直線與圓錐曲線位置關(guān)系探究

王宏偉

【摘要】在高中數(shù)學(xué)的直線與圓錐曲線位置關(guān)系的部分，包括橢圓、雙曲線、拋物線等多種類型的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)類型都經(jīng)常在高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)，所以高中生仍需要自我勉勵(lì)，努力地鉆研和探究這些數(shù)學(xué)題目，從而提升高中生對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的解題能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

從近年來的高考數(shù)學(xué)試題中可以發(fā)現(xiàn)，越來越多地出現(xiàn)關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的數(shù)學(xué)題目，傾向于考查高中生的數(shù)形結(jié)合能力、數(shù)學(xué)推理能力，高中生在擁有多方面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的情況下，才可以有效求解題目.并且，這也要求數(shù)學(xué)教師積極地應(yīng)對(duì)高考數(shù)學(xué)變化，在教學(xué)工作中引導(dǎo)高中生學(xué)習(xí)更多的解題方法，從而有利于提升高中生的數(shù)學(xué)成績(jī).

一、直線與圓錐曲線的知識(shí)結(jié)構(gòu)

從高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容來看，在人教版的選修2-1中包含了關(guān)于直線與圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)，從近年來我國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的題型來看，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目出現(xiàn)頻率較大，所以數(shù)學(xué)教師需要對(duì)該類型題目進(jìn)行深入教學(xué).那么，從高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的該類題目種類來看，主要可以分為直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系等問題，這些問題既是重要的數(shù)學(xué)考點(diǎn)，也是高中生必學(xué)的重點(diǎn)知識(shí).但是，從目前學(xué)生的做題情況來看，有些學(xué)生容易混淆彼此的概念，導(dǎo)致做題效果不好.因此，數(shù)學(xué)教師需要對(duì)這些數(shù)學(xué)題目仔細(xì)講解，將往年的高考考題拿給學(xué)生鉆研，從而逐漸提升高中生對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的求解能力.

二、直線與圓錐曲線位置關(guān)系探究

1.直線與橢圓的位置關(guān)系

例1 （2019年浙江高考數(shù)學(xué)題）x29+y25=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，并且在x軸的上方位置，如果線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心、|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是多少？

解法 假設(shè)點(diǎn)F1為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖1所示.

從題中可以得知，OF=OM=c=2，再利用中位線定理可以求得PF1=2OM=4.如果假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），就可以得出（x-2）2+y2=16，聯(lián)立（x-2）2+y2=16，x29+y25=1，可得x=-32或x=212，但是由于x=212不符合該題要求，所以將其舍去，將x=-32代入橢圓方程中，從題目中可知點(diǎn)P在橢圓的x軸的上方位置，可得P-32，152，則kPF=15212=15，即直線PF的斜率為15.

2.直線與雙曲線的位置關(guān)系

例2 （2018年天津理科高考數(shù)學(xué)題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A和B兩點(diǎn)，假設(shè)A和B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d1和d2，并且d1+d2=6，則雙曲線的方程為（）.

A.x24-y212=1B.x212-y24=1

C.x23-y29=1D.x29-y23=1

解析 從該題目可知，如果想要求解A和B的坐標(biāo)位置，需要先使用點(diǎn)到直線距離的公式求出b的值，然后將b的值代入雙曲線方程中求得a的值，這就可以得出最終的雙曲線方程.所以，可以先假設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F（c，0）（c>0），這就使得xA=xB=c，然后從題目中的雙曲線方程x2a2-y2b2=1，可得y=±b2a2，這時(shí)再假設(shè)Ac，b2a，Bc，-b2a，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入漸近線bx-ay=0中，可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c和d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c，然后可以計(jì)算d1+d2=2bcc=2b=6，即b=3，b2=9，然后將b的值代入e=ca=1+b2a2=1+9a2=2中，可得a2=3，這就可以求得最終的雙曲線方程為x23-y29=1，因此C項(xiàng)為正確選項(xiàng).

