妙用平面幾何知識解決解析幾何高考試題

摘?要：本文以若干高考解析幾何試題為例，探析平面幾何知識在解決問題中的應(yīng)用，以期更好地指導(dǎo)教學(xué)，達(dá)到舉一反三之效.

關(guān)鍵詞：解析幾何;平面幾何;復(fù)習(xí)備考

圓錐曲線屬于解析幾何的內(nèi)容，但在解決方法上往往過于強調(diào)“純代數(shù)”的解法即通過引進(jìn)坐標(biāo)系，建立點與坐標(biāo)、曲線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而用代數(shù)方法研究幾何問題.這些方法屬于通性通法，固然是必須重點講解和掌握的，但是它們的計算量偏大，因此，如何另辟蹊徑，減少運算量是我們在教學(xué)中必須認(rèn)真思考的問題.

由于學(xué)生在初中就已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的一些性質(zhì)，掌握了較為全面的平面幾何知識，具備了較好地應(yīng)用平面幾何解決問題的能力因此，在解決圓錐曲線的相關(guān)問題中，如果我們能夠抓住解析幾何問題的本質(zhì)特征“幾何性”，結(jié)合圓錐曲線的知識進(jìn)行求解，那么可以使問題的解決變得清爽簡明，自然簡約，收到事半功倍的效果.

類型1?三角形或梯形中位線的性質(zhì)

例1?（2019年浙江卷理科第15題）已知橢圓x29+y25=1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點在以原點O為圓心，OF為半徑的圓上，則直線PF的斜率是.

解析?如圖1，設(shè)橢圓的右焦點為F1，線段PF的中點為M，連接OM，PF1.

由已知有OF=OF1=OM=2，PF1=4.

由PF+PF1=2a可得PF=2

所以MF=1.

作OH⊥MF，則tan∠OFH=OHHF=15.

所以直線OF的斜率是 15.

評注?觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)OM是△FF1P的中位線，結(jié)合中位線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)，將直線PF的斜率轉(zhuǎn)化成tan∠OFH

類型2?等腰三角形的性質(zhì)或判定

例2?（2019年江蘇卷理科第17題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點為F1-1，0，F(xiàn)21，0過點F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：x-12+y2=4a2交于點A，與橢圓C交于點D連接AF1并延長交圓F2于點B，連接BF2交橢圓C于點E，連接DF1已知DF1=52（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）求點E的坐標(biāo).

解析?由（1）知橢圓方程為x24+y23=1

如圖2，連接EF1.由于BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB故∠B=∠BF1E.

又因為BF2=AF2，所以∠B=∠BAF2.

所以∠BF1E=∠BAF2.

所以EF1//AF2.

所以EF1⊥x軸所以點E-1，-32.

評注?充分挖掘圖形中隱含的幾何關(guān)系，緊扣△BF2A和△BEF1是等腰三角形，等量代換得到∠BF1E=∠BAF2，從而有EF1//AF2

類型3?圓的性質(zhì)

例3?（2019年全國Ⅰ卷文科第21題）已知點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，AB=4，圓M過點A，B且與直線x+2=0相切是否存在定點P，使得當(dāng)A運動時，MA-MP為定值？并說明理由.

解析?設(shè)Mx，y由已知有r=MA=x+2，AO=2，MO=x2+y2.

在Rt△MOA中，由MO2+AO2=AM2得|x+2|2=x2+y2+4.所以y2=4x.

故圓心M的軌跡是以F（1，0）為焦點，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.

所以|MA|-|MP|=|x+2|-|MP|=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1.

所以當(dāng)|MA|-|MP|為定值時，則點P與點F重合，即點P的坐標(biāo)為（1，0）.

所以存在定點P（1，0）使得當(dāng)A運動時，|MA|-|MP|為定值.

評注?問題解決的關(guān)鍵在于求出動圓圓心M的軌跡方程要抓住題目所給的幾何特征由題目條件可知A，B兩點是圓x2+y2=4直徑的兩個端點，是運動的.由于圓M經(jīng)過A，B，所以圓心M必定在線段AB的垂直平分線上又圓與直線x+2=0相切，所以動圓M必須滿足以下三個條件：（1）圓心在線段AB的垂直平分線上;（2）圓過點A，B;（3）圓與直線x=-2相切.

類型4?三角形內(nèi)角平分線定理

例4?（2013年山東高考理科第22題）橢圓C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為32，過點F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程;

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍

解析?（1）橢圓C方程為x24+y2=1.

