基于嚙合剛度的機(jī)車牽引齒輪變形量研究分析

雷 蕾 ，丁海春 ，軒 亮

（1.大連交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.江漢大學(xué)機(jī)電與建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430056）

1 引言

近年來，我國高速鐵路技術(shù)取得長(zhǎng)足的發(fā)展。國務(wù)院常務(wù)會(huì)議審議并原則通過《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》，為機(jī)車產(chǎn)業(yè)的加速研發(fā)提供了一個(gè)巨大的契機(jī)。牽引齒輪作為機(jī)車傳動(dòng)裝置的核心組成部分，主要功能就是將牽引電動(dòng)機(jī)的輸出扭矩傳遞給輪對(duì)，使機(jī)車能夠正常安全運(yùn)行。故牽引齒輪嚙合的合理與否對(duì)機(jī)車振動(dòng)噪音以及安全運(yùn)行有很大的影響。目前齒輪的研制正朝著高速、重載的趨勢(shì)發(fā)展，但由于動(dòng)載荷等因素產(chǎn)生的影響卻成為這種趨勢(shì)的絆腳石，造成這些問題的主要原因還是在于嚙合誤差，引起嚙合誤差的影響因素主要有兩個(gè)方面：（1）齒輪的制造誤差；（2）齒輪接觸受載后產(chǎn)生的彎曲、接觸等變形。齒輪的制造誤差主要包括基節(jié)誤差和齒形誤差，但目前的工業(yè)生產(chǎn)中已經(jīng)有很高效的手段將其控制在許可范圍內(nèi)，然而對(duì)于齒輪變形量的計(jì)算，在齒輪傳動(dòng)過程中，齒輪受載情況比較復(fù)雜，計(jì)算也就比較復(fù)雜[1]，常用的齒輪變形量計(jì)算方法主要有數(shù)值計(jì)算法以及有限元法，有限元法雖然計(jì)算精度比較高，但不適合于參數(shù)化設(shè)計(jì)，將以一種比較便捷的方法即從嚙合剛度的角度出發(fā)計(jì)算牽引齒輪的變形量，為后續(xù)的齒廓修形打下基礎(chǔ)。

2 變形量計(jì)算的理論分析

2.1 嚙合剛度

齒輪綜合嚙合剛度的精確計(jì)算是進(jìn)行輪齒修形、動(dòng)態(tài)特性仿真、機(jī)械故障診斷及檢修以及齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要基礎(chǔ)和首要前提。在進(jìn)行齒輪修形時(shí)，嚙合剛度貫穿整個(gè)計(jì)算過程。一般情況下，齒輪的重合度都不為整數(shù)，在嚙合過程中同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)也是不斷變化的，并且隨時(shí)間呈周期性變化，這就導(dǎo)致齒輪輪齒從齒根到齒頂?shù)膹椥宰冃瘟刻幪幉煌?。與嚙合齒對(duì)數(shù)變化規(guī)律類似，輪齒彈性變形量也是隨時(shí)間變化的函數(shù)，同時(shí)也可以表征為載荷作用角的變化函數(shù)。

對(duì)于直齒圓柱齒輪，齒輪隨時(shí)間變化的嚙合齒對(duì)數(shù)與端面重合度εα有關(guān)。對(duì)于一個(gè)端面重合度為（1～2）之間的齒輪副，總可以將嚙合區(qū)域分為單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)，而在雙齒嚙合區(qū)，由于兩對(duì)齒同時(shí)嚙合，綜合剛度就是兩對(duì)齒的剛度之和。由于單、雙對(duì)齒的交替運(yùn)行，齒輪綜合嚙合剛度也是隨時(shí)間或載荷作用角變化的周期函數(shù)。圖中：B、D—單雙齒嚙合區(qū)的分界點(diǎn)；A、E—大、小齒輪的齒頂嚙合點(diǎn)；C—節(jié)點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 單、雙對(duì)齒嚙合區(qū)的邊界條件劃分Fig.1 Boundary Conditions of Single and Double Mating Regions

關(guān)于齒輪嚙合剛度的計(jì)算，目前主要有3類計(jì)算方法：材料力學(xué)法、彈性力學(xué)法以及數(shù)值解析法。但近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法越來越頻繁地被諸多專家學(xué)者應(yīng)用于齒輪動(dòng)力學(xué)研究中，從理論角度來看，材料力學(xué)法還是應(yīng)用最廣泛的一類方法，而其杰出代表：石川公式也廣泛的應(yīng)用于直齒輪嚙合剛度的計(jì)算中。

