戴啟猛

【摘要】追求有深度的數(shù)學(xué)課堂不是追求教學(xué)的“繁難偏”，而是通過(guò)教師的深度鉆研，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，力求呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，讓教學(xué)因?yàn)閹熒纳疃人伎级兊煤?jiǎn)單、清晰與生動(dòng)。文章從深究教材以引領(lǐng)學(xué)生觸及數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)、注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)等幾個(gè)方面展開(kāi)說(shuō)明，達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

【關(guān)鍵詞】深究教材;指向本質(zhì);深度學(xué)習(xí);有深度的課堂

中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是教會(huì)學(xué)生思考。初中數(shù)學(xué)“四度六步”教學(xué)法提出的追求有深度的數(shù)學(xué)課堂不是追求教學(xué)的“繁難偏”，而是通過(guò)教師的深度鉆研，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，力求呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，讓教學(xué)因?yàn)閹熒纳疃人伎级兊煤?jiǎn)單、清晰與生動(dòng)。換言之，有深度的數(shù)學(xué)課堂是一種變復(fù)雜為簡(jiǎn)單、深入淺出的教學(xué)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到充分的滋養(yǎng)。

一、深究教材，指向本質(zhì)

章建躍博士說(shuō)，教好數(shù)學(xué)的前提是自己先把數(shù)學(xué)理解好，數(shù)學(xué)理解不到位，不可能產(chǎn)生好課。那么如何提高數(shù)學(xué)理解水平呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面人手：一是了解概念的背景，知道概念的邏輯意義;二是理解內(nèi)容所反映的思想方法，懂得知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過(guò)程和價(jià)值觀資源;三是懂得區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí);等等。有深度的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是要引領(lǐng)學(xué)生觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)蘊(yùn)的思想和方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者以“運(yùn)用平方差公式因式分解”教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生走向數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。以下通過(guò)例題進(jìn)行說(shuō)明。

引例1根據(jù)因式分解的概念，判斷下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？

觀察這些多項(xiàng)式因式分解的過(guò)程，你有什么-發(fā)現(xiàn)？

教師通過(guò)引例1幫助學(xué)生復(fù)習(xí)并強(qiáng)化因式分解的概念，即把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式，夯實(shí)了本節(jié)課的教學(xué)基礎(chǔ)，找到學(xué)習(xí)新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”;引例2復(fù)習(xí)并強(qiáng)化了運(yùn)用提公因式法因式分解，幫助學(xué)生自然生發(fā)探求因式分解的新方法;引例3引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和對(duì)比等式，啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)新知的邏輯意義。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)因?yàn)橛幸?和引例2的鋪墊，引例3的設(shè)計(jì)相比教材直接提出“多項(xiàng)式a²-b²有什么特點(diǎn)？你能將它分解因式嗎？”的思考問(wèn)題，從而給出因式分解的平方差公式更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。因?yàn)檫@既照顧了學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，又能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)因式分解平方差公式的過(guò)程，感悟運(yùn)用平方差公式因式分解的本質(zhì)特征?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，抽象概括，運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷。教師還應(yīng)揭示知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生厘清相關(guān)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，讓他們體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，引領(lǐng)學(xué)生觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

