林毅

[摘 ?要] 幾何教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分. 探討基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿軟件輔助教學(xué)的數(shù)學(xué)創(chuàng)課設(shè)計(jì)（以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例），嘗試構(gòu)建“創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知;問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，探究新知;抽象概括，形成概念;全面掌握，理性認(rèn)知;總結(jié)提升，內(nèi)化新知”五大教學(xué)環(huán)節(jié)，并從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行評(píng)析，以期為優(yōu)化傳統(tǒng)的幾何教學(xué)提供參考與借鑒.

[關(guān)鍵詞] 范希爾理論;數(shù)學(xué)創(chuàng)課;幾何教學(xué);拋物線

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果[1]. 在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時(shí)代，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件已逐漸成為信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、改善傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的利器. Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件是近年來(lái)比較“時(shí)髦”的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它不僅界面簡(jiǎn)潔、操作便捷，還具有數(shù)學(xué)化、視覺(jué)化、動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象與思維的功能. 范希爾理論是衡量學(xué)生幾何思維發(fā)展的重要理論，它不僅能夠有效地指導(dǎo)幾何教學(xué)，而且對(duì)提升學(xué)生的幾何思維水平有較大的促進(jìn)作用. 因此，基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的數(shù)學(xué)創(chuàng)課，既可以發(fā)展學(xué)生的幾何思維水平，又可以實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想，從而有效地改善傳統(tǒng)幾何教學(xué)、落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

范希爾理論概述

范希爾理論是由荷蘭中學(xué)數(shù)學(xué)教師范希爾夫婦提出來(lái)的，它的核心內(nèi)容有兩個(gè)：一是幾何思維的五個(gè)水平;二是與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段[2]. 其中，幾何思維的五個(gè)水平分別是——水平0：視覺(jué);水平1：分析;水平2：非形式化演繹;水平3：形式演繹;水平4：嚴(yán)密性. 這一層面的內(nèi)容主要是對(duì)受教育者的幾何思維水平以及對(duì)教學(xué)過(guò)程的組織等方面進(jìn)行系統(tǒng)性的考察. 對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段分別是——階段1：學(xué)前咨詢;階段2：引導(dǎo)定向;階段3：闡明;階段4：自由定向;階段5：整合. 這一層面的內(nèi)容主要是對(duì)應(yīng)于幾何思維水平的教學(xué)環(huán)節(jié). 范希爾理論具有以下特性：次序性、進(jìn)階性、內(nèi)隱性及外顯性、語(yǔ)言性、不適配性、不連續(xù)性. 作為衡量學(xué)生幾何思維發(fā)展的重要理論，范希爾理論不僅揭示了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，為學(xué)生突破幾何學(xué)習(xí)難點(diǎn)提供了個(gè)性化指導(dǎo)，還提供了一個(gè)全新的幾何教學(xué)模式，是教師解決幾何教學(xué)問(wèn)題的有效途徑.

基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿軟件的數(shù)學(xué)創(chuàng)課案例

1. 課例的基本背景

（1）教材分析

《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第二章“圓錐曲線與方程2.4”的內(nèi)容，一般安排兩個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第一課時(shí)[3]. 從知識(shí)層面上來(lái)說(shuō)，本節(jié)課時(shí)是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)上對(duì)圓錐曲線進(jìn)行進(jìn)一步探索，其重點(diǎn)是理解拋物線的定義、幾何圖形與標(biāo)準(zhǔn)方程，難點(diǎn)是從變換的角度理解拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程;從思想方法層面上來(lái)說(shuō)，從具體問(wèn)題情境中提煉數(shù)學(xué)模型，并用代數(shù)語(yǔ)言將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法;從教育價(jià)值層面上來(lái)說(shuō)，它進(jìn)一步向?qū)W生滲入了曲線與方程的思想，有效地提升了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（2）學(xué)情分析

拋物線是最常見(jiàn)的圓錐曲線之一，如拱形橋的形狀、斜拋物體的軌跡、一元二次函數(shù)的圖像等，因此學(xué)生對(duì)拋物線的幾何圖形有直觀的認(rèn)識(shí). 本節(jié)課是在學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)上從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度去全面認(rèn)識(shí)拋物線，符合學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律. 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓與雙曲線兩種特殊的圓錐曲線，能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些實(shí)際問(wèn)題，具有一定的觀察分析能力與抽象概括能力，基本處于形式演繹的幾何思維水平. 但是學(xué)生的空間想象力不強(qiáng)，在教學(xué)中教師需要充分利用動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件輔助教學(xué)，以直觀化、動(dòng)態(tài)化的幾何圖形來(lái)激發(fā)學(xué)生的想象力與積極性. 因此，本節(jié)課依據(jù)范希爾理論，從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)與思維水平出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)最近發(fā)展區(qū)達(dá)到掌握新知、提高思維層次的目的.

2. 數(shù)學(xué)創(chuàng)課的設(shè)計(jì)過(guò)程

基于范希爾理論和本節(jié)課的分析，本節(jié)創(chuàng)課的設(shè)計(jì)過(guò)程如下：創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知;問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，探究新知;抽象概括，形成概念;全面掌握，理性認(rèn)知;總結(jié)提升，內(nèi)化新知.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

情境1：生活中的拋物線.

