任金霞， 蔣夢倩， 黃藝培

（江西理工大學電氣工程與自動化學院，江西 贛州341000）

0 引 言

近年來隨著工業(yè)發(fā)展以及計算機水平的提高，在很多領(lǐng)域中都開始運用分數(shù)階微積分學理論，基于分數(shù)階微積分的控制理論和應用分析越來越受到專家學者們的關(guān)注[1]。PIλDμ控制器相比傳統(tǒng)整數(shù)階控制器更具有靈活性，使得控制系統(tǒng)的控制效果更加理想，但分數(shù)階控制器也在整定參數(shù)方面帶來了難題。 近年來，大量學者在原有參數(shù)整定方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合先進控制技術(shù)以及優(yōu)化算法設(shè)計分數(shù)階控制器，如文獻[2]基于改進的Oustaloup 方法,采用改進式遺傳算法對控制參數(shù)進行整定；文獻[3]使用改進的粒子群優(yōu)化算法，對分數(shù)階PID 控制器的參數(shù)進行離線優(yōu)化；文獻[4]采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法， 對分數(shù)階PID 控制器的積分階次和微分階次實時在線自整定；文獻[5]通過模糊控制和免疫調(diào)節(jié)結(jié)合完成分數(shù)階控制器的參數(shù)整定；文獻[6]將滑模理論與分數(shù)階理論相結(jié)合設(shè)計分數(shù)階滑?？刂破?。研究實驗表明，分數(shù)階控制器具有很好的控制性能。

由于控制系統(tǒng)常常呈現(xiàn)高階特性，若直接對高階系統(tǒng)設(shè)計控制器工作量大， 實現(xiàn)難度系數(shù)高，其控制效果也不佳，因此通常需要先對模型進行降階簡化處理。 文獻[7-8]針對高階系統(tǒng)采用了不同的降階方法得到降階模型，逼近效果也高度近似。 內(nèi)?？刂品椒ň哂性O(shè)計直觀、調(diào)節(jié)參數(shù)少、以及對模型要求精度低、抗干擾能力強等特點。 利用模型降階降低復雜度，然后再將內(nèi)模控制參數(shù)調(diào)節(jié)少等優(yōu)點考慮到分數(shù)階控制中，可減少控制器設(shè)計和參數(shù)整定的復雜問題，也能提高系統(tǒng)的控制性能。

文中采用混合粒子群優(yōu)化算法對原高階模型進行降階處理， 然后在內(nèi)?？刂圃淼幕A(chǔ)上，完成分數(shù)階內(nèi)模控制器的設(shè)計，依據(jù)最大靈敏度法實現(xiàn)控制器的參數(shù)整定，最后通過仿真實例驗證了方法的可行性，提高了對象的控制效果。

1 分數(shù)階PID 控制器

分數(shù)階微積分定義是由整數(shù)階微積分定義發(fā)展而來，通常表示分數(shù)階微積分的基本算子，連續(xù)的微積分算子常用表達式如下：

有關(guān)分數(shù)階微積分的定義有以下3 種定義：R-L 定義、G-L 定義和Caputo 定義。 其中G-L 定義應用比較廣泛，其表達式如下：

其中，[x]表示的整數(shù)部分；h 為計算步長。

一般分數(shù)階控制器的傳遞函數(shù)如下：

其中，λ、μ 分別為控制器的積分和微分階次。 從式中可看出整數(shù)階控制器[9]是分數(shù)階PIλDμ控制器積分和微分階次均取值為1 時的特殊形式。典型的單位負反饋分數(shù)階閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 分數(shù)階控制器結(jié)構(gòu)

2 基于混合粒子群算法的模型降階

在模型降階過程中，文中采用新型延遲分數(shù)階模型，其近似模型如下：

其中，K 為增益；λ 為延遲系數(shù)；T 為時間常數(shù)；β 為任意實數(shù)，表示分數(shù)階的系統(tǒng)階次。

粒子群優(yōu)化算法[10]主要特點是原理簡單、參數(shù)少、較強的魯棒性，已在多個領(lǐng)域得到了廣泛的應用，但標準粒子群算法易陷入局部極小值。 本文采用混合粒子群算法對原復雜模型進行降階，利用粒子群算法與遺傳算法的思想[11-12]相結(jié)合，在粒子群算法中加入遺傳算法中的交叉和變異步驟，讓粒子實現(xiàn)交叉以及自身變異后尋找最優(yōu)解，這樣既避免粒子群算法陷入局部最優(yōu)解同時又確保了收斂精度。 其混合算法流程表述如下：

