如何在高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

許德福

[摘 ?要] 例題教學(xué)的視角下進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)是高效的. 文章闡述了例題教學(xué)視角下，通過一題多解、正難則反、設(shè)置開放題、一題多變以及題后反思等方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的逆向性、深刻性、求異性、發(fā)散性以及嚴(yán)謹(jǐn)性.

[關(guān)鍵詞] 例題教學(xué);解題;逆向性;深刻性;發(fā)散性;嚴(yán)謹(jǐn)性

思維品質(zhì)，也就是思維的智力品質(zhì)，它是通過思維的活動(dòng)所展現(xiàn)出來的一種個(gè)體差異性，從而不同的人具有不同的思維特征.楊清教授曾在《心理學(xué)概論》中闡明思維品質(zhì)的培養(yǎng)是發(fā)展思維的重要手段. 因此，教師在教學(xué)中，尤其是數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，需努力培養(yǎng)學(xué)生好的思維品質(zhì)，它不僅僅是學(xué)生智力發(fā)展的突破口，也是提升教學(xué)質(zhì)量的有效途徑，更是當(dāng)下改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方法中需引起極度重視的問題.

那么，如何在優(yōu)化例題和設(shè)計(jì)例題教學(xué)過程的頂層設(shè)計(jì)之下，積極探索思維品質(zhì)在課堂落地的方法和路徑，設(shè)計(jì)出一些思維品質(zhì)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)例題教學(xué)案例，并通過合理的教學(xué)策略實(shí)施教學(xué)過程，是每一位數(shù)學(xué)教師需思考和實(shí)踐的課題. 本文試圖以例題教學(xué)為媒介，在培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新精神方面進(jìn)行闡述，通過數(shù)學(xué)實(shí)踐實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的培養(yǎng).

從“一題多解”中培養(yǎng)求異思維

在例題教學(xué)中，教師需從學(xué)生的實(shí)際和題目本身的特點(diǎn)出發(fā)，實(shí)施一題多解的訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多方位去思考，運(yùn)用自己擅長(zhǎng)的方法去解答，并敢于求“異”，實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)之間的有效溝通，讓學(xué)生在訓(xùn)練中積極思考，從而有效克服學(xué)生思維狹隘性的特征，達(dá)到培養(yǎng)思維的求異性和創(chuàng)造力的目的[1].

例1：已知橢圓 + =1上有一動(dòng)點(diǎn)P，試求出該動(dòng)點(diǎn)P到其中一焦點(diǎn)F距離的取值范圍.

學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考和自主探究，呈現(xiàn)了以下多種解法的精彩場(chǎng)面：

解1：若設(shè)點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，則有F（1，0）. 設(shè)P（2cosθ， sinθ），則有PF = ?=2-cosθ.

因?yàn)閏osθ∈[-1，1]，所以PF=2-cosθ∈[1，3].

解2：若設(shè)P（x，y），據(jù)F（1，0），可得PF= = = .

因?yàn)閤∈[-2，2]，所以PF∈[1，3].

解3：設(shè)F′為左焦點(diǎn)，則有FF′=2，那么△PFF′中，則有PF′-PF≤FF′. 因?yàn)镻F′+PF=4，所以4-2PF≤2，1≤PF≤3.

解4：過點(diǎn)P作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，P′為垂足，因?yàn)?= = ，

所以PP′=2PF. 又因?yàn)?-a≤PP′≤ +a，所以2≤PP′≤6，

所以2≤2PF≤6，1≤PF≤3.

本例題中將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融匯于一道題目之中，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)定義出發(fā)，深化知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，大大拓寬學(xué)生的思維空間，從而達(dá)到殊途同歸的效果，在提升應(yīng)變能力的同時(shí)，發(fā)展思維的求異性.

從“正難則反”中培養(yǎng)逆向思維

實(shí)踐證明，思維的發(fā)展是整體推進(jìn)的，逆向思維與正向思維、發(fā)散思維總是交織存在的. 這就要求在例題教學(xué)中，如果有些題型正面入手較為困難，則可從其反面進(jìn)行思考，借助“正難則反”的思維策略，進(jìn)一步探究出解決問題的路徑，促進(jìn)逆向思維的發(fā)展.逆向思維作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)綜合能力，可以有效克服定向思維的保守性，開拓新的知識(shí)領(lǐng)域，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣[2].

例2：已知x，y>0，且有x3+y3=2，求證：x+y≤2.

解：假設(shè)x+y>2，那么x>2-y.

不等式兩邊立方后，可得x3>8-12y+6y2-y3，即x3+y3>8-12y+6y2.

因?yàn)閤3+y3=2，所以8-12y+6y2<2，即6（y-1）2<0，

以上不等式顯然不成立，因此假設(shè)不成立，由此可得x+y≤2.

數(shù)學(xué)解題中對(duì)某些問題有意識(shí)地運(yùn)用反證法，不僅豐富了不等式求解的方法，優(yōu)化了求解過程，還可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，引領(lǐng)學(xué)生突破定向思維的束縛，對(duì)提高高中生的創(chuàng)造性思維和逆向思維能力有著十分重要的意義.

從“開發(fā)題”中培養(yǎng)發(fā)散思維

所謂的“思維的發(fā)散性”，顧名思義就是從眾多知識(shí)領(lǐng)域和知識(shí)點(diǎn)著手去解決問題，是開闊性和全面性思維品質(zhì)的體現(xiàn). 高中生由于受年齡特征影響，往往容易受思維定式的負(fù)面效應(yīng)影響，在解題時(shí)易墨守成規(guī)，思維不易發(fā)散. 這就要求教師在例題教學(xué)時(shí)需順應(yīng)高考新動(dòng)向的需求，領(lǐng)悟新課程改革的理念，合理編制開放型例題，以數(shù)學(xué)例題這一載體而放飛、發(fā)展和升華學(xué)生的發(fā)散思維.

