王媛

摘 要：本文復(fù)習(xí)了三角形的相關(guān)概念及其內(nèi)角和定理，闡述了如何應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和、外角和公式進(jìn)行計(jì)算，并解讀了在具體情境中如何應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：三角形的高、中線、角平分線，三角形內(nèi)角和定理

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1992-7711（2020）03-088-2

本章首先介紹三角形及三角形邊、角、頂點(diǎn)的符號(hào)表示，作為整章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。接著復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過(guò)的三角形的按角和按邊的兩種分類方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，探索發(fā)現(xiàn)三角形三邊之間的關(guān)系，“任意兩邊之和大于第三邊”。

三角形中除了邊，還有三條重要的線段，高、中線、角平分線，這在小學(xué)已經(jīng)知道了，本章進(jìn)一步深化，系統(tǒng)的進(jìn)行分析歸納。首先讓學(xué)生從作圖開始去探索發(fā)現(xiàn)，得到高、中線、角平分線的定義，規(guī)范幾何語(yǔ)言三段論的書寫，并發(fā)現(xiàn)三條高、三條中線、三條角平分線的特殊位置關(guān)系。

接下來(lái)在小學(xué)通過(guò)剪拼已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)會(huì)驗(yàn)證，由平行線的性質(zhì)與平角的定義加以證明，通過(guò)推理的方法證明三角形的內(nèi)角和定理。在證明過(guò)程中學(xué)會(huì)添加輔助線，說(shuō)出證明思路，并能寫出完整的證明過(guò)程。在三角形內(nèi)角和定理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”與“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”。

最后，在三角形的基礎(chǔ)上，去研究多邊形，先給出多邊形的概念，接下來(lái)去探索多邊形的內(nèi)角和，用多種不同的方法，從具體到抽象，層層遞進(jìn)，將多邊形分割成三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理得出多邊形的內(nèi)角和公式。有了多邊形的內(nèi)角和公式，再利用平角的定義，推導(dǎo)出多邊形的外角和，感受內(nèi)角和、外角和與邊的個(gè)數(shù)的關(guān)系。

基于以上分析，教師可確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：三角形的高、中線、角平分線以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用。并確定本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一、自主回顧，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問(wèn)題1 你能說(shuō)出與三角形有關(guān)的元素嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、回答。教師補(bǔ)充，共同歸納。板書：（1）與三角形有關(guān)的線段：邊、高、中線、角平分線。（2）角：內(nèi)角、外角。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三角形中相關(guān)元素的復(fù)習(xí)引入本節(jié)課，直入復(fù)習(xí)主題，開門見(jiàn)山，為后面的復(fù)習(xí)內(nèi)容做鋪墊。

問(wèn)題2 請(qǐng)你根據(jù)三角形中的相關(guān)元素在三角形內(nèi)畫出相應(yīng)的圖形，并在圖形旁寫出結(jié)論。

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在學(xué)習(xí)單上寫出來(lái)。教師巡視，在巡視的過(guò)程中找出幾種不同圖形和結(jié)論，請(qǐng)學(xué)生上黑板板書，生生互評(píng)，師生共同補(bǔ)充。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生畫基本圖形，寫出相關(guān)結(jié)論，將本章內(nèi)容做一個(gè)串聯(lián)，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有個(gè)總體的認(rèn)知。讓學(xué)生自己用畫圖的方式回憶總結(jié)定理，加深印象，便于后面熟練應(yīng)用解題。

二、典型例題，知識(shí)生長(zhǎng)

問(wèn)題3 前面我們畫了三角形的中線，在三角形中任意畫兩條中線，將面積分為四份，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、回答。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生先思考中線的定義，再利用最近聯(lián)想讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積之間的關(guān)系，引出例1。

例1 如圖，△ABC的中線AD、BE相交于點(diǎn)F?！鰽BF與四邊形CEFD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

師生活動(dòng)：教師提問(wèn)中線的相關(guān)知識(shí)，引出面積相等這個(gè)重要的應(yīng)用，讓學(xué)生找出相等的面積，從而發(fā)現(xiàn)△ABD和△BCE的面積都等于△ABC的面積的一半。進(jìn)而得到△ABF與△BDF面積之和等于△BDF與四邊形CEFD的面積之和，易得△ABF與四邊形CEFD的面積相等。學(xué)生口述解答過(guò)程，老師板書。

設(shè)計(jì)意圖：三角形中線分三角形為面積相等的兩部分，通過(guò)本題，復(fù)習(xí)三角形中線的相關(guān)知識(shí)。

問(wèn)題4 在例1中，若AD、BE變?yōu)椤鰽BC的角平分線，思考你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、回答。

設(shè)計(jì)意圖：圖形不變，改變條件，將中線變?yōu)榻瞧椒志€，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)其中的一些角的關(guān)系，先不給出問(wèn)題讓學(xué)生嘗試思考可能的結(jié)論，接著再給出例2。