1）選取適應度函數(shù)。適應度函數(shù)為原系統(tǒng)模型和降階模型的單位階躍響應誤差：

其中，n 為搜索次數(shù)；y（t）和ym（t）分別為原系統(tǒng)模型和降階模型。

2）確定搜索向量。模型搜索向量為θ=[K，λ，T，β]。

3）算法初始化。 隨機產(chǎn)生粒子種群數(shù)M 值、迭代次數(shù)N 值、 學習因子c1和c2數(shù)值、 粒子的位置xid和速度vid值，另外采用實數(shù)編碼方式。本文選取M=30，N=50，c1=c2=1.5。

4）根據(jù)適應度函數(shù)計算各粒子的適應度值，比較得出初始全局最優(yōu)粒子。

5）更新粒子自身速度與位置。將其適應度分別與所經(jīng)歷的歷史最佳值以及當前種群中最佳值進行比較，若優(yōu)于它們，將其作為當前的最優(yōu)位置進行替換。 其中速度更新和位置更新方程如下：

其中，pid和pgd分別為粒子當前所經(jīng)歷的最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置；r1和r2為[0，1]中均勻分布的隨機數(shù)；ω 為慣性因子。 其慣性因子的計算公式如下：

其中，t 為當前迭代步數(shù)；tl為迭代最大步數(shù)。 本文選取ωl=0.9，ωd=0.4。

6）判斷是否滿足截止條件（足夠好的解或最大迭代次數(shù)）。若沒有，則跳到第（7）步執(zhí)行，否則算法結(jié)束，輸出最優(yōu)結(jié)果。

7）利用整數(shù)交叉方式，新粒子是歷史粒子同個體極值以及群體極值交叉而得到，個體內(nèi)部采用互換方式對自身進行變異操作。 然后繼續(xù)執(zhí)行步驟（5）。

8）如果達到要求，退出；反之，繼續(xù)執(zhí)行步驟（7）。

3 基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階控制器設(shè)計

利用內(nèi)?？刂频乃枷耄簩⒛Ｐ团c實際控制對象并聯(lián)，然后控制器逼近模型的逆，其思想完全滿足閉環(huán)系統(tǒng)的性能。 內(nèi)?？刂频幕窘Y(jié)構(gòu)如圖2 所示，R（s）是設(shè)定值，Y（s）是系統(tǒng)的輸出，D（s）是外來擾動，G（s）和M（s）分別是被控對象模型和等效被控對象模型，CM（s）是內(nèi)模控制器。其等效內(nèi)?？刂品答伩驁D如圖3 所示。

圖2 內(nèi)?？刂瓶驁D

圖3 內(nèi)?？刂频刃Х答?/p>

在傳統(tǒng)反饋控制中，反饋控制器Cc（s）由內(nèi)模結(jié)構(gòu)中CM（s）與M（s）結(jié)合而成：

內(nèi)?？刂浦?，將過程模型可分解為可逆M-（s）部分，不可逆M+（s）部分。 另外采用一階泰勒級數(shù)逼近時滯環(huán)節(jié)可得：

新型延遲分數(shù)階模型分解如下：

而內(nèi)模控制器的傳遞函數(shù)表達式如下：

其中，f（s）是低通濾波器，其表達式如下：

其中，θ 為濾波器可變參數(shù)， 也是內(nèi)?？刂浦形ㄒ豢烧{(diào)參數(shù)。

由以上的推理過程以及根據(jù)內(nèi)?？刂圃砜傻眯滦脱舆t分數(shù)階反饋控制器的表達式：

4 分數(shù)階PIλDμ 控制器參數(shù)整定

文中采用靈敏度法作為分析性能指標，靈敏度越小，系統(tǒng)跟蹤誤差也越小，對應的魯棒穩(wěn)定性也越好。 其定義式如下：

其中，Gk（s）表示系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；Ms一般取值為[1.2，2.0]。

由式（1）和式（2）得系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)：

其中，Kk為開環(huán)增益，其形式表示如下：

文獻[13]給出了開環(huán)增益Kk與Ms的關(guān)系式：

聯(lián)立式（3）和式（4），由此可得內(nèi)?？刂破鲄?shù)θ 值的整定方法：

以上可知，由于前期工作已經(jīng)把高階系統(tǒng)降階為低階系統(tǒng)，針對低階系統(tǒng)基于內(nèi)?？刂圃碓O(shè)計的控制器此時只含有一個未知參數(shù)θ，再根據(jù)靈敏度指標Ms的取值范圍確定控制器的唯一可調(diào)參數(shù)θ，既避免了參數(shù)選擇的盲目性也提高工作效率。

