梁青槐，柴樹山，鄧京維

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

截至2018年末，我國累計有35個城市建成投運城軌線路185條，運營線路長度達5 761.4 km，國內(nèi)很多城市已進入網(wǎng)絡化運營的階段[1].其中，跨線運行有利于實現(xiàn)整個網(wǎng)絡的線路資源利用效率和運營效率的最大化，可以提高客流服務水平[2]，是實現(xiàn)線路互連互通的重要方式之一.另外，區(qū)域快線與城際鐵路相比，具有同城化通勤服務、公交化的城市軌道交通特征，與普通地鐵相比，具有高速度、高服務范圍等優(yōu)勢[3].因此，區(qū)域快線與地鐵系統(tǒng)的跨線貫通運營對于實現(xiàn)中心城區(qū)與近遠郊地區(qū)之間通勤客流的快速直達、減少換乘、縮短旅行時間等具有重要的作用.

國內(nèi)外許多學者對網(wǎng)絡化運行和區(qū)域軌道交通列車運行組織方案的編制與優(yōu)化進行了相關研究.在網(wǎng)絡化運行方面，仲建華等[4]針對軌道交通網(wǎng)絡化運行的內(nèi)涵、原則、思路和基本條件等進行了探索；張化難等[5]以重慶為例，探討了網(wǎng)路化運行中的快慢車運行模式.在單線運行組織優(yōu)化方面，Assis等[6]基于客流的動態(tài)變化，分析乘客的出行時間，分時段對列車的時刻表進行優(yōu)化和排定；Site[7]等以企業(yè)的運營成本和乘客的出行成本最小為目標，建立數(shù)學模型優(yōu)化列車車型、發(fā)車頻率和相對行車間隔；宋瑞等[8]針對城市軌道交通線路運營計劃編制傳統(tǒng)方法的不足，通過納入對乘客超乘行為與留乘行為的成本懲罰，建立了運行計劃優(yōu)化模型；凌俊等[9]針對非高峰期城市軌道交通客流不均的現(xiàn)象，建立雙目標多約束優(yōu)化模型，靈活設計列車的運行組織方案.在網(wǎng)絡化運行組織優(yōu)化方面，胡興麗等[10]通過分析軌道交通在不同運行組織下的通過能力，對相同制式下的軌道交通跨線運行組織進行了優(yōu)化；王永亮等[11]通過引入備選集的方法建立了雙層規(guī)劃模型，對城市軌道交通網(wǎng)絡化列車運行組織方案進行優(yōu)化.

但是，該領域已有的研究成果大多著眼于各線路獨立開行模式，對區(qū)域軌道交通與地鐵網(wǎng)絡跨線運行的運行組織方案研究較少，且相關運行組織優(yōu)化研究中缺乏針對乘客不同出行需求的考慮.本文作者通過考慮跨線列車對非跨線客流出行的影響和開行跨線列車的行車間隔等條件，基于客流出行分布細化客流類型，建立多目標混合整數(shù)非線性優(yōu)化模型，對承運各類客流的列車行車密度進行優(yōu)化.

1 模型建立

在列車運行組織方案編制過程中，列車的行車密度是衡量系統(tǒng)運輸能力的一個重要指標.因此，通過建立數(shù)學模型，對各線路普通列車和跨線列車的行車密度進行優(yōu)化，使得在滿足各交路客流需求、線路運能等條件下，得到成本最小時各交路每小時開行列車的對數(shù).優(yōu)化過程中，要綜合考慮企業(yè)和乘客的利益，實現(xiàn)社會效益最大化.

與單線運行時的計算模型相比，開行跨線列車時的計算模型有其自身的特殊性.列車跨入被跨線路的方式不同，會對被跨線路的運能造成不同的影響：當跨線列車通過取代被跨線路列車的方式完成跨線時，會降低非跨線區(qū)段的運能；當跨線列車通過插入到被跨線路列車間完成跨線時，會增加跨線區(qū)段的運能.跨線列車在輸送跨線客流的同時，也會承運部分非跨線客流.因此，各類列車的行車密度需要與不同區(qū)段的客流需求特征相匹配，滿足各類客流需求.另外，計算模型要充分體現(xiàn)開行跨線列車時的優(yōu)勢，與單線運行模式相比，開行跨線列車要使得跨線客流在更低成本下實現(xiàn)直達，并取得更高的社會效益.

