代帆，劉小佑，2

(1.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖南 衡陽，421001; 2.湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭，411201)

傳染病對人類健康和社會發(fā)展具有嚴(yán)重的危害，艾滋病(AIDS)就是危害極大的傳染病之一。艾滋病的傳播途徑主要有血液傳播、毒品注射傳播、母嬰傳播和性接觸傳播等。自1981年艾滋病被發(fā)現(xiàn)以來，其在全球的傳播急劇擴(kuò)散。隨著國際社會加強(qiáng)艾滋病的科研合作和攻關(guān)，其防治工作取得重大進(jìn)展，但目前仍沒有艾滋病疫苗和能治愈艾滋病的手段。

近年來，許多專家學(xué)者對艾滋病的傳播做了深入研究，提出了各種刻畫艾滋病傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型[1]。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明性接觸已經(jīng)成為我國艾滋病的主要傳播途徑之一，并且經(jīng)男男性接觸傳播的比例也日漸上升[2]。隨著艾滋病防治工作和宣傳工作不斷深入，人們對艾滋病的認(rèn)識更加清晰、深刻。已有相關(guān)文獻(xiàn)研究表明：人們對艾滋病的認(rèn)識程度及主觀安全意識在艾滋病的防治中能起到重要作用[3-7]。

本文將考慮一類具有意識分類的艾滋病性傳播模型。該模型具有常數(shù)輸入，指數(shù)死亡和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，并考慮性傳播因素和意識分類因素?，F(xiàn)將所研究的區(qū)域中人口分為六類：易感者女性(Sf)，易感者男性(Sm)，有意識感染者(I1)(有艾滋病安全意識，不會傳染別人及導(dǎo)致后代受感染的感染者)，無意識感染者女性(I2f)(沒有艾滋病安全意識且不知道自己已經(jīng)感染的感染者)，無意識感染者男性(I2m)，艾滋病患者(A)。此模型的主要前提假設(shè)為：模型將考慮性傳播(男女異性性傳播和男男同性性傳播)，并假設(shè)艾滋病只在易感者和無意識的感染者之間傳播，且新感染者都是無意識的感染者。具體模型如下：

(1)

其中：假設(shè)人口輸入常數(shù)是Λ，女性輸入比例為ε(0<ε<1)。記總?cè)丝跀?shù)為N，也即N=Sf+Sm+I2f+I2m+I1+A，d為自然死亡率，τ為因病額外死亡率，θ為感染者從無意識向有意識的轉(zhuǎn)化率，δ為艾滋病感染者成為艾滋病患者的轉(zhuǎn)化率，β1，β2和β3分別代表女性易感者(Sf)和男性無意識感染者(I2m)、男性易感者(Sm)和女性無意識感染者(I2f)、男性易感者(Sm)和男性無意識感染者(I2m)之間的有效接觸率。

預(yù)防和治療是傳染病的防治策略。眾所周知疾病的預(yù)防比治療更重要。傳染病的預(yù)防原則有管理傳染源、切斷傳播途徑、保護(hù)易感人群等，由此可知加強(qiáng)人們對傳染病的認(rèn)識對預(yù)防該傳染病具有重要意義。

近年來我國艾滋病傳播途徑發(fā)生了一些改變。輸血傳播已經(jīng)基本阻斷，性傳播已成為主要的傳播途徑。2017年報(bào)告感染者中經(jīng)異性傳播占比為69.6%，男性同性傳播為25.5%(見http://www.chinacdc.cn/mtbd_8067/201811/t20181128_197565.html)。

基于上述原因，本文提出的有關(guān)艾滋病傳播的數(shù)學(xué)模型(1)是有現(xiàn)實(shí)意義的。因?yàn)槿藗儗Π滩〉恼J(rèn)識(體現(xiàn)在模型中的人群意識分類)和性接觸傳播途徑(含異性和男男同性)是目前影響艾滋病傳播的兩大主要因素。

