“向心加速度、向心力”的深度教學(xué)

摘 ? 要：學(xué)習(xí)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，部分學(xué)生不能從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度理解向心加速度，從而不能通過學(xué)習(xí)圓周運(yùn)動(dòng)深化對(duì)力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的理解，這不利于促進(jìn)學(xué)生力和運(yùn)動(dòng)觀念的形成。筆者在教學(xué)時(shí)，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，從速度的矢量運(yùn)算和運(yùn)動(dòng)的合成與分解兩個(gè)方向，引導(dǎo)學(xué)生探究了勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度和向心力的表達(dá)式，并利用推導(dǎo)的結(jié)果討論了物體做向心運(yùn)動(dòng)和離心運(yùn)動(dòng)的條件。實(shí)現(xiàn)學(xué)生物理觀念的形成和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：物理觀念;力和運(yùn)動(dòng);勻速圓周運(yùn)動(dòng);速度變化;向心加速度

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2020）2-0056-4

勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)重要的物理模型。分析和研究圓周運(yùn)動(dòng)是力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系在具體情境中的綜合運(yùn)用。深入挖掘這部分內(nèi)容進(jìn)行深度教學(xué)，有助于促進(jìn)學(xué)生力和運(yùn)動(dòng)觀念的形成，有助于學(xué)生科學(xué)思維能力的培養(yǎng)，有助于學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的提高。

1 ? ?問題的提出

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體速度大小不變，方向不斷發(fā)生變化。很多學(xué)生知道勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體應(yīng)該有加速度;但處理加速度大小時(shí)，他們會(huì)將速度的數(shù)值直接代入a= ，這樣他們會(huì)認(rèn)為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度大小為零。很多學(xué)生知道向心力的概念，處理勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問題時(shí)，很多學(xué)生能直接寫出向心力的表達(dá)式Fn=m ，但當(dāng)你問起這個(gè)表達(dá)式和牛頓第二定律的關(guān)系時(shí)，他們往往覺得這是處理圓周運(yùn)動(dòng)的專用公式，和牛頓第二定律無關(guān)。在一般性的教學(xué)中，學(xué)生獲得向心加速度的方式往往是通過實(shí)例感受向心力的存在，進(jìn)而得出做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體有向心加速度。但對(duì)“這個(gè)加速度是如何隨著時(shí)間的累積不斷改變物體的速度的？”“有了這樣的加速度物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為什么會(huì)是圓周？”一般都不作進(jìn)一步的探討和說明。這其實(shí)割裂了運(yùn)動(dòng)學(xué)里速度和加速度等物理概念之間的本質(zhì)聯(lián)系，不利于學(xué)生把圓周運(yùn)動(dòng)等相關(guān)物理知識(shí)統(tǒng)整在力和運(yùn)動(dòng)的大概念之下，不利于學(xué)生力和運(yùn)動(dòng)觀念的形成[1]。

2 ? ?教學(xué)實(shí)踐

北京師范大學(xué)的王磊教授提出：學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)方式是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力素養(yǎng)的核心機(jī)制。在這部分教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)物理模型，用兩種不同的方法從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度推導(dǎo)勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的表達(dá)式，并通過向心力演示器半定量地驗(yàn)證向心力和各個(gè)物理量的關(guān)系。讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)較為完整的探究過程。在努力加深學(xué)生對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的基本知識(shí)和分析方法認(rèn)知的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生力和運(yùn)動(dòng)觀念的形成和物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

2.1 ? ?學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了描述圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度、周期、頻率等概念;積累了一定的使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物理經(jīng)驗(yàn);會(huì)使用平行四邊形定則或三角形法則處理力的合成與分解問題;學(xué)習(xí)了平拋運(yùn)動(dòng)，有了一定的處理運(yùn)動(dòng)合成與分解的經(jīng)驗(yàn)。高中學(xué)生思維正從直觀形象型向邏輯抽象型過渡，但思維還常常與感性經(jīng)驗(yàn)直接聯(lián)系，思維過程中仍需具體、形象的材料支持。

2.2 ? ?利用速度運(yùn)算的矢量法則和牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題

2.2.1 ? ?做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度

（1）建構(gòu)物理模型

根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特征，建構(gòu)如圖1所示模型，質(zhì)量為m的小球，以O(shè)為圓心，以大小為v的速度，做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過一小段時(shí)間從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，小球經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時(shí)速度分別為vA、vB。

