蔡中義， 李 麗， 孫麗榮， 孟凡響

(1.吉林大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130025; 2.吉林大學(xué) 輥鍛工藝研究所， 吉林 長(zhǎng)春 130025)

輕量化是當(dāng)前汽車及航天領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.鋁合金作為輕合金材料具有比重較小、強(qiáng)度高、抗腐蝕等特性倍受青睞[1-2].在板料塑性成形性能評(píng)價(jià)方法中，成形極限圖最為直觀且應(yīng)用廣泛，因而準(zhǔn)確預(yù)測(cè)成形極限已經(jīng)成為工程中備受關(guān)注的問題[3-4].目前，應(yīng)用最為廣泛的是由Marciniak和Kuczynski[5-6]提出的一種板料不均勻性損傷失穩(wěn)理論，即Marciniak-Kuczynski (M-K) 理論.其核心是結(jié)合不同形式的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和屈服準(zhǔn)則計(jì)算板料的極限應(yīng)變.因此，獲得準(zhǔn)確的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是實(shí)現(xiàn)精確預(yù)測(cè)板料成形極限的前提.在板料成形極限研究中，最常用的應(yīng)力-應(yīng)變曲線模型是冪指數(shù)應(yīng)變硬化模型，該模型通過擬合其單向拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得材料的近似應(yīng)力-應(yīng)變曲線，但不能嚴(yán)格反映材料的實(shí)際情況，影響了成形極限的預(yù)測(cè)結(jié)果.

杜平梅等[7]將常溫和高溫兩種冪指數(shù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系引入到M-K模型中，研究了溫度對(duì)成形極限的影響，所預(yù)測(cè)的理論成形極限圖與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在10%左右的誤差；Abedrabbo等[8]采用改進(jìn)的冪次硬化模型來描述溫成形中鋁合金板的硬化行為，但其理論成形極限計(jì)算未給出實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證； Li等[9]建立了考慮應(yīng)變速率和溫度的冪指數(shù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，預(yù)測(cè)了Ti-6Al-4V合金板材正應(yīng)變路徑下的成形極限曲線，但缺乏對(duì)負(fù)應(yīng)變路徑下成形極限的預(yù)測(cè)；初冠南等[10]提出了基于二次多項(xiàng)式描述鋁合金拼焊板應(yīng)力-應(yīng)變曲線的成形極限理論模型，并與冪指數(shù)應(yīng)變硬化模型進(jìn)行了對(duì)比分析.

雖然擬合的應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程形式簡(jiǎn)單，便于迭代計(jì)算，但與應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)仍存在一定的偏差，對(duì)板料成形極限的預(yù)測(cè)造成影響.基于上述的問題，本文研究了應(yīng)力-應(yīng)變曲線形式對(duì)板料成形極限的影響，分別采用應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)、冪指數(shù)以及多項(xiàng)式擬合曲線三種形式的模型對(duì)6016-T4和7075-T6鋁合金板料的成形極限預(yù)測(cè)進(jìn)行了較為詳細(xì)的理論推導(dǎo)、數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1 應(yīng)力-應(yīng)變曲線及M-K模型

1.1 三種形式的應(yīng)力-應(yīng)變曲線模型

由測(cè)量的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)分別得到兩種材料的性能參數(shù)見表1.可以看出這兩種材料在不同方向上的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度大體相同，實(shí)驗(yàn)誤差允許范圍內(nèi)可視為面內(nèi)同性.因此，采用Mises屈服準(zhǔn)則對(duì)鋁合金板料的理論成形極限進(jìn)行研究.

圖1 測(cè)量的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)(6016-T4)

表1 不同方向的鋁合金的單向拉伸性能

2) 擬合的應(yīng)力-應(yīng)變曲線.為研究應(yīng)力-應(yīng)變形式對(duì)成形極限的影響，擬合應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)得到了冪指數(shù)以及多項(xiàng)式擬合曲線.