師：數(shù)學(xué)既來(lái)源于生活又高于生活，同學(xué)們，在生活中有哪些物體是呈現(xiàn)拋物線的形狀？

生：拱橋的形狀、彩虹的形狀、噴泉的路線、足球射門(mén)時(shí)的弧線，等等.

情境2：物理中的拋物線.

師：拋物線不僅在生活中隨處可見(jiàn)，而且在物理中也是經(jīng)常研究的對(duì)象. 比如平拋物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，在波的共振實(shí)驗(yàn)中處于同一位置同頻率振動(dòng)的點(diǎn)源與線源所產(chǎn)生水波的共振點(diǎn)是按拋物線狀排列. 為了同學(xué)們可以更直觀地感受物理中的拋物線，老師在Hawgent皓駿中為大家直觀呈現(xiàn)出來(lái)（教師利用Hawgent皓駿演示平拋運(yùn)動(dòng)及波的共振實(shí)驗(yàn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，如圖1所示）.

情境3：數(shù)學(xué)中的拋物線.

師：那么在數(shù)學(xué)中，拋物線是以什么樣的形式來(lái)呈現(xiàn)的呢？

生：一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是拋物線.

師：為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？這就要探討拋物線的定義及其幾何性質(zhì)了.

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的階段1——學(xué)前咨詢，即教師和學(xué)生就學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行雙向交談，教師通過(guò)溝通了解學(xué)生是如何理解指導(dǎo)語(yǔ)，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題. 本設(shè)計(jì)通過(guò)創(chuàng)設(shè)三個(gè)層層遞進(jìn)的情境，并以師生溝通對(duì)話的形式引導(dǎo)學(xué)生直觀感知生活、物理及數(shù)學(xué)中的拋物線，對(duì)拋物線形成感性認(rèn)識(shí)和認(rèn)知沖突，為下一個(gè)階段的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 在較為抽象的物理情境中，教師借助Hawgent皓駿直觀呈現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生積累空間觀念的感性經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，打破學(xué)科界限.

（2）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，探究新知

問(wèn)題1：在橢圓、雙曲線學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)簡(jiǎn)單的畫(huà)圖工具將其畫(huà)出來(lái)，那么我們是否可以利用類似的工具畫(huà)出拋物線？

教師做示范，引導(dǎo)學(xué)生折紙作圖：準(zhǔn)備一張矩形薄紙ABCD，在CD的垂直平分線上取一點(diǎn)Z，并將CD均等分成15段，依次記為C，E，F(xiàn)，…，R，D. 過(guò)這些點(diǎn)分別作豎直的垂線，將點(diǎn)C對(duì)折到點(diǎn)Z，使兩點(diǎn)重合，并用力按壓產(chǎn)生折痕. 以此類推，把CD中的15個(gè)點(diǎn)都對(duì)折到點(diǎn)Z，并將所有折痕勾勒出的痕跡描畫(huà)出來(lái)[4]. 學(xué)生以同桌兩人為小組，合作完成折紙實(shí)驗(yàn)，教師巡視課堂，并給予針對(duì)性指導(dǎo). 當(dāng)課堂上有一半學(xué)生完成了折紙實(shí)驗(yàn)，教師提出新問(wèn)題.

問(wèn)題2：在折紙實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，涉及了哪些關(guān)鍵元素？比如動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、定直線. 這些關(guān)鍵元素之間有什么關(guān)系？

學(xué)生以四人為小組，帶著問(wèn)題繼續(xù)體驗(yàn)折紙的樂(lè)趣并思考其中的奧秘，在交流討論的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 學(xué)生可得出結(jié)論：“折痕形成的軌跡是拋物線”“點(diǎn)Z是一個(gè)定點(diǎn)”“15個(gè)點(diǎn)實(shí)際上是一條定直線”“折痕與拋物線相切，切點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)”，等等.

問(wèn)題3：我們?cè)跈E圓、雙曲線的“作圖實(shí)驗(yàn)”中發(fā)現(xiàn)了它們的幾何性質(zhì)并得出定義，那么在拋物線的折紙實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)到拋物線的哪些幾何性質(zhì)？（教師利用Hawgent皓駿演示折紙實(shí)驗(yàn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，如圖2所示，揭示其中的原理，并得出結(jié)論：拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)Z的距離與到定直線CD的距離相等）

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的階段2——引導(dǎo)定向，即教師為學(xué)生仔細(xì)安排活動(dòng)順序，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向，逐漸熟悉所學(xué)習(xí)對(duì)象的特性. 本設(shè)計(jì)將折紙實(shí)驗(yàn)分化為問(wèn)題鏈，以螺旋上升的認(rèn)知方式引導(dǎo)學(xué)生探究拋物線的幾何性質(zhì). 在這個(gè)階段中，教師幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中明確探究方向，調(diào)動(dòng)學(xué)生的感官與思維，使學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)構(gòu)建的過(guò)程. Hawgent皓駿在該環(huán)節(jié)中不僅動(dòng)態(tài)地表征了折紙實(shí)驗(yàn)中多個(gè)關(guān)鍵元素的內(nèi)在聯(lián)系，而且將折紙?jiān)韽碾[匿化為可視，使得數(shù)學(xué)思維過(guò)程清晰化，極大地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

（3）抽象概括，形成概念

師：通過(guò)以上的探究活動(dòng)，我們知道了拋物線的幾何性質(zhì)，類比橢圓、雙曲線的定義方式，同學(xué)們是否可以用簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述拋物線的定義？

通過(guò)學(xué)生總結(jié)、教師點(diǎn)評(píng)，得出拋物線的定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線. 點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.