例2 如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)F。

（1）若∠C=50°，求∠AFB的度數(shù)。（2）求證：∠AFB=90°+12∠C。

師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路：要求∠AFB度數(shù)，可以先求出∠FAB和∠FBA，再由三角形的內(nèi)角和得到。而本題的條件無(wú)法直接求出兩個(gè)角的度數(shù)，那就試著求出∠FAB與∠FBA的和，在第（1）問(wèn)中，由∠C=50°，易得∠BAC+∠ABC=130°，接下來(lái)由AD、BE是角平分線可得到∠FAB+∠FBA=65°，所以可得到∠AFB=115°。在第（2）問(wèn)中，由AD、BE是角平分線可得到∠FAB=12∠BAC，∠FBA=12∠ABC，而由三角形內(nèi)角和∠BAC+∠ABC=180°-∠C，所以可得到∠FAB+∠FBA=12（180°-∠C）=90°-12∠C，最后由三角形內(nèi)角和定理得到∠AFB=90°+12∠C。（2）學(xué)生獨(dú)立完成解題過(guò)程，請(qǐng)一名學(xué)生板書。師生共同點(diǎn)評(píng)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題，讓學(xué)生復(fù)習(xí)了三角形角平分線的相關(guān)知識(shí)以及三角形內(nèi)角和定理。從例1到例2，圖形不變，條件改變，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的生長(zhǎng)性。接著例2中，從第（1）問(wèn)到第（2）問(wèn)，又體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法。

問(wèn)題5 前面復(fù)習(xí)了三角形的中線和角平分線，還有一條重要的線段是高，在例2中，若AD、BE變?yōu)椤鰽BC的高，結(jié)論又會(huì)發(fā)生什么變化呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考。

設(shè)計(jì)意圖：緊扣例1和例2，將條件再次改變，讓學(xué)生思考其中的變與不變，為例3做鋪墊。

例3 如圖，△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)F。

（1）若∠C=50°，求∠AFB的度數(shù)。

（2）探究∠AFB與∠C的關(guān)系。

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，獨(dú)立解答。教師巡視，將學(xué)生的書寫過(guò)程的投影，師生共同完善解答過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：本題在例2的基礎(chǔ)上，將角平分線再次改變?yōu)橹芯€，此題解答時(shí)可與例2采用相同的方法，應(yīng)用直角三角形的兩銳角互余，求出∠DAC和∠EBC的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和可求出∠BAC與∠ABC的和，從而算出∠FAB與∠FBA的和，得到∠AFB的度數(shù)。讓學(xué)生體會(huì)解答過(guò)程中變化的是∠FAB與∠FBA的和，不變的是方法，用三角形內(nèi)角和相關(guān)知識(shí)去解答。和例2相比，問(wèn)題（2）對(duì)學(xué)生要求更高，讓學(xué)生自己去探索兩個(gè)角之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力。本題也可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)在求出∠DAC的度數(shù)后，可以直接利用三角形的外角性質(zhì)求出∠AFB的度數(shù)。

問(wèn)題6 前面復(fù)習(xí)了三角形的相關(guān)知識(shí)，從三角形的內(nèi)角和定理出發(fā)，我們得到了多邊形的內(nèi)角和與外角和，你能說(shuō)說(shuō)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，口答。

設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)完三角形的相關(guān)知識(shí)后，簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)多邊形的相關(guān)知識(shí)，在后面的練習(xí)中設(shè)置了題目加以鞏固，課堂不再重點(diǎn)分析。

問(wèn)題7 研究完三角形的邊、高、中線、角平分線以及三角形的角，你還想研究什么呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，留作課后探索。

設(shè)計(jì)意圖：在本節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí)完之后，教師提出一個(gè)課后思考問(wèn)題，作為本節(jié)課的延伸，也為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

三、融會(huì)貫通，再次鞏固

練習(xí)

1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是幾邊形？

2.已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2cm、5cm，且周長(zhǎng)是奇數(shù)，求第三邊的長(zhǎng)。

3.如圖，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F。求證：∠CFE=∠CEF。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步鞏固三角形三邊之間的關(guān)系，理解三角形的三條重要線段，掌握多邊形的內(nèi)角和外角和相關(guān)知識(shí)，提高學(xué)生的思維能力和幾何素養(yǎng)。

四、小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲以及做題時(shí)有哪些經(jīng)驗(yàn)。關(guān)于三角形，我們掌握了它的最基礎(chǔ)的內(nèi)容，后面我們還將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)三角形的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：三角形是最基本的幾何圖形，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形全等以及三角形相似的重要基礎(chǔ)。通過(guò)本節(jié)課對(duì)三角形基本知識(shí)的復(fù)習(xí)，學(xué)生能對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行總結(jié)。

（作者單位：南京市鐘英中學(xué)，江蘇 南京210002）