直齒輪的嚙合剛度可以根據(jù)石川公式求得，由于齒輪輪齒外形較為復(fù)雜，石川法就把它簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，也就是一個(gè)梯形加上矩形的模型組合，如圖2所示。從而解得輪齒各部分的變形。

齒輪輪齒變形主要包括當(dāng)量齒形中矩形部分和梯形部分中的彎曲變形、剪切變形、基體彈性傾斜產(chǎn)生的變形以及齒輪對(duì)接觸變形等，可以視為這些變形的綜合。矩形部分的彎曲變形用符號(hào)δwj表示，梯形部分的彎曲變形為δwt，接觸變形用δh表示，剪切變形為δS，基體彈性傾斜產(chǎn)生的變形為δG，總變形為δz，式中各變形量單位均為μm[2]。

圖2 石川算法模型Fig.2 Ishikawa Algorithm Model

矩形以及梯形部分的彎曲變形公式可以根據(jù)彎矩公式結(jié)合卡氏定理推導(dǎo)出[2]，如下：

式中：wm—齒寬方向的平均線載荷；v—泊松比；E—齒輪材料彈性模量；h—齒輪輪齒高度；hx—嚙合點(diǎn)高度，模型，如圖3所示。wx—載荷作用角，數(shù)學(xué)模型，如圖4所示?？梢愿鶕?jù)壓力角αx求得，具體公式如下：

剪切變形公式也可以以虛功原理為基礎(chǔ)推導(dǎo)得出：

圖3 嚙合點(diǎn)高計(jì)算Fig.3 Calculation of Meshing Point

圖4 載荷作用角計(jì)算模型Fig.4 Load Angle Calculation Model

對(duì)于齒輪的接觸變形，需要考慮到主、從動(dòng)齒輪接觸線處的曲率半徑，而曲率半徑可以根據(jù)Hertz公式求出。一對(duì)漸開線齒輪嚙合，其輪齒齒廓的接觸，可以看做是以兩齒廓在接觸點(diǎn)處的曲率半徑的兩圓柱體相接觸，如圖5所示。

假設(shè)接觸線寬度設(shè)為2s，ρ1，ρ2分別為主、從動(dòng)齒輪接觸線處的曲率半徑，由赫茲接觸理論可知：

由此可以推導(dǎo)出接觸變形的公式[2]：

圖5 赫茲接觸模型Fig.5 Hertz Contact Model

基體彈性傾斜產(chǎn)生的變形可以根據(jù)參考文獻(xiàn)[2]利用彎矩以及半無限彈性體平面彈性力學(xué)分析推導(dǎo)得出。

對(duì)于斜齒圓柱齒輪，它的輪齒嚙合過程是從輪齒的一端開始，然后逐漸擴(kuò)展到整個(gè)齒面，最后從齒輪的另一端完全退出嚙合，這種漸變的形態(tài)直接決定斜齒輪在n和n+1對(duì)齒嚙合交替不再是突變的，也決定斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律在本質(zhì)是與直齒輪有很大的差別，直齒輪在單雙齒交替嚙合時(shí)會(huì)出現(xiàn)階躍性變化，而斜齒輪則是圍繞某個(gè)值較小范圍地上下浮動(dòng)。由斜齒輪嚙合原理可知齒輪的單對(duì)齒有效接觸線長(zhǎng)度先增加，然后保持一段時(shí)間，最后逐漸降低到0，直至退出嚙合。

對(duì)斜齒輪嚙合剛度的求解方法國內(nèi)外專家學(xué)者也進(jìn)行了大量的研究，但由于斜齒輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，包括端面和法面的存在，目前沒有準(zhǔn)確、統(tǒng)一的計(jì)算公式或標(biāo)準(zhǔn)，主流的方法有2種：①先根據(jù)公式得到局部嚙合剛度，進(jìn)而通過離散點(diǎn)的求和得到最終的嚙合剛度曲線；②利用傅里葉級(jí)數(shù)的擬合。

局部嚙合剛度：

式中：fbj（ikS）—彎曲變形影響系數(shù)—高斯求積公式系數(shù)；fcj（ikS）—接觸變形影響系數(shù)；P（jkS）—第j對(duì)齒作用于嚙合位置S，作用在接觸線任意K點(diǎn)的力的大小。

