對一道三棱錐外接球高考題的解法探究

江西教育傳媒集團 (330038) 周瑜芽

棱錐的外接球問題，特別是三棱錐的外接球問題，是高中各類考試中的常見題型，此類題型主要考查三棱錐外接球的體積或表面積的求解.解決這類題的關鍵在于求出三棱錐外接球的半徑，即找到球心所在的位置.筆者下面以一道2019年全國高考試題為例，探究三棱錐外接球問題的解法，供大家參考.

一、題目 (2019年高考新課標Ⅰ卷理)

已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為().

二、解法探究

法1：補形法

如果三棱錐其中一個側面與底面垂直，還原不到特殊圖形中去，可以想到利用補形成為直棱柱，利用棱柱的性質(zhì)進行解題.常見的補形方法有：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐，可將三棱錐補形成長方體或正方體；同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐，可將三棱錐補形成長方體或正方體；若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補形成長方體或正方體；若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補形成長方體或正方體.

圖1

解析：如圖1，設PA=PB=PC=2x，在ΔPAC中，由余弦定理知cosA=

點評：方法1是用余弦定理求得CE的長，通過勾股定理發(fā)現(xiàn)了共頂點的三條棱相互垂直，從而構造了正方體，這樣求外接球的表面積或體積更簡捷.

法2:截面法

解決與球有關的“切”“接”問題，一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面，把空間問題轉化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系.利用長方體、三棱錐的性質(zhì)、三棱錐底面外心或側面外心、過三棱錐的底面上一邊作對棱的截面，則可簡化運算，巧妙探索外接球球心或半徑.

圖2

點評：方法2主要抓住PA=PB=PC的對稱幾何特征，選擇Rt△APO1所在平面為截面進行降維處理，利用Rt△PAQ這個特殊平面圖形結合射影定理求得球的半徑R，進而求球的體積.

三、試題鏈接

4．(2019·湖南長沙市實驗中學高三月考)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球的球面上，則球O的表面積為( ).

A．8πB．12πC．20πD．24π

(參考答案：1.D;2.B;3.C;4.C)