1.1 假設條件

1)列車在各線路上為“站站?！边\行模式，且不考慮小交路.

2)不考慮快慢車運行方案，認為同一交路上列車的周轉時間是相同的.

3)為了減少對被跨線路中非跨線區(qū)段運能的影響，跨線列車進入被跨線路運行時，插入到該線路原有列車之間，不取代該線路上原有的普通列車.

4)認為一定時段內(nèi)起訖點之間的客流出行量由該起訖點之間的直達列車承擔.對于跨線客流，當乘坐跨線列車不能實現(xiàn)直達時，選擇乘坐發(fā)車密度相對較高的普通列車，經(jīng)一次換乘后實現(xiàn)過軌，減少候車時間.

5)認為參與跨線運行線路中的設施、設備已預留有跨線運行的實施條件，包括列車過軌設施的預留以及不同線路間車輛、供電、信號等設備的兼容或統(tǒng)一.

6)列車運行組織方案的編制應以客流需求特征為基礎，在滿足客流需求的前提下，列車的發(fā)車間隔受列車服務水平的限制.因此，本文認為在一定的列車服務水平約束下，高峰小時內(nèi)客流需求量受發(fā)車間隔大小的影響較小，為降低模型的復雜度，不考慮客流量與行車間隔間的交互影響.

1.2 目標函數(shù)

1)列車運營成本.

列車運營成本可以分為列車運營的固定成本和可變成本.固定成本與列車運用數(shù)量有關，可變成本與列車行車密度和運行交路長度有關.假設某線網(wǎng)由n條線路組成，線路i、j為該線網(wǎng)中兩條不同的線路. 其中，線路i上的部分列車需要跨線至線路j上運行，則保證列車運營成本最小時的目標函數(shù)可以表達為

i≠j，i、j、k=1,2,3,…，n

(1)

式中：a為每列車分攤至單位時間內(nèi)的購置費用，元/(列·h)；b為每列車運行單位里程時的費用，元/(列·km)；nk為線路k普通列車行車密度，nk≥0且為整數(shù)，對/h；ng(i,j)為線路i上的列車跨線至線路j上運行時，該跨線列車的行車密度，ng(i,j)≥0且為整數(shù)，對/h；Tkk為線路k普通列車的周轉時間，min；Tg(i,j)為線路i上的列車跨線至線路j上運行時，跨線列車的周轉時間，min；Lk為線路k交路的長度，m；Lg(i,j)為線路i上的列車跨線至線路j上運行時，跨線交路的長度，m；?為向上取整.

2)乘客出行成本.

由于乘客換乘時的走行時間與決策變量(列車的行車密度)無關，可以看作常量不予考慮；一般情況下，各列車通過相同的區(qū)間和車站時，通常采用相同的區(qū)間通過時間和停站時間.因此，為了降低建模的復雜性，可以認為乘客總的車內(nèi)時間是固定的[12]，此處不予考慮.因此，對于乘客的出行成本，本模型只考慮候車時間成本.

相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明[13]，在行車間隔較短的情況下，乘客的平均候車時間趨近于行車間隔的一半.各類運行模式的列車對于不同出行需求的客流具有不同的適用性.因此，需要根據(jù)客流需求分布對客流進行分類，分別計算各類客流總的候車時間.客流總的出行時間成本可表示為

(2)

式中：c為乘客的單位時間價值，元/min；Px為第x類客流總量，人；nx為分擔第x類客流的列車行車密度，nx≥0且為整數(shù)，對/h.

其中，起點位于Oa站～Ob站之間，終點位于Da站～Db站之間的客流量Px為

(3)

式中：POiDj為以Oi為起點，以Dj為終點的OD客流量，人.

線路i跨線至線路j運行時，分擔第x類客流的列車行車密度nx取值見表1.

表1 分擔不同種類客流的列車行車密度nx取值

1.3 約束條件

1)跨線列車主要解決乘客出行中的直達問題，可以減少跨線乘客的換乘時間，緩解大客流車站的換乘壓力，提高出行效率.因此，跨線客流若選擇乘坐跨線列車直達目的地，其出行時間成本應該低于乘坐普通列車通過換乘到達目的地的出行方式成本，兩種方式消耗的出行時間成本之間應該滿足

(4)

由此可推出

(5)

i≠j,i、j=1,2,3，…，n

式中：ti、tj分別為線路i、線路j普通列車的行車間隔，min；tz(i,j)為從線路i通過換乘的方式到達線路j時的平均換乘走行時間，min；tg(i,j)為線路i的列車跨線至線路j上運行時，跨線列車的行車間隔，min；ni、nj分別為線路i、線路j普通列車的行車密度，對/h.

