小剛度襯套下的阻尼力特性，將小剛度和大剛度特性結合加以考慮，為變剛度節(jié)點的研究提供理論基礎。

3 隔振系統(tǒng)動力學模型及傳遞率計算

3.1 動力學模型建立

將動力機械隔振系統(tǒng)簡化為單質量隔振系統(tǒng)，如圖3所示。上層質量m為需要隔離的動力機械，激振力設為Fsinωt，設隔振器的剛度為k，減振器的阻尼系數(shù)為c，減振器串聯(lián)節(jié)點的剛度為k1（下文均稱串聯(lián)剛度）。結合上節(jié)建立的減振器的力學平衡關系，列出系統(tǒng)的強迫振動微分方程組為：

圖3 單層隔振系統(tǒng)模型Fig.3 The Dynamics Model of Single-Layer Vibration Isolation System

3.2 數(shù)值求解

考慮隔振系統(tǒng)的瞬態(tài)響應由阻尼作用，會很快消失，因此只考慮穩(wěn)態(tài)響應來描述系統(tǒng)特性，采用復數(shù)矢量表示法，首先設x=Bei（ωt-φ）和y=Aei（ωt-φ）代入式（8）化簡可以得到：

以 Feiωt表示式（7）等號右邊的激振力，并將式（9）帶入式（7）得到：

由式（10）解出 B：

將式（11）帶入式（9），解出 A：

因此，m的位移響應為：

節(jié)點的位移響應為：

從上兩式可以看出，節(jié)點的位移和上層質量的響應相位相同，但在數(shù)值上相差

當串聯(lián)剛度k1遠大于cω時，m的位移響應和節(jié)點的位移響應近似相等為：

當串聯(lián)剛度k1遠小于cω時，m的位移響應和節(jié)點的位移響應分別為：

m的振動速度和節(jié)點的速度分別為：

考慮彈性力和阻尼力影響的傳遞率公式如下：

在不考慮相位的情況下，整理得到傳遞率表示為：

從上式可以看出，串聯(lián)剛度對傳遞率有明顯影響。當串聯(lián)剛度k1遠大于cω時，系統(tǒng)的傳遞率為：

當串聯(lián)剛度k1遠小于cω時，系統(tǒng)的傳遞率為：

4 仿真及實驗驗證

4.1 仿真及實驗的對象簡介

為了進一步討論上述理論和規(guī)律，以某動力機組實驗臺為研究對象，對串聯(lián)剛度和傳遞率之間的規(guī)律分別進行編程分析和實驗驗證，仿真及實驗臺的模型和測點布置，如圖4所示。實驗臺采用4100Q直列四缸四沖程汽油發(fā)動機，機組與基礎之間安裝隔振器和減振器。實驗主要驗證了轉速1200r/min以上的工況，1200r/min對應基頻20Hz，2.0主簡諧對應激勵頻率為40Hz，該轉速對應的頻率高于隔振系統(tǒng)固有頻率。

圖4 實驗臺模型和測點布置Fig.4 Experimental Model and Measuring Point Arrangement

4.2 仿真分析

經(jīng)仿真分析，得到隨頻率變化串聯(lián)剛度和傳遞率之間的變化關系，如圖5所示。從圖5可知，當串聯(lián)剛度k1遠大于cω時（即k1=1000cω），與k1=cω相比，在共振區(qū)附近，傳遞率基本不變，在過共振區(qū)，傳遞率隨串聯(lián)剛度增大有所增大。當串聯(lián)剛度k1遠小于cω時（即k1=0.001cω），與k1=cω相比，傳遞率在共振區(qū)附近明顯放大，在過共振區(qū)，傳遞率隨串聯(lián)剛度減小明顯減小，隔振效率顯著提高。

圖5 串聯(lián)剛度和對傳遞率的影響Fig.5 Effect of Series Stiffness and on Transmissibility

當串聯(lián)剛度k1是隔振器剛度k倍數(shù)時，隨頻率變化傳遞率的變化曲線，如圖6所示。從圖6中可知，當串聯(lián)剛度k1遠大于系統(tǒng)隔振器剛度k時（即k1=1000k），與k1=k相比，在共振區(qū)附近，傳遞率基本不變；在過共振區(qū)，傳遞率隨串聯(lián)剛度增大明顯增大。當串聯(lián)剛度k1遠小于系統(tǒng)隔振器剛度k時（即k1=0.001k），與k1=k相比，在共振區(qū)附近，傳遞率明顯放大，在過共振區(qū)，傳遞率隨串聯(lián)剛度減小稍有減小。

圖6 串聯(lián)剛度和隔振器剛度對傳遞率的影響Fig.6 Effect of Series Stiffness and Vibration Isolator Stiffness on Transmissibility

4.3 實驗驗證

本實驗通過改變減振器端部節(jié)點的串聯(lián)彈簧剛度，來分析串聯(lián)剛度對隔振系統(tǒng)傳遞率的影響。實驗中均采用松夏公司ZTA型彈簧隔振器，垂向剛度約3.86×105N/m，減振器為某型車輛減振器，機組從1140r/min按120r/min步長逐檔加速到2100r/min。方案一中減振器端部采用串聯(lián)小剛度彈簧的方式，計算剛度為4.1885×104N/m，方案二中減振器端部采用串聯(lián)常規(guī)大剛度橡膠襯套的方式，兩種方案的對比可反映串聯(lián)剛度對傳遞力的影響。不同方案的發(fā)動機激振力傳遞到構架的傳遞力隨激勵頻率變化的色譜圖，如圖7、圖8所示。此傳遞力為各個測點各個方向（X/Y/Z三向）的平均值。從圖7和圖8中可以看出，方案一的最大傳遞力在激勵頻率（19～21）Hz附近為88.79N，方案二的最大傳遞力在激勵頻率（25～27）Hz附近為177.47N。同時從其余各頻率段色譜圖顏色的深淺明顯看出，端部串聯(lián)小剛度彈簧的方案一較常規(guī)大剛度橡膠襯套的方案二傳遞的傳遞力少，隔振性能更優(yōu)。驗證了上述簡化的動力學模型以及仿真計算分析的正確性。

圖7 方案一-端部串聯(lián)小剛度彈簧Fig.7 Plan 1-Endconnected in Series by Small Stiffness Spring

圖8 方案二-端部串聯(lián)大剛度橡膠襯套Fig.8 Plan 1-Endconnected in Series Byrubber Bushing of Big Stiffness

5 討論與結論

通過對包含串聯(lián)節(jié)點剛度的隔振系統(tǒng)的傳遞率特性進行理論分析及實驗驗證，得到以下主要結論：

（1）推導出系統(tǒng)上層質量和節(jié)點的位移響應計算公式，其數(shù)值上相差，并得到了系統(tǒng)傳遞率計算公式。

（2）對于質量和隔振器剛度、阻尼均確定的系統(tǒng)，在共振區(qū)附近，隨串聯(lián)節(jié)點剛度增大，傳遞率明顯下降，串聯(lián)剛度大于一定值后，傳遞率趨于穩(wěn)定。

（3）對于質量和隔振器剛度、阻尼均確定的系統(tǒng)，在過共振區(qū)，隨串聯(lián)節(jié)點剛度減小，傳遞率明顯下降，串聯(lián)剛度小于一定值后，傳遞率趨于穩(wěn)定。

（4）實驗驗證了在過共振區(qū)，減振器串聯(lián)不同節(jié)點剛度對傳遞力的影響規(guī)律，理論和仿真分析與實驗吻合良好，對端部采用變剛度節(jié)點減振器的設計具有重要的參考意義。