胡 松 (江蘇省南京市第二十九中學初中部 210000)

初中數(shù)學中，不同教學內(nèi)容在教師心目中的難度各有不同，既有“全等三角形的判定”“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”這樣難啃的硬骨頭，也有像“線段、射線、直線”“一元一次方程”這樣“簡單”的課．這些簡單的課有幾個基本特征：教材內(nèi)容相對容易理解，甚至是學生自己看看就會；教學內(nèi)容相對偏少，甚至是15分鐘就能講完；教學內(nèi)容不常被評價，甚至是考試基本不考．但是，當筆者觀摩并實踐過很多這樣的簡單的課以后，發(fā)現(xiàn)簡單的課其實并不簡單，其實施過程中存在不少問題．本文就試著通過一些課例闡述如何把“簡單”的課上得“不簡單”．

1 挖掘簡單知識背后不簡單的思考

那些所謂學生自己看看就會的課，我們到底要讓學生“會”什么？有的教師直接讓學生自己看看書，或者用很短的時間把知識介紹一下．如果學生真的輕松就能掌握這些知識，那么教師就應該充分挖掘教材內(nèi)容，利用空余出來的教學時間將蘊藏在內(nèi)容背后的思考方式體現(xiàn)出來，為學生習得方法提供有利條件．

案例1蘇科版七年級上冊6.1“線段、射線、直線”

這是初中平面幾何的第一節(jié)課，在很多教師看來除了三種圖形的表示方法是初中階段的新內(nèi)容，其他都是在小學階段就已熟悉的知識．但仔細分析本節(jié)課的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)隱藏其背后的幾何學習的思考方式．線段、射線、直線是基本的幾何圖形，是構(gòu)成其他復雜圖形的要素，這三者間既有密切聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別，它們的概念、性質(zhì)、表示方法、畫法等都是幾何的重要基礎知識，是后續(xù)學習圖形和幾何及其他數(shù)學知識的必備知識．從這里開始，我們將逐步幫助學生建立完整的數(shù)學語言體系，即“圖形語言—文字語言—符號語言”，并逐步幫助學生弄清幾何研究的基本思路，即從圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的角度展開研究．所以，這節(jié)課是平面幾何學習的起點，也是一個典型案例．

基于以上分析可以發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課要在小學學習的基礎上進一步認識線段、射線、直線，并掌握“兩點確定一條直線”的基本事實，理解“確定”含義中的存在性和唯一性.不僅如此，還要初步學會幾何語言的應用，能夠根據(jù)圖形選擇恰當?shù)奈淖趾头栠M行表述，能夠理解文字和符號所表達的圖形及關(guān)系．這樣的幾何研究的方法應該從第一節(jié)課就開始滲透．

挖掘出有深度的思考內(nèi)容，教師就不會覺得簡單到學生自己看看就會，課堂設計就一定不會單薄，反而能夠豐滿充實并且引發(fā)學生深入思考．

問題1 談談你對線段、射線、直線的認識．

問題2 請你分別畫一條線段、射線、直線，再談談你對它們的認識.

問題3 如何區(qū)分你們畫的這些不同的線段、射線和直線呢？

問題4 我們知道了線段、射線和直線的圖形表達、文字表達和符號表示，那么直線和其他圖形之間又有哪些關(guān)系呢？

問題5 觀察下列圖形(圖1)，說出畫圖過程.

設計意圖《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中，在小學4-6年級的課程內(nèi)容中規(guī)定：結(jié)合實例了解線段、射線和直線．學生在小學已經(jīng)認識了線段、射線、直線，問題1是對學生的原有知識進行的一次喚醒，激活學生知識結(jié)構(gòu)中的生長點．

從問題1的會說到問題2的會畫，要求更進一步，學生畫線段、射線、直線，從形的角度直觀思考它們的區(qū)別和聯(lián)系，這比問題1里簡單地要求學生辨識和認識的要求更高一點：在問題2中，要求學生能夠從形狀、大小的角度較為準確地進行描述，從而學習“延長”和“反向延長”的畫圖語言和動作，認識延長線和反向延長線．問題3是符號語言的登場．這個環(huán)節(jié)設計了一系列的問題串，讓學生在自主探究中思考三者的表示方法，進而對線段、射線、直線的聯(lián)系和區(qū)別有不斷理性的認識．

幾何研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，研究完了前3個問題，也就經(jīng)歷了從“圖形語言—文字語言—符號語言”的完整過程，接下來就應該研究圖形的位置關(guān)系了.問題4需要讓學生認識的基本位置關(guān)系是“點與線”和“線與線”，當然，學生可能還會提到直線與射線、直線與線段、射線與射線、射線與線段、線段與線段等關(guān)系．問題5的設計要求學生再從圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言和文字語言，有一定難度，尤其是符號語言和文字語言的描述，既要考慮到符號語言的規(guī)范性又要考慮到文字語言的邏輯性．