（2）如圖3所示，在△PF1F2中，因為PM平分∠F1PF2，所以由三角形內(nèi)角平分線定理可得

PF1m+ 3=PF2 3-m=PF1+PF22 3=2 3.

解得PF1=2 3m+ 3.

又點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，所以a-c

即a-c<2 3m+ 3

解得m∈-32，32.

評注?抓住圖形特征，將幾何中的“內(nèi)角平分線定理”“合分比定理”“橢圓上的點到焦點

的距離范圍”巧妙地聯(lián)系起來.

類型5?正弦定理或余弦定理

例5?（2012年遼寧高考理科第20題）設(shè)橢圓C∶x2a2+y2b2=1 a>b>0的右焦點為F，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，AF=2FB求橢圓的離心率.

解析?設(shè)D為橢圓的左焦點

由已知有∠BFD=120°，∠AFD=60°，BC+BF=AD+AF=2a.

設(shè)BF=m，則AF=2m.

在△BFD中，由余弦定理有2a-m2=2c2+m2-2·2c·m·cos120°，解得m=2a2-c22a+c.

在△AFD中，由余弦定理有2a-2m2=2c2+2m2-2·2c·2m·cos60°，解得m=a2-c22a-c.

故2a2-c22a+c=a2-c22a-c.

解得e=23.

評注?本題巧妙地在兩個三角形中運用余弦定理，得到a和c的關(guān)系式，從而求出e整個解題過程避開了復(fù)雜的坐標(biāo)運算，聯(lián)立直線方程與橢圓方程等等，給人一種耳目一新，清新脫俗的感覺這就啟發(fā)我們，當(dāng)用常規(guī)解法比較難以入手時，不妨轉(zhuǎn)而觀察圖形的幾何特征，將幾何元素研究清楚，運用相關(guān)的幾何知識加以解決，這樣往往會有出其不意的效果.

類型6?三角形三邊長的關(guān)系

例6?（2012年四川高考理科第19題）已知橢圓x24+y23=1的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，當(dāng)△FAB的周長最大時，△FAB的面積是.

解析?設(shè)橢圓的右焦點為C，根據(jù)橢圓的定義有AF+AC=4，BF+BC=4，解得AF=4-AC，BF=4-BC

△FAB的周長c=AF+BF+AB=8+AB-AC+BC.

觀察圖形，有AC+BC≥AB，當(dāng)且僅當(dāng)直線x=m過右焦點C時取等號.

故c≤8，即△FAB的周長的最大值為8.

此時，A1，32，因此面積為3.

評注?本題用到幾何中“三角形的兩邊之和大于第三邊”這個重要結(jié)論整個過程沒有很復(fù)雜煩瑣的計算，但是卻處處洋溢著思維的火花 整個過程自然明了，大道至簡

類型7?綜合性問題

例7?（2017年全國Ⅰ卷第15題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點若∠MAN=60°，則C的離心率為.

解析?如圖6所示，作AP⊥MN交MN于點P，因為圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，則MN為雙曲線的漸近線y=bax上的點，且A（a，0）， |AM|=|AN|=b.

因為AP⊥MN，所以∠PAN=30°.

點A（a，0）到直線y=bax的距離|AP|=b 1+b2a2.

在Rt△PAN中，因為cos∠PAN=|PA||NA|，

所以a2=3b2.

所以a=3b.

由c2=a2+b2得c=2b.

所以e=ca=2b 3b=2 33.

本文列舉了幾何法在圓錐曲線一些高考試題中的應(yīng)用通過這些題目，我們看到了幾何問題變成高考試題的演變、創(chuàng)造過程也就是說，利用平面幾何解決高考問題已經(jīng)成為高考命題的一種趨勢而解決這類問題的關(guān)鍵在于認(rèn)真探究問題，觀察圖形結(jié)構(gòu)特征，從中獲取有用的幾何信息，結(jié)合學(xué)過的幾何定理、結(jié)論等等進(jìn)行求解這就要求我們在平時的解題中要善于觀察、勤于思考，并且及時調(diào)控思維，優(yōu)化思路教師需要在平常的教學(xué)中潛心滲透，讓學(xué)生去體悟，學(xué)會根據(jù)題目的特征，對問題進(jìn)行深入分析，找出“已知”和“所求”之間的聯(lián)系紐帶.

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇藝偉五環(huán)節(jié)教學(xué)，提升習(xí)題課品質(zhì)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2017（18）：22-26.

（收稿日期：2019-07-13）