[摘? ? ? ? ? ?要]? 從二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的求解案例出發(fā)，通過(guò)所處的不同角度，給出四種不同的解法，并對(duì)四種方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，以此對(duì)高數(shù)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的教學(xué)進(jìn)行了粗略探討。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 常系數(shù);非齊次;線(xiàn)性微分方程;通解

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）32-0054-02

在我們的日常生活中，經(jīng)常會(huì)用微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題，比如減肥問(wèn)題、人口增長(zhǎng)問(wèn)題、考古學(xué)中古文物的年代確定和名畫(huà)真?zhèn)蔚谋鎰e問(wèn)題、刑事案件中死亡時(shí)間的鑒定問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中預(yù)測(cè)商品的銷(xiāo)售量、關(guān)于國(guó)民收入和儲(chǔ)蓄與投資的關(guān)系問(wèn)題等?？傊?，微分方程的應(yīng)用已經(jīng)滲透到社會(huì)生活中的方方面面，所以微分方程的教學(xué)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中有著舉足輕重的作用，但同時(shí)微分方程的求解也是教學(xué)難點(diǎn)。尤其是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的求解更是教學(xué)中的難點(diǎn)。

對(duì)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程

其中p，q均為常數(shù)，一般教材都是直接給出它的通解結(jié)構(gòu)：y=Y（x）+y*（x），其中y=y*（x）是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程（1）的一個(gè)特解，Y（x）是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程y"+py'+qy=0的通解。在實(shí)際教學(xué)中，我們可以根據(jù)不同的題目，分析不同的解法，從而讓學(xué)生透過(guò)各種解法更加深刻地理解求解微分方程的實(shí)質(zhì)。

本文通過(guò)一類(lèi)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的求解案例，通過(guò)站在不同角度，采用四種不同的方法，并對(duì)四種方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，來(lái)探討高數(shù)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的教學(xué)。

例 求y"-y′=2x的通解。

解：方法一：可以把所給方程看作可降階的二階微分方程y"=f（x，y′）型。設(shè)y′=p，則y"==p′，則原方程化為p′-p=2x，而此方程為一階線(xiàn)性非齊次微分方程.根據(jù)公式得通解為

方法二：可以把該方程看成二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y"+py′+qy=f（x）型，其中p，q均為常數(shù)，f（x）=2x為一次多項(xiàng)式ax+b型。此方程通解結(jié)構(gòu)為y=Y（x）+y*（x）

第一步，先求對(duì)應(yīng)齊次方程y"-y′=0的通解。其特征方程為 r2-r=0，有兩個(gè)實(shí)根r1=1，r2=0，于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解

第二步，求原方程y"-y′=2x的一個(gè)特解y（x）。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，多項(xiàng)式求導(dǎo)仍為多項(xiàng)式，且次數(shù)降低一次。由于等號(hào)右邊是f（x）=2x為一次多項(xiàng)式ax+b型，為了保證等號(hào)兩邊相等，所以等號(hào)左邊求導(dǎo)以后也是一次多項(xiàng)式，即y′也應(yīng)是一次多項(xiàng)式，故可設(shè)特解為二次多項(xiàng)式，即可設(shè)y（x）=x（ax+b）。代入原方程得

2x，

即 -2ax+2a-b=2x，由待定系數(shù)法

-2a=22a-b=0，得a=-1，b=-2，故特解

對(duì)應(yīng)的齊次方程y"-y′=0的特征方程為 r2-r=0，根為r1=1，r2=0，

由于這里λ=0是特征方程的單根，所以應(yīng)設(shè)特解為

把它代入所給方程，得

即？搖？搖？搖？搖？搖-2ax+2a-b=2x，由待定系數(shù)法

于是，所求原方程通解為y=Y（x）+yx）=-x2-2x+C1ex+C2方法四：根據(jù)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程系數(shù)和對(duì)應(yīng)的特征方程根的特點(diǎn)，利用降階法，給出方程（1）的求通解公式，然后直接代入公式計(jì)算。下面先給出定理：

綜上所述，四種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。方法一把所求的方程看成可降階的微分方程，把二階降為一階，降低了難度，但需要求兩個(gè)一階微分方程，步驟稍微繁瑣，此題還涉及一階線(xiàn)性微分方程求解，有些學(xué)生對(duì)此方程公式掌握不牢。方法二直接根據(jù)方程特點(diǎn)等號(hào)右邊為多項(xiàng)式，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，猜想方程特解形式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，方法直接明了，好理解。方法三對(duì)等號(hào)右邊f(xié)（x）=P（x）e型直接利用教材結(jié)論，設(shè)出特解，求解更便捷，但前提是要記憶公式，理解公式。方法四通過(guò)一個(gè)定理直接推出方程（1）的通解公式，方法簡(jiǎn)單明了，只要是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y"+py′+qy=f（x）型，不需要判別等號(hào)右端f（x）類(lèi)型，此方法更具有一般性，更容易推廣，但是需要理解定理，記憶公式，而這個(gè)公式的理解和記憶又是大多數(shù)學(xué)生最頭疼的地方。所以，在二階微分方程教學(xué)中，對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y"+py′+qy=f（x），若f（x）=P（x）e型，采用方法二“猜想法”講解，學(xué)生更易接受，更易理解掌握，而方法四更具有一般性。這就要求我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中要因地制宜，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生特點(diǎn)，總結(jié)出一些適合學(xué)生的教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2003：286-291，311-313.

[2]朱長(zhǎng)青，王紅.微積分[M].北京：科學(xué)出版社，2018：158-160，163-166.

[3]宋燕.二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的通解公式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011（3）：6-7.

◎編輯 馬燕萍