單對(duì)齒嚙合剛度：

但參照斜齒輪嚙合剛度變化曲線可知，其曲線可以通過傅里葉級(jí)數(shù)擬合出來[3]。通常先計(jì)算出剛度的峰值以及平均值，再根據(jù)嚙合頻率將剛度曲線近似為周期函數(shù)，略去高階項(xiàng)即為擬合后的剛度曲線：

式中：km—平均剛度；kl—?jiǎng)偠确逯?；φj—對(duì)應(yīng)的相位角；wn—輪齒嚙合的圓周頻率，具體計(jì)算公式如下：

式中：n1—主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速；z1—主動(dòng)輪齒數(shù)。

2.2 齒間載荷分配

對(duì)于重合度在（1～2）之間的齒輪而言，嚙合過程始終處于單雙齒交替嚙合。在單齒嚙合區(qū)僅有一對(duì)齒參與嚙合，輪副傳遞的載荷由這對(duì)齒全部承擔(dān)，故不存在載荷的分配問題，而在雙齒嚙合區(qū)，載荷則由兩對(duì)齒共同承擔(dān)，齒間載荷分配問題可以利用動(dòng)力學(xué)等效為同時(shí)相并聯(lián)的兩根彈簧共同承擔(dān)載荷的分配問題[4]，因?yàn)檩嘄X嚙合剛度是時(shí)變的，故載荷分配系數(shù)也是時(shí)變的。載荷分配比例公式如下：

式中：φ1、φ2—雙齒嚙合區(qū)同時(shí)參與嚙合的齒對(duì)1和齒對(duì)2的載荷分配比例；k1、k2—嚙合齒對(duì)1和嚙合齒對(duì)2的綜合嚙合剛度；Δ1、Δ2—齒對(duì)1和齒對(duì)2的修形量大??；wm—齒寬方向平均單位線載荷。

根據(jù)牛頓第三定律作用力與反作用力可知，同一嚙合對(duì)中主、從動(dòng)齒輪承擔(dān)的載荷大小一樣。由于齒輪轉(zhuǎn)矩在功率和轉(zhuǎn)速都確定的情況下恒為定值，故總載荷大小保持不變，雙齒嚙合區(qū)同時(shí)嚙合的兩齒對(duì)也滿足力的協(xié)調(diào)方程：

3 案例分析

案例以SS8-Ⅱ型機(jī)車牽引齒輪為研究對(duì)象利用嚙合剛度求解高速重載機(jī)車牽引變位齒輪的變形量。機(jī)車單軸運(yùn)行功率為900KW，電動(dòng)機(jī)高速運(yùn)行轉(zhuǎn)速為1946r.min-1。SS8-Ⅱ型機(jī)車牽引齒輪的基本參數(shù)和部分幾何尺寸，表格中的單位均為mm，如表1所示。

表1 機(jī)車齒輪基本參數(shù)和部分幾何尺寸Tab.1 Basic Parameters and Some Geometric Dimensions of Locomotive Gear

由于SS8-Ⅱ型機(jī)車牽引齒輪為直齒輪，嚙合剛度可以根據(jù)石川公式求得，將齒輪雙齒嚙合區(qū)分為若干段，依次計(jì)算出每個(gè)嚙合點(diǎn)的剛度，實(shí)例將單齒嚙合區(qū)等分為20段，將雙齒嚙合區(qū)各等分為30段，在雙齒嚙合區(qū)，兩對(duì)齒輪同時(shí)嚙合，故綜合嚙合剛度為兩齒輪嚙合剛度之和。在單齒嚙合區(qū)，嚙合剛度可以看成單對(duì)齒剛度，圖6為齒輪嚙合剛度曲線。計(jì)算結(jié)果，如表2所示。

表2 各嚙合點(diǎn)上的嚙合剛度（單位為N/（mm·μm））Tab.2 The Meshing Stiffness at Each Engagement Point

圖6 各對(duì)齒嚙合剛度Fig.6 Meshing Stiffness of Each Pair of Teeth

由機(jī)車單軸運(yùn)行功率以及電機(jī)轉(zhuǎn)速可以求得齒輪所受法向力FN=25699.7N，由于主、從動(dòng)齒輪齒寬不相同，需要取兩者較小值作為工作齒寬帶入計(jì)算，單位齒寬平均線載荷為229.46N/mm。在單齒嚙合區(qū)，由于一對(duì)齒承擔(dān)全部載荷，故齒間載荷分配率為100%，在雙齒嚙合區(qū)，則需要根據(jù)兩對(duì)齒的嚙合剛度比得到載荷分配率，繼而求出主、從動(dòng)輪嚙入嚙出時(shí)的單位齒寬線載荷。SS8-Ⅱ型機(jī)車牽引主動(dòng)齒輪齒間載荷分配，如表3所示。示意圖，如圖7所示。

