雙線鐵路通過能力圖解 計(jì)算方法研究

褚文君

（中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 運(yùn)輸及經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100081)

1 鐵路通過能力計(jì)算圖解法

1.1 圖解法分類

圖解法是計(jì)算鐵路線路通過能力的常用方法，通過實(shí)際編制列車運(yùn)行圖來確定線路在規(guī)定時(shí)間內(nèi)最大可以開行的列車數(shù)，從而得到線路的通過能 力[1]。對(duì)于圖解法而言，采用的運(yùn)行圖編制技術(shù)是決定其計(jì)算效果的關(guān)鍵。根據(jù)編圖技術(shù)的不同，既有的研究和實(shí)踐中所用的圖解法可以分為3 類，即人工圖解法、模擬圖解法和數(shù)學(xué)規(guī)劃圖解法[2]。

（1）人工圖解法。早期的運(yùn)行圖編制主要依靠人工完成，由編圖人員依據(jù)經(jīng)驗(yàn)決定每條列車運(yùn)行線的鋪畫位置。而能力計(jì)算的人工圖解法則是通過人工鋪畫運(yùn)行圖滿圖來確定線路通過能力。

（2）模擬圖解法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)在鐵路運(yùn)輸領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)模擬人工編圖過程的方法被應(yīng)用于運(yùn)行圖的編制。該方法以人工編圖的策略和經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，生成計(jì)算機(jī)判別準(zhǔn)則，并通過這些準(zhǔn)則對(duì)計(jì)算機(jī)編圖過程進(jìn)行控制，模擬人工編圖全過程。這種圖解法在一定程度上避免了個(gè)人編圖經(jīng)驗(yàn)的偏差對(duì)編圖質(zhì)量的影響。因此，在這種編圖方式下，圖解計(jì)算方法的準(zhǔn)確性得到了一定程度的保證。胡安洲等[3]通過模擬圖解法對(duì)雙線自動(dòng)閉塞區(qū)段旅客列車扣除系數(shù)進(jìn)行研究，提出運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬圖解法進(jìn)行列車扣除系數(shù)標(biāo)定的具體思路。楊肇夏[4]在市郊和摘掛列車運(yùn)行圖鋪畫理論方法的基礎(chǔ)上，研發(fā)能夠模擬鋪畫最大列車運(yùn)行圖的計(jì)算機(jī)交互系統(tǒng)，運(yùn)用此系統(tǒng)進(jìn)行雙線鐵路通過能力分析與扣除系數(shù)的測(cè)算。趙麗珍[5]利用既有的計(jì)算機(jī)模擬編圖軟件對(duì)高、中速列車混跑條件下高速鐵路通過能力進(jìn)行圖解分析，得出有停站高速列車相對(duì)于無停站高速列車、中速列車相對(duì)于無停站和有停站高速列車的扣除系數(shù)，并分析雙線鐵路區(qū)間通過能力隨中速列車數(shù)量變化的趨勢(shì)。徐意[6]基于以列車旅行時(shí)間最小化為目標(biāo)的啟發(fā)式分解算法，研發(fā)單線區(qū)段列車運(yùn)行圖計(jì)算機(jī)模擬鋪畫系統(tǒng)，利用該系統(tǒng)對(duì)提出的“虛擬限制區(qū)間法”的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，以計(jì)算單線區(qū)段通過能力。賀濤[7]借鑒已有研究成果，開發(fā)雙線鐵路運(yùn)行圖模擬鋪畫系統(tǒng)，并運(yùn)用該系統(tǒng)對(duì)蘭新線武威南至張掖區(qū)段不同速差方案下的通過能力進(jìn)行圖解計(jì)算。

（3）數(shù)學(xué)規(guī)劃圖解法。計(jì)算數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展使大規(guī)模優(yōu)化問題的高效求解成為可能，在這種情況下，有學(xué)者開始從優(yōu)化模型構(gòu)建的角度對(duì)運(yùn)行圖編制問題進(jìn)行研究，許多有效的運(yùn)行圖編制模型與算法被相繼提出。在此基礎(chǔ)上，優(yōu)化編圖的思路被應(yīng)用到通過能力的圖解計(jì)算中。孟令云[8]在構(gòu)建運(yùn)行圖優(yōu)化鋪畫模型并運(yùn)用LINGO 求解的基礎(chǔ)上，通過測(cè)試不同列車開行數(shù)量下模型是否有可行解來確定線路的通過能力。張紅斌等[9]構(gòu)建客運(yùn)專線運(yùn)行圖加密整數(shù)規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)基于OD 獎(jiǎng)勵(lì)值的貪心分步算法進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)運(yùn)行圖加密計(jì)算客運(yùn)專線通過能力。