2 挖掘簡單技能背后不簡單的思維

有的“簡單課”內(nèi)容少、方法簡單，學生很快掌握了技能，之后教師認為只需要通過大量訓練進行鞏固就能完成一節(jié)課的教學目標．這樣理解技能的獲得就把數(shù)學學習想得過于簡單了．數(shù)學學習如果僅僅通過訓練就可以達到目的，那么對學生能力的提升沒有本質(zhì)幫助．教師要能夠研究方法的內(nèi)涵，看看方法背后有沒有數(shù)學思維值得挖掘，比如數(shù)學思維和其他內(nèi)容之間是否一以貫之，數(shù)學技能的得來過程是否比結(jié)果更有價值等．

案例2蘇科版七年級下冊8.1“同底數(shù)冪的乘法”

從教材文本來看，這節(jié)課只要求學生掌握一個公式，即同底數(shù)冪的乘法公式．這個公式本身并不難推導，應用也比較單一，但這個乘法法則的背后承載著學習數(shù)學所需要的理性思維．“冪的運算”是初中代數(shù)“式的運算”的一部分，“冪”在初一學生的知識結(jié)構(gòu)中應該屬于單項式．因為在他們的認知里，a2，a3等都是冪，它們都是單項式.既然已學習了單項式的運算，為什么冪的運算要單獨研究？這是第一個要思考的問題．其實在這一章里，負指數(shù)的引入讓學生認識到冪(數(shù)字除外，如23)不一定是整式，這也是這一章單獨研究的必要性的體現(xiàn)．其次，冪的運算應該和其他運算一樣，既有加減，也有乘除、乘方．數(shù)學的一致性告訴我們，數(shù)的運算、式的運算都應該保持研究方法的一致性.為什么這一章沒有研究加減運算？因為冪的加減運算中只有底數(shù)相同、指數(shù)相同的冪(數(shù)字除外，如23)才可以進行加減，法則就是整式加減的方法——合并同類項．最后，這一節(jié)研究的乘法運算為什么不叫“冪的乘法”而叫“同底數(shù)冪相乘”呢？這還是涉及到冪的乘法的特殊性．為什么同底數(shù)的兩個冪(數(shù)字除外，如23)才可以相乘，而不同底數(shù)的冪不能相乘？是如何想到要把兩個同底數(shù)冪相乘的？這樣的思維過程不能不展示給學生，而不是告訴學生我們只學習同底數(shù)冪的乘法．

基于以上的分析，這節(jié)課大有文章可做．數(shù)學課不應只是教教材，更要培養(yǎng)學生的理性思維能力．教材里那些隱藏在方法法則四周而沒有體現(xiàn)成顯性文本的東西，往往正是我們需要挖掘的．這里，讓學生體會冪的運算是數(shù)的運算的延續(xù)，是式的運算的一類，所以其研究思路保持一致，也應該從加減、乘除、乘方各種運算的角度進行研究．其中冪的加減運算使用了整式加減的法則(合并同類項)，因而這一章的研究從乘法開始．這樣的教學把知識之間的邏輯關(guān)系展現(xiàn)給學生，把教學從一個公式擴展成一個過程、一種研究思路、一種思維方法．

有了這樣的思考，教師會發(fā)現(xiàn)這節(jié)課有太多內(nèi)容可以深挖，絕不是“15分鐘”可以解決的內(nèi)容了．課堂設計開放有度、引導有路，學生的數(shù)學素養(yǎng)便會隨之得到提升．

問題1 光在真空中的速度約是3×108m/s，光在真空中穿行1年的距離為1光年．

請你算算：

(1)1光年約是多少km(1年以3×107s計算)？

(2)銀河系的直徑達10萬光年，約是多少km？

(3)如果一架飛機的飛行速度為1 000 km/h，那么光的速度是這架飛機速度的多少倍？

問題2 我們研究冪的運算有其必要性，那么我們先弄清楚兩個問題：

(1)什么是冪？

(2)我們學習過哪些運算？

問題3 請你自行研究冪的加減法．

問題4 請你自行研究冪的乘法．

設計意圖問題1給出需要冪的運算參與的實例，目的之一是體現(xiàn)本章學習的必要性，另一個目的是體現(xiàn)冪的乘法的運算，可以根據(jù)乘方意義來，但是比較繁瑣．問題2提了兩個關(guān)鍵問題．任何研究不搞清楚研究對象是無法展開活動的，搞清楚冪的運算就是要學生去和學過的知識進行不斷的碰撞，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系和區(qū)別，進而思考如何展開冪的運算的研究．問題3是教材中沒有的內(nèi)容，卻是學生研究過程中自然產(chǎn)生的部分．在這個研究過程中，才會有冪的加法有的可以進行、有的不能進行這樣的“思維沖突”，這個沖突是本章所有研究的必然產(chǎn)物，也是為乘法的研究做鋪墊．冪有底數(shù)和指數(shù)之分，所以需要對加數(shù)分類討論，分別研究發(fā)現(xiàn)只有最后一種可以相加，使用的法則是整式的加法法則．問題4是這節(jié)課的重點內(nèi)容，也是前面兩個環(huán)節(jié)之后的自然生成．這時候?qū)W生再看乘法就有了一定的思維高度，能夠自行進行分類、猜想、推理論證了．