圖2為6016-T4鋁合金的三種形式應(yīng)力-應(yīng)變曲線模型.冪指數(shù)和三次多項(xiàng)式擬合曲線的回歸分析如表2所示.2條擬合曲線均有著較高的擬合程度，其中，三次多項(xiàng)式曲線模型的擬合優(yōu)度約為0.926，均殘差為2.090；冪指數(shù)曲線模型的擬合優(yōu)度約為0.902，均殘差為2.689.

圖2 三種形式的應(yīng)力-應(yīng)變曲線模型(6016-T4)

將6016-T4的應(yīng)力-應(yīng)變真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)擬合處理，得到冪指數(shù)擬合曲線為

表2 6016-T4鋁合金的擬合曲線回歸分析

(1)

7075-T6鋁合金的冪指數(shù)擬合曲線為

(2)

采用三次多項(xiàng)式擬合材料的應(yīng)變硬化模型，得到6016-T4的擬合曲線：

(3)

1.2 M-K理論基本模型

Marciniak等[5]提出“頸縮通常是由于材料在幾何或結(jié)構(gòu)上的非均勻性引起的”這一觀點(diǎn)，并進(jìn)行了厚度不均勻假設(shè).如圖3所示，整體板料被劃分為正常區(qū)“a區(qū)”和溝槽區(qū)“b區(qū)”，1，2軸表示a區(qū)的主應(yīng)力方向，3軸表示板料的厚度方向.溝槽的法線方向和切線方向分別用n和t表示.溝槽法線方向與第一主應(yīng)力方向之間的角度為θ.

圖3 M-K理論的幾何模型

M-K理論推導(dǎo)板料成形極限的基本方程包括力平衡條件(4)、變形協(xié)調(diào)條件(5)、體積不變條件(6)及塑性流動(dòng)方程(7)：

(4)

(5)

dε11+dε22+dε33=0

;

(6)

(7)

另外，根據(jù)M-K理論，a區(qū)按比例加載，塑性變形符合全量理論.由式 (6) 可得

(8)

利用溝槽局部坐標(biāo)系(n-t坐標(biāo)系)與主軸坐標(biāo)系(1-2坐標(biāo)系)下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換關(guān)系得到

(9a)

(9b)

其中，

A1=cos2θ+αasin2θ;A2=(αa-1)sinθcosθ;

B1(αb)=cos2θ+αbsin2θ;

B2(αb)=(αb-1)sinθcosθ;

將式 (9a) 和 (9b) 代入式 (8) 中，可得

(10)

利用溝槽局部坐標(biāo)系與主軸坐標(biāo)系下的應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系，并結(jié)合Mises等效應(yīng)力和式(7)可得

(11)

其中：A3=[(2-αa)sin2θ+(2αa-1)cos2θ]/2φa;

B3(αb)=

將式 (11) 代入式 (5) ，可得

(12)

(13)

其中,

A4=(αa+1)/(2φa);B4(αb)=(αb+1)/[2φb(αb)]

.

1.3 不同應(yīng)力-應(yīng)變曲線形式下的極限應(yīng)變

1.3.1 基于應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)的極限應(yīng)變

(14)

由式(13),式(14)可得迭代方程：

.

(15)

當(dāng)ψ(αb)=0時(shí)，求得達(dá)到極限應(yīng)變時(shí)的αb.方程 (15)第k次迭代求解的Newton迭代公式為

(16)

其中：

(17)

在某一確定的αa應(yīng)變路徑下，分別取不同溝槽角度θ0，θ1，… ，θn(0≤θ≤π/2)，進(jìn)行牛頓迭代計(jì)算，求得溝槽角度取θi(0≤i≤k)時(shí)的極限應(yīng)變值最小，記為αa應(yīng)變路徑下的極限應(yīng)變.αa在[0,1]范圍內(nèi)遍歷，即可得到不同加載路徑下的極限應(yīng)變值，并繪制出板料的成形極限曲線.