上述方法中，人工圖解法較難對(duì)運(yùn)行線間的耦合關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)籌分析，由于編圖人員的經(jīng)驗(yàn)存在差異，編制得到的運(yùn)行圖質(zhì)量參差不齊，圖解計(jì)算的準(zhǔn)確性難以保證?；谀M編圖的圖解計(jì)算方法在效率和準(zhǔn)確性方面有較大提升，但其考慮的因素和采用的規(guī)則仍有較大局限性，在一定程度上制約其在通過能力圖解計(jì)算中的應(yīng)用，既有的研究更多地是用其標(biāo)定分析計(jì)算法的參數(shù)?；跀?shù)學(xué)規(guī)劃的圖解方法理論上可以實(shí)現(xiàn)最準(zhǔn)確的能力計(jì)算，但由于缺乏有效的優(yōu)化求解算法，此類方法的研究和應(yīng)用仍然比較少見。因此，提出一種基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的雙線鐵路通過能力圖解計(jì)算思路，以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)，構(gòu)建運(yùn)行圖優(yōu)化的析取圖模型，并設(shè)計(jì)遺傳算法求解，以得到的滿圖運(yùn)行線數(shù)量作為雙線鐵路能力計(jì)算結(jié)果。

1.2 圖解法計(jì)算思路

無論是人工圖解法、模擬圖解法還是數(shù)學(xué)規(guī)劃圖解法，既有的通過能力圖解計(jì)算都是將鋪畫時(shí)間域看作是約束條件，在此約束下尋找運(yùn)行圖鋪畫的可行解。將鋪畫時(shí)間域看作優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，給定初始的運(yùn)行線鋪畫數(shù)量，以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)，求解雙線鐵路運(yùn)行圖優(yōu)化編制模型，得到在當(dāng)前運(yùn)行線鋪畫數(shù)量下雙線鐵路運(yùn)行圖的最小時(shí)間跨度，判斷運(yùn)行圖最小時(shí)間跨度是否大于規(guī)定的時(shí)間域，如果是(或否)，則逐漸增加(或減少)運(yùn)行線鋪畫數(shù)量，直至運(yùn)行圖最小時(shí)間跨度小于(或大于)規(guī)定的時(shí)間域時(shí)止，輸出當(dāng)前(或前一次)運(yùn)行線鋪畫數(shù)量作為雙線鐵路通過能力。雙線鐵路通過能力圖解計(jì)算流程如圖1 所示。

圖1 雙線鐵路通過能力圖解計(jì)算流程Fig.1 Graphic calculation flow of capacity of double track railway

2 雙線鐵路運(yùn)行圖優(yōu)化問題建模

根據(jù)圖解法計(jì)算思路，以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)的運(yùn)行圖優(yōu)化編制是實(shí)現(xiàn)圖解計(jì)算方法的關(guān)鍵。運(yùn)用析取圖(Disjunctive Graph)建模方法構(gòu)建模型，設(shè)計(jì)相應(yīng)的遺傳算法進(jìn)行求解，形成以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)的雙線鐵路運(yùn)行圖優(yōu)化編制方法。

2.1 問題描述

假設(shè)雙線鐵路上、下行方向的列車運(yùn)行互不干擾，以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)的雙線鐵路運(yùn)行圖優(yōu)化編制問題可以描述為：給定雙線鐵路特定方向上待鋪畫的列車集合，列車在各個(gè)雙線鐵路區(qū)間相應(yīng)方向上的運(yùn)行時(shí)分和在各個(gè)車站的最小停站時(shí)間均已知，各個(gè)車站的出發(fā)和到達(dá)間隔時(shí)間已知，在不考慮列車間緩沖時(shí)間的條件下，合理安排列車在各個(gè)雙線鐵路區(qū)間相應(yīng)方向上的運(yùn)行次序及在各車站的到發(fā)時(shí)刻，使運(yùn)行圖的時(shí)間跨度最小。