（2）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)小球的速度變化

如圖2，將矢量vA從A點(diǎn)平移至B點(diǎn)，則圖中由vA指向vB的有向線段即為小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度變化Δv。

因?yàn)椤鱋AB和矢量△BCD都是等腰三角形，又因?yàn)椤螦OB=∠CBD

所以△OAB∽△BCD

所以 = ? 即 ?=

整理得： Δv= v ?（1）

（3）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球的瞬時(shí)加速度大小

根據(jù)加速度的定義a= ，將（1）式代入得：

a= v ?（2）

若取時(shí)間t趨于零，則可得小球的瞬時(shí)加速度。且若t趨于零，AB段弦長可看作弧長?？傻肁B=vt（3）

將（3）式代入（2）式可得：a=

（4）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球的瞬時(shí)加速度方向

因a= ，討論瞬時(shí)加速度方向，也應(yīng)取時(shí)間t趨于零。若取時(shí)間t趨于零，則∠AOB趨于0°，因∠AOB=∠CBD，故∠CBD也趨于0°，所以等腰三角形△BCD的兩個(gè)底角趨于90°。因此可以認(rèn)為CD⊥BC，即Δv⊥vA。而加速度a的方向和速度變化Δv的方向相同，所以小球在A點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)加速度a垂直于小球的瞬時(shí)速度vA。可見，小球的瞬時(shí)加速度方向是指向圓心的。我們稱這個(gè)加速度為向心加速度，記為an。

所以，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，速度不斷發(fā)生變化，加速度大小為an= ，方向始終指向軌跡的圓心。

2.2.2 ? ?做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的受力

要想產(chǎn)生指向圓心方向、大小為 的向心加速度，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，物體必須受指向圓心方向、大小為m 的合力。我們稱這個(gè)合力為向心力，記為Fn。

2.2.3 ? ?關(guān)于離心運(yùn)動(dòng)和向心運(yùn)動(dòng)的討論

（1）若小球的實(shí)際加速度a ﹤an，即a ﹤ ，則圖2中小球的Δv會(huì)變小。在矢量三角形△BCD中，CD邊變短， D點(diǎn)上移，導(dǎo)致CD邊偏向圓外，即 vB會(huì)偏離切線指向圓外，小球?qū)⒆鲭x心運(yùn)動(dòng)。

若物體指向圓心方向的加速度a 小于向心加速度an，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，則小球受到的指向圓心方向的合力F 小于向心力Fn，所以當(dāng)小球受到的指向圓心方向的合力F 小于m 時(shí)，小球做離心運(yùn)動(dòng)。

（2）若小球的實(shí)際加速度a ﹥an，即a ﹥ ，則圖2中小球的Δv會(huì)變大。在矢量三角形△BCD中，CD邊變長， D點(diǎn)下移，導(dǎo)致CD邊偏向圓內(nèi)，即 vB會(huì)偏離切線指向圓內(nèi)，小球?qū)⒆鱿蛐倪\(yùn)動(dòng)。

若物體指向圓心方向的加速度a 大于向心加速度an，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，則小球受到的指向圓心方向的合力F 大于向心力Fn，所以當(dāng)小球受到的指向圓心方向的合力F 大于m 時(shí)，小球做向心運(yùn)動(dòng)。

2.3 ? ?利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解、牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)

2.3.1 ? ?做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度

（1）建構(gòu)物理模型

建構(gòu)如圖3所示的模型，質(zhì)量為m的小球，以O(shè)為圓心，以大小為v的速度，做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果小球不受外力，小球?qū)⒀厍芯€方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡將會(huì)偏離圓弧。若想讓小球在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則小球應(yīng)受一個(gè)指向圓心的力，是這個(gè)力將小球拉回到圓弧上的。即在極短的時(shí)間內(nèi)小球從A沿圓弧到C的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以看作小球沿切線從A到B的勻速直線運(yùn)動(dòng)和小球從B到C做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