結(jié)果分析 從該道題目來看，學(xué)生可以利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，可以按照“定形—定量”的方法求出標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線方程，然后利用與漸近線的關(guān)系求得a和b的坐標(biāo)值，然后將其代入漸近線bx-ay=0中，這就可以順利地求得該段雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=λ（λ≠0），然后利用題目中的條件d1+d2=6求得λ值，從而可以最終求出正確的雙曲線方程.

3.直線與拋物線的位置關(guān)系

例3 （2018年浙江高考數(shù)學(xué)題）如圖2所示，已知點(diǎn)P為y軸左側(cè)（不含y軸）的一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A和B，并且滿足PA和PB的中點(diǎn)均在C上.

（1）假設(shè)AB的中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸;

（2）若P是半橢圓x2+y24=1（x<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍.

解析 （1）首先，為了幫助解題，先假設(shè)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)P（x0，y0），A14y21，y1，B14y22，y2，由于在題目中已經(jīng)說明PA和PB的中點(diǎn)落在拋物線上，這就可以將y1和y2的值代入拋物線的方程中，可得y+y022=4×14y2+x02，而這得出的結(jié)果是y2-2y0y+8x0-y20=0的實(shí)數(shù)根，再代入可得y1+y2=2y0，這就說明線段PM與y軸是垂直關(guān)系.

（2）從第一個(gè)問題可以得方程組y1+y2=2y0，y1y2=8y0-y20，可得|PM|=18（y21+y22）-x0=34y20-3x0|PM|，|y1-y2|=22（y20-4x0），這就可以得出△PAB的面積為S△PAB=12|PM|·|y1-y2|=324（y20-4x0）32，而x20+y204=1（x0<0），這就可以得出y20-4x0=-4x20-4x0+4∈[4，5]，這就說明△PAB的取值范圍是62，15104.

結(jié)果分析 從該道題中直線與拋物線的位置關(guān)系可知，該道題目主要考查學(xué)生的函數(shù)轉(zhuǎn)換能力，學(xué)生需要將題目中的多元函數(shù)合理地轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，這樣可以降低解題難度，并且需要學(xué)生套用拋物線公式求得實(shí)數(shù)根，以此可以判斷線段PM和y軸的關(guān)系，再將關(guān)系式套用在第二個(gè)問題獲得方程組，這就形成較為復(fù)雜的多元方程式，將x2+y24=1（x<0）加入后就可以得出相應(yīng)的區(qū)間，這就是最終的取值范圍.不過，由于該道題目涉及值域，所以還可以利用導(dǎo)數(shù)的方法求解.

4.弦長(zhǎng)問題

例4 （2018年江蘇高考數(shù)學(xué)題）在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsinπ6-θ=2，曲線C的方程為ρ=4cos θ，求直線l被曲線C所截的弦長(zhǎng).

解析 從題目曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ可得出圓心為（2，0），曲線圍成的圓的半徑為4，當(dāng)點(diǎn)A（4，0）經(jīng)過直線l的極坐標(biāo)方程ρsinπ6-θ=2時(shí)，可以獲得此時(shí)的傾斜角度為π6，這就說明直線l除了與圓C相交于點(diǎn)A外，還有另外一個(gè)交點(diǎn).那么，可以先假設(shè)該交點(diǎn)的坐標(biāo)位置為B，則∠OAB=π6，在圖3中將O點(diǎn)和B點(diǎn)連接，又由于OA是圓C的直徑，這就可得∠OBA=π2，AB=4cosπ6=23，所以，最終可以求得所截的弦長(zhǎng)為23.

結(jié)果分析 從該道弦長(zhǎng)問題的題目來看，雖然相比之前題目難度較低，但是需要學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合、數(shù)據(jù)建模的方法畫出圖形，這樣有助于學(xué)生邊看題邊解題，從而可以提升學(xué)生對(duì)弦長(zhǎng)問題的求解能力.

5.圓錐曲線上點(diǎn)到直線的距離問題

例5 （2017年高考全國(guó)文科數(shù)學(xué)Ⅰ卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cos θy=sin θ（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=a=4ty=1-t（t為參數(shù)）.

（1）若a=-1，求曲線C和直線l的交點(diǎn)坐標(biāo);

（2）若曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為17，求a的值.