問題參數(shù)定義如下：Q為列車集合；i，j為列車編號(hào)；k為雙線鐵路區(qū)間和車站編號(hào)(按列車運(yùn)行方向依次編號(hào))；n為雙線鐵路區(qū)間數(shù)量，對(duì)應(yīng)的車站數(shù)量即為n+ 1；ti,k為列車i在第k個(gè)雙線鐵路區(qū)間的運(yùn)行時(shí)分；為列車i在第k個(gè)車站的最小停站 時(shí)間；為雙線鐵路區(qū)間k相應(yīng)方向列車到達(dá)追蹤間隔時(shí)間為雙線鐵路區(qū)間k相應(yīng)方向列車出發(fā)追蹤間隔時(shí)間，k= 1，2，…，n；T為運(yùn)行圖鋪畫時(shí)間跨度。

2.2 雙線鐵路運(yùn)行圖編制析取圖模型

析取圖是作業(yè)車間調(diào)度問題(Jop Shop Problem，JSP)研究中常用的建模方法，是一種特殊的賦權(quán)有向圖G= (V，A，E)，其中，V為節(jié)點(diǎn)集，通常包括所有工序?qū)?yīng)的節(jié)點(diǎn)以及起始節(jié)點(diǎn)、終止節(jié)點(diǎn)2 個(gè)虛設(shè)節(jié)點(diǎn)；A為合取弧(又稱連接弧)集合，是連接同一工件相鄰工序的有向弧，用以表示該工件的工藝順序；E為析取弧集合，是連接在同一臺(tái)設(shè)備上進(jìn)行的2 個(gè)工序的有向弧，用以表示這2 個(gè)工序進(jìn)行加工的先后次序。析取弧的方向待定，建模時(shí)通常用1 對(duì)方向相反的弧來表示1 條析取弧。無論是合取弧還是析取弧，都具有一定的權(quán)值(以起始節(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)的合取弧除外)，用以表示該弧起點(diǎn)對(duì)應(yīng)工序的加工時(shí)間。在析取圖模型中，通過為每條析取弧指定1 個(gè)方向(即在模型中每個(gè)析取弧對(duì)中選擇1 條析取弧)，可使該析取圖轉(zhuǎn)化為普通的有向圖，如果得到的有向圖中沒有回路存在，則此圖可以表示1 個(gè)可行的調(diào)度方案，各節(jié)點(diǎn)與起始節(jié)點(diǎn)之間最長路徑的長度即為該節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)工序的最早開始時(shí)間。因此，在析取圖模型中，優(yōu)化車間調(diào)度方案問題等價(jià)于為圖中每條析取弧選擇合適的方向，使得到的無環(huán)有向圖在給定的指標(biāo)上達(dá)到 最優(yōu)。

將列車看作1 個(gè)工件，列車在雙線鐵路區(qū)間的某個(gè)特定方向上的運(yùn)行過程看作1 個(gè)工序，構(gòu)建雙線鐵路運(yùn)行圖編制析取圖模型如下。

公式 ⑵ 給出析取圖的節(jié)點(diǎn)集，0S和tS分別為虛設(shè)的起始和終止節(jié)點(diǎn)，Oi,k為工序節(jié)點(diǎn)，表示列車i在雙線鐵路區(qū)間k上的運(yùn)行過程。公式 ⑶ 和 ⑷ 分別給出析取圖的合取弧集和析取弧集，每一條弧都是由三維向量來描述，前2 個(gè)元素分別為該弧的起始節(jié)點(diǎn)與終到節(jié)點(diǎn)，第3 個(gè)元素為該弧的權(quán)值。公式 ⑶ 的合取弧集中存在3 類有向弧，分別為（1）連接起始節(jié)點(diǎn)與各趟列車第一個(gè)工序節(jié)點(diǎn)的弧，此類弧不對(duì)應(yīng)列車運(yùn)行過程，因而權(quán)值為0；（2）連接各趟列車前后相鄰工序?qū)?yīng)節(jié)點(diǎn)的弧，此類弧的權(quán)值等于其起點(diǎn)對(duì)應(yīng)列車區(qū)間的運(yùn)行時(shí)分與列車在前方車站的最短停站時(shí)間之和； （3）連接各趟列車最后一個(gè)工序節(jié)點(diǎn)與終止節(jié)點(diǎn)的弧，此類弧的權(quán)值即為對(duì)應(yīng)列車在其最后一個(gè)區(qū)間的運(yùn)行時(shí)分。公式 ⑷ 中析取弧連接相同區(qū)間不同列車的工序節(jié)點(diǎn)，其權(quán)值表示不同列車駛?cè)雲(yún)^(qū)間的最小間隔時(shí)間，既應(yīng)滿足后方車站發(fā)車間隔時(shí)間要求，又應(yīng)滿足前方車站到達(dá)間隔時(shí)間要求，因而取和兩者之中的較大值。

