指對(duì)融合構(gòu)造函數(shù)法巧解一類函數(shù)難題

張行

在高考和模擬考試中，常把指數(shù)函數(shù)與一次二次函數(shù)的混合，或者把對(duì)數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)的混合，來(lái)考察學(xué)生對(duì)函數(shù)適當(dāng)處理，再利用求導(dǎo)法等解決問(wèn)題的能力，很少出現(xiàn)指對(duì)混合起來(lái)考察學(xué)生，最近幾年，我們發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的混合函數(shù)，也逐漸出現(xiàn)，而且有逐漸增多的趨勢(shì)，這類題型難度大，解題方法比較少，常通過(guò)凹凸函數(shù)構(gòu)造法，放縮法等來(lái)解決，最近筆者發(fā)現(xiàn)有一類指對(duì)混合函數(shù)題型，直接求導(dǎo)、凹凸轉(zhuǎn)化法或者放縮法很難做出來(lái)。但只要構(gòu)造指對(duì)融合函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分類法，很好的解決了這類題型。

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

例題：設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則m的最大值是（ ????）

解析：指對(duì)混合，直接分離參數(shù)法難求出，不分離直接求導(dǎo)也很難做。

方法1：融合為對(duì)數(shù)型函數(shù)

二、指對(duì)融合函數(shù)技巧總結(jié)

那些函數(shù)可以進(jìn)行指對(duì)融合構(gòu)造呢？根據(jù)上面例題的經(jīng)驗(yàn)，下面集合函數(shù)可以統(tǒng)一成一個(gè)函數(shù)：

上面這6個(gè)函數(shù)都是考試必考的函數(shù)，如果每對(duì)出現(xiàn)在同一題目中，我們可以把他們?nèi)诤铣梢粋€(gè)函數(shù)，再利用單調(diào)性法化簡(jiǎn)，再用求導(dǎo)解決這類問(wèn)題。

三、變式訓(xùn)練：

從以上可見(jiàn)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)同在一道題中，增加了求導(dǎo)的難度，如果用指對(duì)融合法變成一個(gè)函數(shù)，無(wú)疑減小了難度，優(yōu)化了解題過(guò)程，是一個(gè)值得推廣的方法。