解析 （1）從題目可知，如果將曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為x29+y2=1，在a=-1的情況下，使得直線l的參數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為x+4y-3=0，再將兩個(gè)轉(zhuǎn)化后的方程聯(lián)立x-4y-3=0，x29+y2=1，將其求解可得x=3，y=0或者x=-2125，y=2425，這就說明曲線C和直線l相交于（3，0）和-2125，2425兩個(gè)點(diǎn).

（2）從題目可知，在第一個(gè)問題中已經(jīng)將直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程x+4y-a-4=0，這就可以將（3cos θ，sin θ）代入第二個(gè)問題中，可得與直線l的距離為d=|3cos θ+4sin θ-a-4|17.如果在a≥-4的情況下，可以得出最大距離為a+917，則a+917=17，這就可以得出a=8;如果在a<-4的情況下，可以得出最大距離為-a+117，則-a+117=17，這就可以得出a=-16.

結(jié)果分析 從該道圓錐曲線上點(diǎn)到直線的距離問題來看，主要考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)有界性的掌握情況，需要先將題目中的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為可以在直角坐標(biāo)系中顯示的普通方程，然后將曲線和直線兩個(gè)方程通過聯(lián)立求得交點(diǎn)的坐標(biāo)位置，然后利用橢圓參數(shù)方程推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式，最終通過三角函數(shù)的有界性推導(dǎo)出a的值.不過，雖然該部分在高中數(shù)學(xué)中屬于選修內(nèi)容，但是對(duì)訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的解題能力方面具有促進(jìn)作用.

6.中點(diǎn)弦問題

例6 （2018年高考全國(guó)文科數(shù)學(xué)Ⅲ卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的參數(shù)方程為x=cos θy=sin θ（θ為參數(shù)），過點(diǎn)（0，-2）且傾斜角為α的直線l與圓O相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.

（1）求α的取值范圍;

（2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

解析 （1）從題目可知，圓P的參數(shù)方程可以轉(zhuǎn)化為x2+y2=1，如果在α=π2的情況下，這時(shí)直線l與圓O會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，如果在α≠π2的情況下，可以讓tan α=k，使得直線l的方程轉(zhuǎn)變?yōu)閥=kx-2，將該方程代入圓O的方程，可得21+k2<1，這就可以得到k<-1或k>1兩個(gè)解，再從圖像中找尋其所包含的值域，分別為α∈π4，π2和α∈π2，3π4，由此可見，最終可以求得π4，3π4為α的取值范圍.

（2）從題目可知，直線l的參數(shù)方程為x=tcos αy=-2+tsin αt為參數(shù)，π4<α<3π4，假設(shè)A，B，P三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)tA，tB，tP，這就可以得到tP=tA+tB2，并且tA和tB符合t2-22tsin α+1=0的條件，這就可以得到tA+tB=22sin α，tp=2sin α，再從第二個(gè)問題的題目中可知，可以利用中點(diǎn)P的位置關(guān)系，將tA和tB代入可得x=tpcos α，y=-2+tpsin α，即軌跡方程為x=22sin 2αy=-22-22cos 2αα為參數(shù)，π4<α<3π4.

結(jié)果分析 從該道中點(diǎn)弦問題來看，主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用中點(diǎn)弦的求解方法，先將圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的二元方程，然后分別從α=π2和α≠π2的角度判斷交點(diǎn)的數(shù)量和位置，使得可以確保α值的范圍，然后需要充分利用題目中的已知條件，假設(shè)A，B，P三點(diǎn)，用于得出新的關(guān)系方程，再結(jié)合第一個(gè)問題就可以得出最終的軌跡方程.因此，該道題目的難度并不高，需要學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)換能力，從而可以提升學(xué)生對(duì)中點(diǎn)弦問題的解題能力.

三、結(jié)束語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教材中，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的內(nèi)容中，包含多種類型的數(shù)學(xué)題目，這就需要學(xué)生具備處理多種問題的解題能力.因此，高中數(shù)學(xué)教師需要在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生展開多種習(xí)題練習(xí)，不斷積累該部分知識(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)，這樣才能為提升解題能力打下基礎(chǔ).

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