基于以上析取圖，以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)的運(yùn)行圖編制問題可轉(zhuǎn)化為確定圖中每個(gè)析取弧的合理方向(即在每個(gè)有向弧對(duì)中選擇1 條)，使圖中起始和終止節(jié)點(diǎn)間的最長路徑L(S0，St)最短，因而決策變量定義如下。

xi,j,k為0-1 變量，表示是否存在由節(jié)點(diǎn)Oi,k到節(jié)點(diǎn)Oj,k的有向弧。

圖中析取弧只用于連接不同的工序節(jié)點(diǎn)，即

同時(shí)，同一雙線鐵路區(qū)間對(duì)應(yīng)的不同工序節(jié)點(diǎn)間應(yīng)當(dāng)有且只有一條有向弧，以表示它們的先后關(guān)系，即

此外，應(yīng)避免出現(xiàn)死鎖現(xiàn)象，選擇得到的有向圖必須是無環(huán)的，以保證對(duì)應(yīng)的鋪畫方案可 行，即

目標(biāo)函數(shù)可以表示為

3 雙線鐵路運(yùn)行圖優(yōu)化遺傳算法

借鑒作業(yè)車間調(diào)度問題遺傳算法的設(shè)計(jì)思路，設(shè)計(jì)基于析取圖的雙線鐵路列車運(yùn)行圖優(yōu)化算法。

3.1 編碼與解碼

采用基于工序的編碼方式，設(shè)計(jì)染色體為列車編號(hào)組成的序列，序列中每個(gè)列車編號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)等于該列車對(duì)應(yīng)工序的數(shù)量(即經(jīng)過雙線鐵路區(qū)間的數(shù)量）。解碼時(shí)，按照染色體中列車編號(hào)出現(xiàn)的順序依次確定列車的各道工序，即可以得到其對(duì)應(yīng)的無環(huán)有向圖的拓?fù)渑判颉Ｈ旧w編碼與解碼方法如圖2 所示。

圖2 染色體編碼與解碼方法Fig.2 Chromosome coding and decoding

3.2 適應(yīng)度計(jì)算

析取圖模型的目標(biāo)函數(shù)是令圖中起始節(jié)點(diǎn)S0與終止節(jié)點(diǎn)St間的最長路徑長度最小，選擇操作采用比例選擇法，將染色體的適應(yīng)度定義為其對(duì)應(yīng)的無環(huán)有向圖中起止節(jié)點(diǎn)間最長路長度的倒數(shù)，即

其中，L(S0，St)可以采用拓?fù)渑判蚍ㄓ?jì)算，具體流程如下。

步驟1：初始化。對(duì)染色體進(jìn)行解碼，得到對(duì)應(yīng)無環(huán)有向圖的拓?fù)渑判?；令所有工序?jié)點(diǎn)與起始節(jié)點(diǎn)間最長路長度為0，即= 0，?i，k；令迭代參數(shù)g= 0。

步驟2：令g=g+ 1，得到拓?fù)渑判蛑械趃個(gè)節(jié)點(diǎn)

步驟3：更新拓?fù)渑判蛑術(shù)之后第一個(gè)與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)列車相同的節(jié)點(diǎn)的最長路徑長度，令其等于節(jié)點(diǎn)的最長路徑長度與相應(yīng)合取弧的權(quán)值之和，即

步驟4：更新拓?fù)渑判蛑衋之后所有與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)區(qū)間相同的節(jié)點(diǎn)的最長路徑長度，令其等于節(jié)點(diǎn)的最長路長度與相應(yīng)析取弧的權(quán)值之和，即

步驟5：如果g等于染色體長度，則得到圖中起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)間的最長路長度為

否則，返回步驟3。

3.3 遺傳操作設(shè)計(jì)