（2）推導(dǎo)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

如圖3所示，因△OAB為直角三角形，由勾股定理得：

OA2+AB2=（OC+BC）2（4）

沿切線AB方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以：

AB=vt（5）

沿BO方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以：BC= at2（6）

將（5）（6）式代入（4）式得：R2+（vt）2=（R+ at2）2

整理得：v2=Ra+ a2t2

因?yàn)閠趨于0，所以t2更趨于0，所以Ra遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 a2t2，故可以略去 a2t2

得：a=

因BC方向是指向圓心的，所以我們稱這個(gè)加速度為向心加速度，記為an。

2.3.2 ? ?做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的受力

要想產(chǎn)生指向圓心方向、大小為an= 的加速度，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，物體必須受指向圓心方向、大小為m 的合力。我們稱這個(gè)合力為向心力，記為Fn。

2.3.3 ? ?關(guān)于離心運(yùn)動(dòng)和向心運(yùn)動(dòng)的討論

（1）若小球的實(shí)際加速度a ﹤an，小球沿BO方向的位移將會(huì)減小，小球?qū)⒙洳坏綀A上的C點(diǎn)，而是會(huì)落在BC之間，如D點(diǎn)（如圖4），可見小球?qū)⒊霈F(xiàn)在圓的外側(cè)，即小球到圓心的距離變大了，小球做的是離心運(yùn)動(dòng)。

若物體指向圓心方向的加速度a 小于向心加速度an，則小球受到的指向圓心方向的合力F 小于向心力Fn，所以當(dāng)小球受到的指向圓心方向的合力F 小于m 時(shí)，小球做離心運(yùn)動(dòng)。

（2）若小球的實(shí)際加速度a ﹥an，小球沿BO方向的位移將會(huì)變大，小球?qū)⒊^圓上的C點(diǎn)，將會(huì)出現(xiàn)在OC之間，如E點(diǎn)（如圖4），則小球?qū)⒊霈F(xiàn)在圓的內(nèi)側(cè)，即小球到圓心的距離變小了，小球做的是向心運(yùn)動(dòng)。

若物體指向圓心方向的加速度a 大于向心加速度an，則小球受到的指向圓心方向的合力F 小于向心力Fn，所以當(dāng)小球受到的指向圓心方向的合力F 大于m 時(shí)，小球做離心運(yùn)動(dòng)。

2.4 ? ?半定量驗(yàn)證向心力和各物理量之間的關(guān)系

用如圖5所示的向心力演示器，通過控制變量，半定量驗(yàn)證向心力和各物理量之間的關(guān)系。（因?yàn)橄蛐牧ρ菔酒鞑荒軠?zhǔn)確測(cè)量各物理量的大小，但可以通過各物理量之間的倍數(shù)關(guān)系驗(yàn)證向心力的表達(dá)式，因此我們稱其為半定量驗(yàn)證。）

選擇質(zhì)量不同但有倍數(shù)關(guān)系的小球，改變小球所放置的位置和改變皮帶輪的半徑比，半定量驗(yàn)證做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力大小和描述圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量之間的關(guān)系。完成對(duì)上述理論推導(dǎo)的驗(yàn)證。

3 ? ?教學(xué)反思

（1）“物理觀念”是物理概念和規(guī)律等在頭腦中的提煉與升華;是從物理學(xué)視角解釋自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該著眼于促進(jìn)學(xué)生物理觀念的形成，促進(jìn)物理核心素養(yǎng)的提高。圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的推導(dǎo)的確有一定難度，但對(duì)基礎(chǔ)較好、學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生理解起來也不是太難。重要的是這樣的教學(xué)有利于促進(jìn)學(xué)生力和運(yùn)動(dòng)觀念的形成和學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（2）模型的建構(gòu)與選取，矢量的三角形運(yùn)算、運(yùn)動(dòng)的合成與分解的應(yīng)用，以及探究式教學(xué)的使用有助于學(xué)生科學(xué)思維能力的培養(yǎng)[2]。教學(xué)中選取合適的切入點(diǎn)，以提升學(xué)生的思維能力為核心進(jìn)行深度教學(xué)，有助于學(xué)生科學(xué)思維能力的培養(yǎng)，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]何春生，翟小銘.“萬有引力定律的應(yīng)用”——建模教學(xué)的課堂實(shí)踐[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2016，45（1）：13-16.

[2]何春生.巧用物理模型提高思維能力——由求解帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)談起[J].物理通報(bào)，2014（5）：65-67.

（欄目編輯 ? ?羅琬華）