1.3.2 基于擬合曲線的極限應(yīng)變

將冪指數(shù)擬合曲線 (1) 代入式 (13) 可得6016-T4鋁合金的迭代方程：

(18)

將三次多項(xiàng)式擬合曲線 (3) 代入式 (13) 可得6016-T4鋁合金的迭代方程：

(19)

2 確定成形極限的脹形實(shí)驗(yàn)

圓頂凸模脹形實(shí)驗(yàn)是目前應(yīng)用最廣泛的板料成形極限獲得方法.通過對(duì)不同形狀試驗(yàn)件的脹形實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，設(shè)計(jì)了兩種合理的材料試樣尺寸和形狀，并分別進(jìn)行了凸模脹形實(shí)驗(yàn).

2.1 實(shí)驗(yàn)方案確定

進(jìn)行圓頂凸模脹形實(shí)驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)件有效成形區(qū)域形狀多設(shè)計(jì)為矩形窄條，但由6016-T4鋁合金板料的數(shù)值模擬結(jié)果可知，寬度較小的試驗(yàn)件極易在壓邊圈部位發(fā)生斷裂，如圖4a 所示.由于矩形試驗(yàn)件在邊緣壓邊圈部位受到較大的集中應(yīng)力，使得最大主應(yīng)變出現(xiàn)在壓邊附近，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)獲得的板料極限應(yīng)變變小.為減小壓邊圈處應(yīng)力集中，將試驗(yàn)件設(shè)計(jì)成中部稍窄的啞鈴狀，如圖4b 所示，有效成形區(qū)域?yàn)橛芍行南騼蓚?cè)均勻過渡的弧形，試驗(yàn)件的最大主應(yīng)變出現(xiàn)在凸模頂部區(qū)域，而壓邊附近不出現(xiàn)斷裂，從而使實(shí)驗(yàn)獲得極限應(yīng)變值更加準(zhǔn)確.

圖4 不同形狀試樣的主應(yīng)變分布云圖(6016-T4)

通過對(duì)不同尺寸試驗(yàn)件的脹形實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬分析可知，隨著試驗(yàn)件寬度的增大，試驗(yàn)件形狀對(duì)模擬結(jié)果的影響逐漸減弱，如圖4c和圖4d 所示，當(dāng)試驗(yàn)件有效成形區(qū)域?qū)挾燃s為60 mm時(shí)，兩種形狀試驗(yàn)件的模擬結(jié)果相差不大.考慮加工的簡(jiǎn)易性和實(shí)驗(yàn)的可行性，將大尺寸試驗(yàn)件設(shè)計(jì)為矩形.因此，最終確定出兩種材料的試驗(yàn)件形狀和尺寸方案分別如圖5和表3所示，其中w=90 mm，R=90 mm.

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

采用EC系列標(biāo)準(zhǔn)板料成形試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行凸模脹形實(shí)驗(yàn)，如圖6a 所示.為獲取板料失穩(wěn)部位的極限應(yīng)變，實(shí)驗(yàn)采用的是GOM公司所生產(chǎn)的ARGUS光學(xué)應(yīng)變測(cè)量?jī)x，該設(shè)備可獲取成形后板料的三維全場(chǎng)應(yīng)變數(shù)據(jù)，具有較高的精度，其主要構(gòu)成如圖6b所示.按照所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案在板料上印制圓形網(wǎng)格，并在實(shí)驗(yàn)設(shè)備上對(duì)不同寬度的試驗(yàn)件進(jìn)行脹形實(shí)驗(yàn).按表3設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)成形件如圖7所示.

圖5 試樣形狀及設(shè)計(jì)

表3 試樣尺寸

圖6 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

圖7 6016-T4鋁合金的凸模實(shí)驗(yàn)成形件

ARGUS光學(xué)應(yīng)變測(cè)量?jī)x可獲取試驗(yàn)件失穩(wěn)時(shí)表面實(shí)心圓點(diǎn)分布信息，利用光學(xué)應(yīng)變測(cè)量?jī)x可以直觀地獲取試驗(yàn)件變形后的全局應(yīng)變，再利用軟件對(duì)其進(jìn)一步分析處理可獲得試驗(yàn)件變形后的主次應(yīng)變分布.圖8分別是寬度為30 mm和60 mm的試驗(yàn)件的主應(yīng)變和次應(yīng)變的分布云圖，并給出了安全區(qū)和斷裂區(qū)的主次應(yīng)變提取位置.凸模脹形實(shí)驗(yàn)中不同尺寸試樣破裂的程度不同，因此須在不同寬度試件斷裂區(qū)和安全區(qū)提取大量極限應(yīng)變點(diǎn)加以分析，來預(yù)測(cè)鋁合金板料的成形極限.

