線性目標(biāo)函數(shù)的幾種“變式”及相應(yīng)最值的求法

譙用

【摘要】在線性規(guī)劃問題中，我們常常會(huì)遇到非線性目標(biāo)函數(shù)的問題，遇到這類問題，我們?cè)撊绾翁幚砟兀?/p>

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃;目標(biāo)函數(shù);幾種變式

線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一.在本模塊的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，不必引入很多名詞.在《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版）》中，對(duì)線性規(guī)劃有這樣的描述：“對(duì)線性規(guī)劃仍以考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn)，還可能以考查線性規(guī)劃思想方法的形式出現(xiàn)，如利用代數(shù)式的幾何意義（距離、斜率、面積等）求最值”.基于此，我們說目標(biāo)函數(shù)存在幾種變式.

例1?某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種試銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3千元、2千元.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在A，B上加工一件甲所需工時(shí)分別為1時(shí)、2時(shí)，加工一件乙所需工時(shí)分別為2時(shí)、1時(shí)，A，B兩種設(shè)備每月有效使用時(shí)數(shù)分別為400和500.如何安排生產(chǎn)可使收入最大？

這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型是二元線性規(guī)劃，要求從實(shí)際問題中抽象出簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，然后加以解決.

解?設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x，y件，約束條件是

x+2y≤400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，

目標(biāo)函數(shù)是z=3x+2y.

要求出適當(dāng)?shù)膞，y，使得z=3x+2y取得最大值，要先畫出可行域，如圖所示，考慮3x+2y=a，a是參數(shù)，將它變形為y=-32x+a2，這是斜率為-32、隨a變化的一組直線.a2是直線在y軸上的截距，當(dāng)a2最大時(shí)a最大，當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

在這個(gè)問題中，使3x+2y取得最大值的（x，y）是兩直線2x+y=500與x+2y=400的交點(diǎn)（200，100）.因此，甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)200，100件時(shí)，可得最大收入為800千元.

本例中目標(biāo)函數(shù)是線性的，下面談?wù)剮追N變式.

變式一：含參數(shù)型目標(biāo)函數(shù)，形如y=ax+y

例2?（2013年高考全國題）記不等式組x≥0，x+3y≥3，3x+y≤3， 所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線y=a（x+1）與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

解?題中不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.因?yàn)橹本€y=a（x+1）過定點(diǎn)A（-1，0），由圖結(jié)合題意可知kAB=37，kAC=3.所以要使直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則37≤a≤3.其實(shí)是將問題轉(zhuǎn)化為直線的斜率的取值范圍來求.

變式二：斜率型目標(biāo)函數(shù)，形如z=y-bx-a

例3?已知y≥0，y≤2x，y≤4-2x， 求z=y+2x+2的取值范圍.

解?題中不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.z=y+2x+2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)A（-2，-2）連線的斜率.圖中kAB=12，kAC=43，所以z的取值范圍是12≤z≤43.

變式三：距離型目標(biāo)函數(shù)

d=|Ax+By+C|A2+B2或

d=（x-a）2+（y-b）2

例4?（2013年高考北京題）設(shè)D為不等式組x≥0，2x-y≤0，x+y-3≤0 表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為.

解?題中不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為點(diǎn)（1，0）到直線2x-y=0的距離，點(diǎn)（1，0）到直線2x-y=0的距離為255，所以區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為255.

變式：設(shè)D為不等式組x≥0，2x-y≤0，x+y-3≤0， 表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最大值為.

這是兩種不同的距離，前者為點(diǎn)到直線的距離，后者為兩點(diǎn)間的距離.

總之，無論我們遇上什么樣的目標(biāo)函數(shù)，只要抓住其幾何特征，認(rèn)真體會(huì)其數(shù)學(xué)思想，就可以順利地解決問題.