師：在定義中強(qiáng)調(diào)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，倘若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F會(huì)出現(xiàn)什么情況？

師：我們已經(jīng)用文字語(yǔ)言概括了拋物線的定義，那么用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言又該如何表示呢？假設(shè)M（x，y），求平面內(nèi)到定點(diǎn)F（0，1）與到定直線l：y=-1距離相等的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

以此類推，可以根據(jù)距離公式得出另外三種標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：橢圓與雙曲線都是只有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，而拋物線卻有四種標(biāo)準(zhǔn)方程，四種標(biāo)準(zhǔn)方程是如何變化得來(lái)的？（教師同時(shí)利用Hawgent皓駿演示拋物線的解析式與圖像變換的動(dòng)態(tài)過(guò)程，如圖3所示，并引導(dǎo)學(xué)生建立表格總結(jié)變換關(guān)系）

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的階段3——闡明，即通過(guò)前面的經(jīng)驗(yàn)和教師最小程度的提示，讓學(xué)生明確詞匯和術(shù)語(yǔ)的意義. 在本環(huán)節(jié)中教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概念，幫助學(xué)生糾正習(xí)慣措詞，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. Hawgent皓駿在該環(huán)節(jié)中有效結(jié)合數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言，突出呈現(xiàn)兩者的變換關(guān)系，有利于學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，對(duì)拋物線形成清晰表象及全面認(rèn)識(shí).

（4）全面掌握，理性認(rèn)知

師：學(xué)習(xí)了新知識(shí)，你能說(shuō)明二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像為什么是拋物線嗎？指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.

師：獨(dú)自完成教材例題及隨堂練習(xí)，并進(jìn)行小組互檢討論.

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的階段4——自由定向，范希爾認(rèn)為這個(gè)階段是自由探索的. 學(xué)生在遇到不同作業(yè)的時(shí)候，尋找解決方法和解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得了寶貴的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn). 教師在設(shè)置習(xí)題時(shí)要注意問(wèn)題的開(kāi)放性以及層次性，為不同認(rèn)知水平的學(xué)生提供實(shí)踐機(jī)會(huì)，使得學(xué)生能夠?qū)W有所用、學(xué)有所成，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的成就感，找到適合自己的學(xué)習(xí)方式.

（5）總結(jié)提升，內(nèi)化新知

師：學(xué)習(xí)完這節(jié)課，同學(xué)們對(duì)拋物線有哪些新的認(rèn)識(shí)？在解決拋物線這類問(wèn)題中，同學(xué)們認(rèn)為有哪些解題關(guān)鍵？有什么解決方法可以讓其他同學(xué)借鑒一下？

設(shè)計(jì)依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的階段5——整合. 經(jīng)過(guò)一系列的學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)的新知識(shí)以及所用的方法，并將新知識(shí)內(nèi)化到學(xué)生自有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，形成知識(shí)脈絡(luò)，加深對(duì)新知識(shí)的理解.

總結(jié)與反思

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程. 基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿的數(shù)學(xué)創(chuàng)課設(shè)計(jì)充分發(fā)揮了范希爾理論的理論指導(dǎo)意義和教育信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì). 從創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生直觀感知生活、物理和數(shù)學(xué)中的拋物線，到引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)探究拋物線的幾何性質(zhì)，然后學(xué)生通過(guò)類比等方法得出拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，再到學(xué)生在解決拋物線相關(guān)的問(wèn)題中全面掌握拋物線，一直最后學(xué)生回顧與總結(jié)新知，并內(nèi)化到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，各教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、層層深入，由特殊到一般、由具體到抽象，與學(xué)生的幾何思維水平緊密契合;適當(dāng)運(yùn)用Hawgent皓駿輔助教學(xué)，活靈活現(xiàn)、直觀地展示數(shù)學(xué)對(duì)象動(dòng)態(tài)生成的全過(guò)程，從而將數(shù)學(xué)抽象、直觀感知和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?中華人民共和國(guó)教育部制訂. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] ?韋爽. 動(dòng)態(tài)幾何環(huán)境下基于范希爾理論的幾何概念教學(xué)研究[D].遼寧師范大學(xué)，2017.

[3] ?中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)A版選修2-1[M]. 北京：人民教育出版社，2008.

[4] ?呂增鋒. “同課同構(gòu)”：給教學(xué)注入“工匠精神”——以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（28）.