2)開行跨線列車時，不但要使得跨線客流在更低成本條件下實現(xiàn)直達，還要保證企業(yè)與乘客的總成本小于各線單線運行時的總成本，滿足

(6)

式中：Z1′、Z2′分別為采用單線運行組織方式時企業(yè)的運營成本和乘客的出行成本.

其中，對于參與跨線運行的線路，當采用單線運行模式時，各線路行車密度為跨線運行時各線路普通列車行車密度與跨線列車行車密度之和，單線運行時Z1′、Z2′分別滿足

b[Li(ni+ng(i,j))+Lj(nj+ng(i,j))]

(7)

(8)

i≠j,i、j=1,2,3，…，n

式中：Pii、Pjj分別為起訖點都在線路i、線路j的客流量；Pij為起點在線路i，訖點在線路j的客流量；Pji為起點在線路j，訖點在線路i的客流量.

3)跨線列車直達范圍內(nèi)的非跨線客流也會占用跨線列車部分載客量，為了滿足總的客流需求，各線路上的列車運力要大于上下行最大斷面流量.因此，各線路最大斷面流量須滿足

Pmax，id1≤(niθi+ng(i,j)θg(i,j))·V

(9)

Pmax，id2≤ni·V·θi

(10)

Pmax，jd1≤(njθj+ng(i,j)θg(i,j))·V

(11)

Pmax，jd2≤nj·V·θj

(12)

i≠j,i、j=1,2,3，…，n

式中：Pmax，id1、Pmax，id2分別為線路i上跨線列車直達范圍內(nèi)和非直達范圍內(nèi)上、下行最大斷面流量，人；Pmax，jd1、Pmax，jd2分別為線路j上跨線列車直達范圍內(nèi)和非直達范圍內(nèi)上、下行最大斷面流量，人；V為列車定員，人/列；θi、θj分別為線路i、j上普通列車的滿載率；θg(i,j)為線路i上的列車跨線至線路j上運行時，跨線列車的滿載率.

4)跨線列車運力需要滿足跨線客流需求，可表達為

Pmax，g(i,j)≤ng(i,j)·V·θg(i,j)，

i≠j,i、j=1,2,3,…，n

(13)

式中：Pmax，g(i,j)為線路i上的列車跨線至線路j上運行時，跨線交路上下行最大跨線客流量，人.

5)若列車內(nèi)過于擁擠，會降低列車的服務水平，嚴重影響乘客的舒適性，減少乘客乘坐該線路列車的吸引力.因此，需要保證各交路列車處于一定的服務水平，滿足

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：θmax，i、θmax，j分別為線路i、j的列車最大滿載率限值.

6)各線路開行的列車總數(shù)不能超過各線路最大通過能力，表示為

ni+ng(i,j)≤Nmax,i

(18)

nj+ng(i,j)≤Nmax,j

(19)

i≠j,i、j=1,2,3，…,n

式中：Nmax,i、Nmax,j分別為線路i、j的最大通過能力，大于0且為整數(shù)，對/h.

2 模型求解

本模型為雙目標非線性混合整數(shù)優(yōu)化模型，當列車行車密度增大時，列車運營成本相應增加，但是乘客出行成本會降低.因此，考慮到城市決策者的實際需要，引入權重系數(shù)進行線性變換，轉化為單目標優(yōu)化問題.轉化后的目標函數(shù)為

MinZ=wZ1+(1-w)Z2

(20)

式中：w為權重系數(shù)，滿足0≤w≤1，作為成本控制的偏好系數(shù)，用以表示決策者分別對運營商和乘客利益的重視程度[14-15]，w越大，表示對運營商利益的重視程度越大，對乘客利益的重視程度越小.

由于Lingo軟件可以方便、高效地求解單目標非線性混合整數(shù)規(guī)劃問題，軟件中采用的順序線性規(guī)劃法(SLP法)可有效求解非線性問題，因此,本文利用Lingo軟件求解,計算過程不再贅述.