（1）選擇操作采用比例選擇法。通過適應(yīng)度值確定當(dāng)前種群中各個(gè)染色體被選擇的概率，隨機(jī)選擇出父母?jìng)€(gè)體。

（2）交叉操作采用線性次序交叉。針對(duì)選擇操作得到的父染色體，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)列車編號(hào)，保留父染色體中該列車編號(hào)對(duì)應(yīng)的所有基因位，其余基因位清空，然后保持所保留基因位相對(duì)位置不變，整體向左或向右隨機(jī)移動(dòng)一定距離，得到一個(gè)子代原型；然后將其余列車編號(hào)按照在母染色體中的相對(duì)順序依次加入子代原型的空基因位中，生成1 個(gè)完整的子代個(gè)體；重復(fù)上述過程，生成第2 個(gè)子代個(gè)體。線性次序交叉操作如圖3 所示。

（3）變異操作采用位置變異。從染色體中隨機(jī)選擇2 個(gè)位置，然后交換這2 個(gè)位置的值。

圖3 線性次序交叉操作Fig.3 Linear order crossover operation

此外，為保證算法的收斂性，進(jìn)化過程結(jié)合使用最優(yōu)保存策略，即當(dāng)經(jīng)過以上遺傳操作得到的子代種群中，最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度劣于父代種群中的最優(yōu)個(gè)體時(shí)，用父代種群中的最優(yōu)個(gè)體替換子代種群中的最差個(gè)體。

4 算例分析

以一個(gè)包含10 個(gè)車站的雙線鐵路區(qū)段下行方向?yàn)槔?，?duì)前文提出的運(yùn)行圖編制方法及通過能力圖解計(jì)算思路進(jìn)行驗(yàn)證。已知該線路上開行2 種速度等級(jí)的列車，各等級(jí)列車在雙線鐵路區(qū)間下行方向運(yùn)行時(shí)分如表1 所示。

表1 各等級(jí)列車在雙線鐵路區(qū)間下行方向運(yùn)行時(shí)分Tab.l Operation time of all level trains in the downward direction of double track railway

高等級(jí)列車有2 種開行方案，各等級(jí)列車的停站方案設(shè)置如表2 所示，低等級(jí)列車的停站不作要求。此外，各個(gè)車站下行方向列車出發(fā)和到達(dá)間隔時(shí)間均為4 min。

表2 各等級(jí)列車的停站方案設(shè)置Tab.2 Station stop scheme of all level trains

基于以上設(shè)定，可以按照速度等級(jí)和停站方式的不同，將此區(qū)段下行方向開行列車分為3 類，各類列車在雙線鐵路區(qū)間下行方向的運(yùn)行圖參數(shù)如表3 所示。

表3 各類型列車在雙線鐵路區(qū)間下行方向的運(yùn)行圖參數(shù) minTab.3 Scheduling parameters of all kinds of train in the downward direction of double-track railway

4.1 雙線鐵路運(yùn)行圖編制算法分析

設(shè)定第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ類列車的開行數(shù)量依次為10，20，30，運(yùn)用圖解計(jì)算方法確定最優(yōu)的鋪畫方案。算法通過C#語言編程實(shí)現(xiàn)。遺傳算法參數(shù)設(shè)置如表4 所示，遺傳算法計(jì)算過程如圖4 所示。

表4 遺傳算法參數(shù)設(shè)置Tab.4 Parameter setting of genetic algorithm

由以上計(jì)算過程得到，運(yùn)行圖的最小時(shí)間跨度為349 min。

4.2 雙線鐵路通過能力分析

在以時(shí)間跨度最小化為目標(biāo)的運(yùn)行圖優(yōu)化編制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析上述雙線線路下行方向的通過能力。規(guī)定運(yùn)行圖中有效的鋪畫時(shí)間域?yàn)?600 min，區(qū)段通過能力使用600 min 內(nèi)可以鋪畫的列車數(shù)量來表示。

（1）單類列車最大開行數(shù)量計(jì)算。將第Ⅰ和第Ⅱ類列車開行數(shù)量分別設(shè)為15 和25，運(yùn)用運(yùn)行圖編制方法得到運(yùn)行圖時(shí)間跨度隨第Ⅲ類列車數(shù)量的變化如圖5 所示。由圖5 可見，600 min 有效鋪畫時(shí)間域內(nèi)第Ⅲ類列車的最大鋪畫數(shù)量為49?；谶@種方法，可以計(jì)算對(duì)任2 類列車數(shù)量固定情況下，第3 類列車的最大開行數(shù)量。

圖4 遺傳算法計(jì)算過程Fig.4 Calculation process of genetic algorithm

圖5 運(yùn)行圖時(shí)間跨度隨第Ⅲ類列車數(shù)量的變化Fig.5 Variation of scheduling time horizon with the number of train Ⅲ