例3：已知⊙M過A（1，0），B（3，2）兩點(diǎn)，________（請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件），試求出⊙M的方程.

依據(jù)“兩點(diǎn)無(wú)法確定一圓”，所以這里條件的增添是必不可少的. 學(xué)生親歷思考、探究和討論，補(bǔ)充的條件主要有：①還經(jīng)過點(diǎn)……;②⊙M的半徑長(zhǎng)度為……;③圓心M在直線…….

這一例題的設(shè)置真可謂獨(dú)具匠心，條件的開放可以啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)提問和善于思考，培養(yǎng)發(fā)散思維;而要求解這一問題，還可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，達(dá)到培養(yǎng)思維嚴(yán)密性的效果. 例如，在添加點(diǎn)的時(shí)候，直線AB：x-y-1=0必須除外;在設(shè)置半徑長(zhǎng)度時(shí)，半徑需不小于 ;在設(shè)置圓心M所在的直線時(shí)，斜率不可以是-1，且圓心M在直線x+y-3=0上除外.

從“一題多變”中培養(yǎng)深刻思維

思維的深刻性表現(xiàn)為可以透過表象以及外因，揭示事物本質(zhì)從而進(jìn)一步深入思考問題，它是所有思維品質(zhì)的基石，其發(fā)展程度對(duì)思維品質(zhì)的其他方面有著極其重要的影響.若說數(shù)學(xué)是“思維的體操”，那顯然變式教學(xué)就是培養(yǎng)“體操選手”的搖籃. 因此，我們需靈活運(yùn)用好一題多變的教學(xué)方法，讓學(xué)生的思維高度興奮，從而提升思維的深刻性.

例4：已知數(shù)列{an}，有a1=1，an+1=an+1，試求出它的通項(xiàng)公式.

本例題的求解過程較為簡(jiǎn)單，而根本價(jià)值是可以通過對(duì)題目的引申擴(kuò)展和變換條件，使之更具有探究性.在保證條件a1=1不變的基礎(chǔ)上，去變更遞推關(guān)系式，從而形成探求an的變式問題.

變式1：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=an+n;

變式2：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=an+2n-1;

變式3：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=2an+1;

變式4：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=2an-3n;

變式5：將條件中an+1=an+1變?yōu)?= +1;

變式6：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1= ;

變式7：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1= an;

變式8：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=ca （c>0）.

通過對(duì)例4的變式，讓題目更富有內(nèi)涵，深化了已學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生在親歷思考、解題、歸納、提煉和反思后，達(dá)到學(xué)一題通一類的效果，有效防范了學(xué)生思維的表面性和絕對(duì)性，對(duì)思維深刻性的提升大有裨益.

從“題后反思”中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維

在教學(xué)中，學(xué)生解題能力和思維嚴(yán)謹(jǐn)性的提升與良好的審題習(xí)慣是分不開的，也少不了條理性的解題方法和解題步驟的參與，更離不開解題后的反思.由于受高中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平制約，主要表現(xiàn)于對(duì)知識(shí)的不求甚解和不善反思，故教師需引導(dǎo)學(xué)生在題后思考：解題的思路是否嚴(yán)密，可否存在漏洞？命題者有何意圖？此題中考查的知識(shí)點(diǎn)是什么？本題的解法僅此一種嗎？解決這類題型的通法是什么？……通過這一系列問題的反思，進(jìn)行有的放矢地精解和拓寬，可以使思維具有嚴(yán)謹(jǐn)性和概括性.

例5：已知△ABC中，sinA= ，cosB= ，試求出cosC的值.

此為一道課本習(xí)題，學(xué)生的一般解題思路如下：

因?yàn)?

①當(dāng)cosA= 時(shí)，cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB= × - × =- ;

②當(dāng)cosA=- 時(shí)，cosC=-cos（A+B） =sinAsinB-cosAcosB= × -- × = ，綜上所述，cosC=- 或 .

上述求解過程中映射出學(xué)生思維嚴(yán)密性的缺失. 在分析此題時(shí)，學(xué)生需進(jìn)行如下題后反思：①對(duì)cosA是正值或是負(fù)值產(chǎn)生影響的主要因素是什么？②從題設(shè)出發(fā)，是否可以確定∠A是銳角還是鈍角？學(xué)生通過反思易知sinB>sinA，而∠A和∠B均為三角形的內(nèi)角，可得∠B>∠A，即∠A也為銳角，由此可得cosA= . 題后反思可以幫助學(xué)生驗(yàn)證解題的合理性、嚴(yán)密性和正確性，還可以發(fā)展學(xué)生的橫向和縱向思維，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更富有創(chuàng)造性，使自身的解題能力更勝一籌.

總之，學(xué)生思維品質(zhì)的提升不是一蹴而就的. 我們廣大數(shù)學(xué)教師所期望的數(shù)學(xué)學(xué)科育人和思維提升，其實(shí)已經(jīng)融合在以上解題教學(xué)的探究過程中. 我們?nèi)裟芎侠磉\(yùn)用多種教學(xué)策略，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法、注重?cái)?shù)學(xué)探究活動(dòng)，那么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生思維的逆向性、深刻性、求異性、發(fā)散性以及嚴(yán)謹(jǐn)性，或許就可以逐漸形成[3].

參考文獻(xiàn)：

[1] ?羅增儒. 中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] ?杜四趁，武瑞雪. 在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2017（18）.

[3] ?劉東生. 在例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1991（06）.