3 算例分析

3.1 計算參數(shù)

由于在區(qū)域軌道交通網(wǎng)絡化運行中，列車運行組織方案的制定是一個龐大的系統(tǒng)工程，本文僅以某市遠期規(guī)劃的一條區(qū)域快線跨線至一條普通地鐵線路運行為例，優(yōu)化各交路列車的行車密度.該算例中，SL1={S1,S2,…，S21}為一條區(qū)域線路的車站集合，該線路主要承運城市外圍組團與城區(qū)間的通勤客流；SL2={S1′,S2′,S3′,…，S32′,S20}為一條普通地鐵線路的車站集合，其中，S3′站位于大型客運樞紐內(nèi)，S20為換乘車站，同時預留有實施跨線運行的條件.為實現(xiàn)外圍組團客流能夠直達市內(nèi)客運樞紐，同時減少車站S20的換乘壓力，將S1-S3′-S1作為跨線交路，各交路方案見圖1.

模型中各參數(shù)的取值見表2，根據(jù)早高峰小時站間OD客流數(shù)據(jù)，計算得到的不同種類客流及分擔各類客流的列車行車密度見表3.

表2 模型中各參數(shù)的取值

3.2 求解結果

為了控制車廂內(nèi)乘客的擁擠程度，并滿足列車運能的要求，將各線路列車最大載客量分別限制為定員載荷(θmax=θ1max=θ2max=1)和超員載荷(3 110人/列，此時θmax=θ1max=θ2max=1.76).當w取不同的值時，各變量的優(yōu)化結果見表4、表5，各成

表3 各類客流及分擔各類客流列車的行車密度

本隨w的變化曲線見圖2、圖3.

由表4、表5和圖2可以看出，隨著對運營商利益重視程度的增大，總體上各線路普通列車行車密度逐漸降低，從而造成列車運營成本逐漸降低，乘客的出行成本逐漸增加.若列車最大載客量限制為定

表4 θmax=1時各變量的優(yōu)化結果

表5 θmax=1.76時各變量的優(yōu)化結果

員載荷，偏好系數(shù)范圍為0.4≤w≤1時，運營成本與乘客出行成本達到平衡，此時總成本降到最小，為434 842.70元，列車開行優(yōu)化結果為：各線路列車最優(yōu)滿載率取值范圍分別為0.98≤θ1≤1.00，0.90≤θ2≤1.00，0.99≤θg(1,2)≤1.00；最優(yōu)行車密度n1=15對/h，n2=20對/h，ng(1,2)=5對/h.若列車最大載客量限制為超員載荷，偏好系數(shù)取0.5≤w≤0.7時，運營成本與乘客出行成本達到平衡，此時總成本降到最低，為428 354.20元，列車開行的優(yōu)化結果為：各線路列車最優(yōu)滿載率為θ1=θ2=θg(1,2)=1.51；最優(yōu)行車密度為n1=12對/h，n2=20對/h，ng(1,2)=5對/h.

若不采用跨線運行的方案，且各線路均采用與跨線運行時相同的行車密度時，其成本與跨線運行時的成本之差與w之間的關系見圖3.由圖3可以看出，各線路單線運行時，乘客的出行成本差為負值，企業(yè)運營成本差為正值，說明采用單線運行時乘客總的出行成本有所降低，企業(yè)運營成本有所增加.隨著對企業(yè)運營成本重視程度的增加，單線運行與跨線運行之間的總成本之差逐漸降低，說明此時開行跨線列車的優(yōu)勢逐漸降低.因此，當開行跨線列車時，不能因過于重視運營成本而忽視乘客出行的成本效益.

4 結論

1)針對區(qū)域軌道交通線路與地鐵線路之間的跨線運行組織模式，建立了區(qū)域軌道交通跨線運行模式下多目標混合整數(shù)非線性優(yōu)化模型.模型中考慮了企業(yè)與乘客的成本效益、開行跨線列車時的行車間隔條件、列車的服務水平、以及跨線列車在其直達范圍內(nèi)對非跨線客流的承運作用等，并通過引入偏好系數(shù)控制對企業(yè)效益和乘客利益之間的重視程度.基于客流需求分布細化客流類型，在滿足客流量需求、保證一定的列車服務水平的前提下，對承運各類型客流需求的列車進行行車密度優(yōu)化.

2)以某市規(guī)劃的一條跨線線路運行為例，基于該模型計算得到了各類型列車的最優(yōu)行車密度，驗證了模型的適用性和合理性.通過計算，得到了企業(yè)和乘客效益平衡時的偏好系數(shù)，同時優(yōu)化得到了一定服務水平下偏好系數(shù)控制的列車最佳滿載率.