表3 主動(dòng)齒輪齒間載荷分配（單位為N/mm）Tab.3 Interdental Load Distribution on Driving Gear

圖7 主動(dòng)齒間載荷分配示意圖Fig.7 Diagram of Load Distribution on Driving Gear

李潤(rùn)方在《齒輪傳動(dòng)的剛度分析和修形方法》一書中著道：在雙齒嚙合區(qū)，每對(duì)齒輪各自承擔(dān)一部分載荷，齒間載荷分配涉及到時(shí)變嚙合剛度以及誤差等因素，考慮到接觸、彎曲、剪切以及基體傾斜所引起的變形，其載荷分配大致按照40%～60%～100%～60%～40%的值變化[5]。本實(shí)例的趨勢(shì)變化為43.13%～61.6%～100%～56.87%～38.4%，大致上與李潤(rùn)方推導(dǎo)出的齒間載荷分配一致。

若對(duì)主、從動(dòng)齒輪同時(shí)修形，還需同時(shí)計(jì)算主、從動(dòng)齒輪單齒剛度。主從動(dòng)齒輪的輪齒剛度也可以根據(jù)石川公式求得。由計(jì)算結(jié)果可知，主動(dòng)齒輪單齒嚙合剛度隨嚙合點(diǎn)位置高度的增大而減小，而從動(dòng)齒輪單齒嚙合剛度隨嚙合點(diǎn)位置高度的增大而增大。主動(dòng)齒輪的單齒對(duì)剛度，如表4所示。其示意圖，如圖8所示。

表4 主動(dòng)齒輪的輪齒剛度（N/（mm·μm））Tab.4 Gear Stiffness of Driving Gear（N/（mm·μm））

圖8 主從動(dòng)齒輪的輪齒剛度示意圖Fig.8 Diagram of Stiffness on Drivingand Driven Gear

根據(jù)上面求得的齒間載荷分配以及主從動(dòng)齒輪的輪齒剛度可知主從動(dòng)齒輪的變形量，主動(dòng)輪變形量，如表5所示。從動(dòng)輪變形量也可以根據(jù)此方法求出。主從動(dòng)齒輪變形量示意圖，如圖9所示。

表5 主動(dòng)輪變形量（μm）Tab.5 The Deformation of Driving Gear（μm）

圖9 主從動(dòng)齒輪變形量示意圖Fig.9 Diagram of the Deformation on Drivingand Driven Gear

由表格數(shù)據(jù)及示意圖可知：主動(dòng)齒輪變形量隨嚙合點(diǎn)高度呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，但在單齒嚙合區(qū)過渡到雙齒嚙合區(qū)及在雙齒嚙合區(qū)過渡到單齒嚙合區(qū)時(shí)會(huì)出現(xiàn)突變，主要原因是由于在單齒嚙合區(qū)時(shí)只有一對(duì)輪齒承擔(dān)全部載荷，而在雙齒嚙合區(qū)只承擔(dān)部分載荷，但在齒對(duì)整個(gè)嚙合過程中剛度變化比較平滑，沒有出現(xiàn)突變。從動(dòng)齒輪的變形量則與主動(dòng)齒輪變化趨勢(shì)相反。

4 結(jié)論

（1）基于時(shí)變嚙合剛度計(jì)算得到的齒間載荷分配與已有根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式及大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所得的曲線圖大致一致，從間接驗(yàn)證在雙齒嚙合區(qū)利用綜合嚙合剛度之比確定齒間載荷分配的方法可行。

（2）數(shù)據(jù)表明齒間載荷分配在單齒嚙合區(qū)過渡到雙齒嚙合區(qū)及在雙齒嚙合區(qū)過渡到單齒嚙合區(qū)時(shí)會(huì)出現(xiàn)突變，單齒嚙合剛度隨嚙合點(diǎn)位置變化比較平滑，總體來說，主動(dòng)齒輪變形量隨嚙合點(diǎn)高度呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，但在過渡區(qū)也會(huì)出現(xiàn)階躍性突變，從動(dòng)齒輪則與之相反。

（3）實(shí)例結(jié)果表明：從嚙合剛度的角度出發(fā)計(jì)算牽引齒輪的變形量可以很好地應(yīng)用于變位牽引齒輪，而且非常方便進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)。