（2）列車扣除系數(shù)分析。以第Ⅲ類列車為基準(zhǔn)列車，對(duì)第Ⅰ和第Ⅱ類列車的扣除系數(shù)進(jìn)行量化分析。首先，計(jì)算得到平行運(yùn)行圖條件下給定時(shí)間域(600 min)內(nèi)可以鋪畫第Ⅲ類列車的最大數(shù)量(103列)；然后，在給定第Ⅰ或第Ⅱ類列車開行數(shù)量的情況下，計(jì)算第Ⅲ類列車的最大鋪畫數(shù)量；在此基礎(chǔ)上，以第Ⅲ類列車減少鋪畫的數(shù)量除以第Ⅰ或第Ⅱ類列車的開行數(shù)量計(jì)算第Ⅰ或第Ⅱ類列車的扣除系數(shù)，得到第Ⅰ、第Ⅱ類列車扣除系數(shù)變化情況如圖6 所示。

由圖6 可見，隨著開行數(shù)量的增加，2 類列車的扣除系數(shù)均總體呈現(xiàn)先上升再下降的趨勢(shì)。對(duì)于第Ⅰ類列車，其開行數(shù)量在10 ～ 25 列時(shí)，對(duì)于第Ⅲ類列車鋪畫的影響最為明顯，扣除系數(shù)一直維持在1.4 左右；當(dāng)其開行數(shù)量超過25 列以后，扣除系數(shù)逐漸減小。第Ⅱ類列車對(duì)于第Ⅲ類列車鋪畫的影響更為顯著，當(dāng)其開行數(shù)量在10 ～ 35 列時(shí)，扣除系數(shù)一直在1.6 左右；開行超過35 列后，扣除系數(shù)逐漸減小。上述分析說明，列車的扣除系數(shù)在一定程度上受到其自身開行數(shù)量的影響，因而以固定的扣除系數(shù)計(jì)算通過能力會(huì)導(dǎo)致存在一定的誤差。

（3）基于帕累托最優(yōu)的線路通過能力描述。在鋪畫時(shí)間域給定的情況下，3 類列車的最大鋪畫數(shù)量存在此消彼長的關(guān)系，因而可以用3 類列車鋪畫數(shù)量的帕累托最優(yōu)集來描述線路的通過能力。上述通過固定2 類列車開行數(shù)量計(jì)算第3 類列車最大鋪畫數(shù)量的方法所得到的結(jié)果可以看作帕累托最優(yōu)集中的一個(gè)非支配解，在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步求解所有類型列車開行數(shù)量的帕累托最優(yōu)集。

首先，固定第Ⅰ類列車的開行數(shù)量，對(duì)第Ⅱ類列車不同開行數(shù)量下第Ⅲ類列車的最大鋪畫數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，得到第Ⅱ、第Ⅲ類列車開行數(shù)量的帕累托最優(yōu)集。第Ⅰ類列車開行數(shù)量為15 情況下，第Ⅱ、Ⅲ類列車開行數(shù)量的帕累托最優(yōu)集如圖7 所示。

進(jìn)一步地，對(duì)第Ⅰ類列車不同開行數(shù)量下第Ⅱ和第Ⅲ類列車開行數(shù)量的帕累托最優(yōu)集進(jìn)行求解，得到3類列車開行數(shù)量的帕累托最優(yōu)集如圖8所示。

圖6 第Ⅰ、第Ⅱ類列車扣除系數(shù)變化情況Fig.6 Variation of deduction coefficients of train Ⅰ and Ⅱ

圖7 列車開行數(shù)量帕累托最優(yōu)集(第Ⅰ類列車開行15 列)Fig.7 Pareto optimal set of number of trains (15 trains of class I)

圖8 3 類列車開行數(shù)量的帕累托最優(yōu)集Fig.8 Pareto optimal set of the numbers of train I, Ⅱ and Ⅲ

5 結(jié)束語

隨著智能計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，圖解法在鐵路通過能力計(jì)算中的應(yīng)用將日漸成熟完善。綜合既有優(yōu)化建模與智能計(jì)算理論方法，提出基于數(shù)學(xué)規(guī)劃圖解的雙線通過能力計(jì)算思路，是對(duì)圖解計(jì)算鐵路通過能力的有效嘗試，而且還應(yīng)結(jié)合運(yùn)行圖鋪畫方案對(duì)通過能力圖解計(jì)算進(jìn)行進(jìn)一步深化研究。