5 仿真分析

例1 取高階分數(shù)階系統(tǒng)模型：

利用2 節(jié)的混合粒子群算法對其進行降階處理，降階后的模型如下：

為了進一步地驗證本文降階模型的優(yōu)越性，分別取文獻[12]和文獻[13]降階模型進行仿真對比。其中文獻[12]的降階模型為：

文獻[13]的降階模型為：

對模型（6）和降階模型（7）、（8）、（9）進行階躍響應仿真，如圖4 所示。 從圖4 中可知本文的降階模型較好地逼近了原高階系統(tǒng)模型，且其平方誤差積分性能指標JISE的值為0.0058， 很好地證實了本文針對高階系統(tǒng)所采用降階方法的有效性和可行性。

圖4 原模型與降階模型階躍響應曲線對比

根據(jù)靈敏度指標特性， 文中選取最大靈敏度Ms＝1．2，由式（2）、式（5）、式（7）可得分數(shù)階內(nèi)模PID控制器為：

文獻[12]設(shè)計的控制器為：

文獻[13]設(shè)計的控制器為：

采用本文方法和文獻[12]、文獻[13]方法得系統(tǒng)的單位階躍響應如圖5 所示。 從圖5 中可看出，本文設(shè)計的分數(shù)階內(nèi)模PID 控制器能使系統(tǒng)獲得更好的跟蹤特性，超調(diào)量較小，調(diào)節(jié)時間少，更好地體現(xiàn)了動態(tài)特性。 當t=20 s 時，設(shè)置+0.15 的階躍輸入擾動，即d（t）=+0.15（t-20）。 可看出本文方法能更好地抑制干擾。

圖5 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線對比

在驗證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性上， 改變系統(tǒng)的參數(shù)，即傳遞函數(shù)如下：

其單位階躍響應曲線如圖6 所示，從圖6 中可看出，當參數(shù)發(fā)生變化時，本文設(shè)計的控制器具有更好的魯棒性。

圖6 系統(tǒng)參數(shù)攝動時單位階躍響應曲線對比

例2 取高階整數(shù)階系統(tǒng)模型：

對其進行降階處理，降階后的模型如下：

取文獻[14]和文獻[15]降階模型進行仿真對比，其中文獻[14]的降階模型為：

文獻[15]的降階模型為：

對模型（10）和降階模型（11）、（12）、（13）進行階躍響應仿真，如圖7 所示。 從圖7 中可知本文的降階模型較好地逼近了原高階系統(tǒng)模型，且其平方誤差積分性能指標JISE的值為0.0112 ，很好地證實了本文針對高階系統(tǒng)所采用降階方法的有效性和可行性。

圖7 原模型與降階模型階躍響應曲線對比

根據(jù)靈敏度方法特性，選擇最大靈敏度Ms＝1．2，由式（2）、式（5）、式（11）可得分數(shù)階內(nèi)模PID 控制器為：

文獻[14]設(shè)計的控制器為：

文獻[15]設(shè)計的控制器為：

采用本文方法和文獻[14]、文獻[15]方法得系統(tǒng)的單位階躍響應如圖8 所示。 從圖8 中可看出，本文設(shè)計的分數(shù)階內(nèi)模PID 控制器能使系統(tǒng)獲得更好的跟蹤特性，而且超調(diào)較小，調(diào)節(jié)時間少，更好地體現(xiàn)了動態(tài)特性。 當t=300 s 時，設(shè)置+0.3 的階躍輸入擾動，即d（t）=+0.3（t-300）。 可看出本文方法能更好地抑制干擾。

圖8 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線對比

在驗證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性上， 改變系統(tǒng)的參數(shù)，即傳遞函數(shù)如下：

其單位階躍響應曲線如圖9 所示，從圖9 中可看出，當參數(shù)發(fā)生變化時，本文設(shè)計的控制器具有更好的魯棒性。

圖9 系統(tǒng)參數(shù)攝動時單位階躍響應曲線對比

6 結(jié) 論

文中針對高階次復雜控制系統(tǒng)在設(shè)計控制器中存在模型降階、參數(shù)整定復雜等問題，提出了一種新型分數(shù)階系統(tǒng)降階模型，仿真結(jié)果顯示新型降階模型很好地逼近了原系統(tǒng)模型，證實了新型降階模型的可行性。 在此基礎(chǔ)上，根據(jù)內(nèi)?？刂扑枷朐O(shè)計了分數(shù)階內(nèi)?？刂破?，然后依據(jù)最大靈敏度指標完成對控制器的參數(shù)整定問題。 最后仿真實驗證明，本文設(shè)計的分數(shù)階內(nèi)?？刂破骱唵我仔?、參數(shù)整定方便，可使復雜高階次控制系統(tǒng)具有良好的性能指標，同時也保證了較強的魯棒穩(wěn)定性，具有較好的優(yōu)越性。