圖8 ARGUS軟件處理試樣的主次應(yīng)變分布(6016-T4)

斷裂區(qū)和安全區(qū)主次應(yīng)變點(diǎn)分布如圖9所示.極限應(yīng)變點(diǎn)分布較為分散，難以呈現(xiàn)出清晰的極限應(yīng)變曲線，而是具有一定寬度的極限應(yīng)變帶，即安全區(qū)上限曲線和斷裂區(qū)下限曲線之間的區(qū)域.該區(qū)域可視為6016-T4鋁合金發(fā)生“頸縮”時(shí)的臨界區(qū).

圖9 基于實(shí)驗(yàn)測(cè)量的6016-T4鋁合金成形極限圖

3 結(jié)果與分析

圖10為兩種鋁合金板料在不同應(yīng)力-應(yīng)變曲線模型下計(jì)算的理論成形極限曲線和實(shí)驗(yàn)成形極限曲線對(duì)比圖.如圖10a 所示，6016-T4鋁合金板料由擬合曲線計(jì)算的FLC左側(cè)預(yù)測(cè)結(jié)果均偏高，通過分析計(jì)算可知：由三次多項(xiàng)式擬合曲線計(jì)算的FLC左側(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差為30%～40%，而由冪指數(shù)擬合曲線求得的FLC左側(cè)的偏差為50%～60%，幾乎全部落在斷裂區(qū)內(nèi)，擬合曲線計(jì)算的FLC右側(cè)結(jié)果也不是很理想，處在實(shí)驗(yàn)頸縮區(qū)和斷裂區(qū)的臨界處；而基于應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的FLC幾乎全部處于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頸縮區(qū)內(nèi)，只有平面應(yīng)變狀態(tài)下的極限應(yīng)變點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果略有偏差，但因其處在安全區(qū)上限附近，在實(shí)際應(yīng)用中也不會(huì)對(duì)板料成形極限的預(yù)測(cè)造成不良影響.同樣地，圖10b 所示的7075-T6鋁合金板料基于應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的FLC與實(shí)驗(yàn)測(cè)得FLC最吻合，而另外2條預(yù)測(cè)FLC均超出了實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頸縮區(qū)，與實(shí)驗(yàn)測(cè)得FLC有較大的偏差.通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)：應(yīng)力-應(yīng)變曲線的形式對(duì)負(fù)應(yīng)變路徑下的FLC預(yù)測(cè)結(jié)果影響較大；基于應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的理論成形極限與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合程度最高，該模型對(duì)板料成形極限的預(yù)測(cè)更為精確.

圖10 理論預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)量的成形極限圖對(duì)比

4 結(jié) 論

1) 應(yīng)力-應(yīng)變曲線形式對(duì)鋁合金板料成形極限的預(yù)測(cè)結(jié)果有顯著的影響：冪指數(shù)和三次多項(xiàng)式擬合曲線雖然擬合程度較高，但仍不能嚴(yán)格反映材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，而應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)不受限于方程的形式，反映了材料的實(shí)際情況，可適用于任何材料，且預(yù)測(cè)結(jié)果好.

2) 對(duì)比成形極限實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論結(jié)果可知：由擬合曲線計(jì)算的FLC與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大出入，容易造成板料成形極限的高估.而由應(yīng)力-應(yīng)變?cè)紲y(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的FLC幾乎全部處于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頸縮區(qū)內(nèi)，僅在平面應(yīng)變狀態(tài)下有少數(shù)點(diǎn)落在安全區(qū)上限附近，幾乎與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全吻合.

3) 本文提出了一種基于實(shí)際測(cè)量應(yīng)力-應(yīng)變曲線的M-K理論板料成形極限預(yù)測(cè)方法，并給出了采用離散型應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)計(jì)算板料成形極限的詳盡推導(dǎo)過程.