下文將討論上述模型(1)的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性。

1 模型平衡點(diǎn)的存在性

為方便起見，引入記號a1=δ+θ+d，a2=δ+d，a3=τ+d。模型(1)的平衡點(diǎn)可通過求解下面方程組得到。

(2)

若I2m>0，可推出(以下加*號是為了區(qū)別第一種情形下的解)

以及一個關(guān)于I2m的一元二次方程，

(3)

其中：

通過計(jì)算，可定義基本再生數(shù)[8]為

定理1若01，則模型(1)具有唯一地方病平衡點(diǎn)。模型(1)總有無病平衡點(diǎn)。

證明把方程(3)中常數(shù)K改寫成

K=-Q(R0-1)。

另引入一元二次函數(shù)

顯然，S(I2m)=R0與一元二次方程T(I2m)=0同解。一元二次函數(shù)S(I2m)開口向上，且有S(0)=1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(I2m-min，Q(I2m)-min)，其中

若0

因而有

由一元二次函數(shù)圖像可知方程S(I2m)=R0無正解，即模型(1)無地方病平衡點(diǎn)。

2 模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

首先給出1個下文中將要用到的穩(wěn)定性判定定理。

引理1若方程組的系數(shù)矩陣的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則方程組的零解漸進(jìn)穩(wěn)定[9]。

計(jì)算可得方程組(1)的Jacobian矩陣為

(4)

定理2若0

證明由矩陣(4)可得模型(1)在無病平衡點(diǎn)處的特征多項(xiàng)式為

λ1=-d，λ2=-d，λ3=-a1，λ4=-a2，λ5=-a3，

當(dāng)0

計(jì)算可得特征方程為

P(λ)=(λ+a2)(λ+a3)(λ+d)(λ+d)[λ2+(L+M)λ+LM-H]=0

(5)

其中:

顯然有L>0和H>0。由方程組(2)中的4式可知

即可得M>0。現(xiàn)在討論特征方程(5)中因式λ2+(L+M)λ+LM-H。考慮以下一元二次方程:

x2+(L+M)x+(LM-H)=0。

其判別式

Δ=(L+M)2-4(LM-H)=(L-M)2+4H>0。

另據(jù)韋達(dá)定理有

x1+x2=-(L+M)<0，

(6)

將方程組(2)中第4式的變形式

代入(6)式得

最后簡化得

這表明特征方程(5)中二次因式項(xiàng)有2個負(fù)實(shí)根。

綜上可知特征方程(5)存在6個負(fù)實(shí)根，滿足引理1，故定理成立。

3 結(jié)語

本文考慮了一類具有意識分類的艾滋病性傳播(含異性和男男同性)模型。模型帶有常數(shù)輸入、指數(shù)死亡率和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，假設(shè)新的染病者都是通過性接觸傳播的，并且都是無意識的感染者。通過分析與計(jì)算，給出了模型的基本再生數(shù)，并證明了模型的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

對模型(1)的研究表明，在模型的假設(shè)前提下，艾滋病能夠得到有效控制，不會形成突發(fā)的高流行病態(tài)勢，而是最終形成地方病。另外模型的基本再生數(shù)表達(dá)式

式中的β1，β2和β3(分別表示三類性接觸的有效接觸率)越小，基本再生數(shù)也就越小。因此，想辦法將它們減少，有利于降低艾滋病的流行。加強(qiáng)有關(guān)艾滋病的預(yù)防宣傳，讓人們了解艾滋病的傳播途徑并具有艾滋病預(yù)防意識，這樣不但可以減小現(xiàn)有的無意識群體的數(shù)量，也能減少高危性行為，即可通過采取保護(hù)措施來降低有效接觸率。這表明本文對模型(1)的研究具有現(xiàn)實(shí)意義。

總體來說，與其他國家相比，我國艾滋病疫情處于低流行水平。隨著生物和醫(yī)療科技的發(fā)展，一旦艾滋病疫苗的研制和艾滋病治療方法取得突破，加上人們對艾滋病的認(rèn)識加強(qiáng)，會主動采取各種有效的預(yù)防措施，那么人類最終是可以戰(zhàn)勝艾滋病的。