3 挖掘簡單操作背后不簡單的思想

有的內(nèi)容涉及操作，這些操作看似對學生知識的掌握沒有太大作用，甚至操作的問題考試不會考．于是，有的教師在課堂上也“簡單操作”，要么用視頻演示的方式，要么一帶而過，或者干脆讓學生課后自己“玩一玩”．細想來這些內(nèi)容被安排在教材文本中一定是有其用意的，要么對知識的呈現(xiàn)起到推動作用，要么對知識本身起到驗證作用，要么起到應用知識從而能內(nèi)化成學生的數(shù)學素養(yǎng)的作用．這些是教師不能忽視的地方，需要深入挖掘．

案例3蘇科版七年級上冊5.1“豐富的圖形世界”第二課時

第二課時的內(nèi)容是“七巧板”．七巧板是啟發(fā)智力的好伙伴．它能夠把孩子對實物與形態(tài)之間的橋梁架構(gòu)起來，培養(yǎng)觀察力、想象力．七巧板的教育意義很多，形狀概念、視覺分辨、視覺記憶、手眼協(xié)調(diào)等是針對低齡兒童的，初中生已經(jīng)逐步成長為少年，在認知程度上精確性、概括性得以發(fā)展，在空間知覺上帶有更大的抽象性，在觀察力發(fā)展上目的性、持久性、精確性和概括性都有了顯著的發(fā)展．這一內(nèi)容安排在初一年段，但是在考試中幾乎不會評價，所以很多教師覺得這節(jié)課就是“玩玩”．細想一下，對于初中生來說，研究“七巧板”就不能再像兒童時期那樣沒有目的或者目的模糊地觀察、拼圖了．立足于對幾何圖形的基本認識，發(fā)展學生的幾何直觀和空間想象能力成為這節(jié)課的基本目標．面對熟悉又有點陌生的七巧板，學生要能夠通過觀察說出七巧板各個圖形之間的形狀、大小和位置關(guān)系，再根據(jù)自己的觀察制作七巧板；利用做出的七巧板進行拼圖，并向同伴清晰地描述拼圖的流程．這種數(shù)學運用的意識完全符合“用數(shù)學的眼光看、用數(shù)學的思維想、用數(shù)學的語言說”的核心素養(yǎng)．

對七巧板有了這樣的認識，教師會理解教材這樣編排的用意，七巧板也絕不是簡單的“玩玩”而已．課堂設計就一定會既有高度又有深度．

問題1 你知道七巧板嗎？你能說出七巧板中各圖形之間的關(guān)系嗎？

追問1 七巧板由哪些圖形組成？

追問2 你關(guān)注到這些圖形間有什么聯(lián)系，有什么區(qū)別了嗎？

問題2 根據(jù)剛剛觀察分析的結(jié)論，用手中的紙片制作一個七巧板．

問題3 (1)請利用你所做的七巧板拼出你喜愛的圖形，并向同伴說明你拼圖的過程．(2)請把你的拼圖過程講給全班同學聽，看看大家是否能準確地拼出你想要的圖形．

設計意圖問題1引導學生觀察七巧板，理性地從每一塊圖形的整體和局部去分析圖形的形狀和大小，再從七塊板之間的關(guān)系入手分析．這一環(huán)節(jié)既體現(xiàn)初中數(shù)學的抽象思維也訓練了學生有條理地表達，通過對這些圖形的各個要素的解讀，進一步鞏固學生的圖形研究的思路和方法，并讓學生進一步體會數(shù)學語言的精確和簡練．問題2把那些經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為實踐，讓學生手腦并用制作七巧板．這一環(huán)節(jié)能夠很好地培養(yǎng)學生動手動腦的能力，既運用了問題1中的經(jīng)驗，又為問題3做了工具的準備．問題3要求運用七巧板進行拼圖，但這里的拼圖不是單純地拼，不是只追求圖案美觀，這里有兩個層次的要求：一是能將自己的拼圖過程準確表達出來，二是能夠根據(jù)別人的表達將圖形準確拼出來．

總之，“簡單”的課要“不簡單”地上．教師只有從教材本身出發(fā)，充分挖掘顯性知識背后的隱形價值，引導學生經(jīng)歷豐富的數(shù)學活動，體驗數(shù)學思想方法，方可真正發(fā)揮數(shù)學育人的價值功能，讓學生體會數(shù)學學科的廣度與深度，從而發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)．