對(duì)于深究教材，筆者認(rèn)為除了要在概念、公式、法則、定理及性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解上下功夫，還要對(duì)教材中的例題和習(xí)題進(jìn)行細(xì)致地琢磨，用心領(lǐng)悟編者的意圖。教材中的例題和習(xí)題不僅具有解題的示范功能，更具有問(wèn)題的拓展功能。筆者通過(guò)對(duì)中考命題的研究，發(fā)現(xiàn)以教材中的例題和習(xí)題為題根（母題）命制中考試題可謂俯拾皆是。這也是中考試題凸顯源于教材又高于教材的命題理念，突出中考試題考查數(shù)學(xué)通性通法的命題要求。為此，教師應(yīng)對(duì)本地區(qū)乃至國(guó)內(nèi)各地區(qū)歷年中考試題進(jìn)行深入的研究與思考，找到其與教材中的例題和習(xí)題的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而在提高學(xué)生解題能力的同時(shí)提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、注重思維，深度學(xué)習(xí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的核心。浙江師范大學(xué)任樟輝教授曾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該看成是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過(guò)程以及數(shù)學(xué)思維結(jié)果這二者的結(jié)合，因而可以說(shuō)數(shù)學(xué)思維是動(dòng)的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)知識(shí)本身是靜的數(shù)學(xué)，這二者是辯證的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系就猶如人體的血肉關(guān)系，血液之榮枯外現(xiàn)于形體之盛衰。就是說(shuō)數(shù)學(xué)思維能力的強(qiáng)弱直接影響著人們掌握和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的廣狹和深淺?！?/p>

我們知道，學(xué)生的發(fā)展主要依賴(lài)于間接經(jīng)驗(yàn)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)主要依靠理性思維。因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象是抽象的，它決定了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間存在著內(nèi)在的差距。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)本質(zhì)難以通過(guò)生活體驗(yàn)而獲得理解，因此，直接經(jīng)驗(yàn)一般不能成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要基礎(chǔ)。2019年筆者曾應(yīng)邀參加一次省級(jí)主題教研活動(dòng)，聽(tīng)評(píng)了一節(jié)關(guān)于“運(yùn)用平方差公式因式分解”的課。授課教師首先以這樣的一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行課堂導(dǎo)人。

如圖1.公園有一塊正方形草地需要重新做景觀規(guī)劃，從中挖掉一塊小正方形做花圃。測(cè)得大正方形的邊長(zhǎng)為66.6米，小正方形的邊長(zhǎng)為33.4米，那么剩下的草地面積是多少平方米？

通過(guò)分析，教師引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題。

問(wèn)題1：請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)，你是如何計(jì)算的？

問(wèn)題2：愛(ài)思考的小明在直接計(jì)算時(shí)，遇到了困難，于是他轉(zhuǎn)念一想，是否可以從圖形入手，將不規(guī)則的圖形分割、拼接成規(guī)則圖形呢？你是否也能受小明的啟發(fā)，找到解決問(wèn)題的方法？

很顯然這是教師為了讓學(xué)生在“經(jīng)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)而絞盡腦汁創(chuàng)設(shè)的“生活”情境。然而通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)，這是一種片面強(qiáng)調(diào)學(xué)生“直接經(jīng)驗(yàn)”“生活體驗(yàn)”的低效的教學(xué)設(shè)計(jì)。教育教學(xué)既要適應(yīng)學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平，又要超越學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平，并積極地促進(jìn)其發(fā)展。從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律看，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生所掌握的概念大部分是具體的，可以直接感知的，要求他們說(shuō)出概念主要的、本質(zhì)的內(nèi)容比較困難，但他們的思維中也有抽象概括的成分;小學(xué)高年級(jí)學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)運(yùn)用抽象概念進(jìn)行思維，辨別概念中的本質(zhì)與非本質(zhì)特征，掌握初步的科學(xué)定義，獨(dú)立進(jìn)行邏輯論證，思維水平逐步從以具體形象思維為主過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主;中學(xué)生的思維能力獲得迅速發(fā)展，抽象邏輯思維處于優(yōu)勢(shì)地位，從初中二年級(jí)開(kāi)始，學(xué)生的抽象邏輯思維開(kāi)始由經(jīng)驗(yàn)型水平向理論型水平轉(zhuǎn)化，到高中二年級(jí)初步完成。根據(jù)學(xué)生智能發(fā)展的特點(diǎn)，初中學(xué)生是可以離開(kāi)直接經(jīng)驗(yàn)而有效地接受抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的，這時(shí)教師應(yīng)及時(shí)提高數(shù)學(xué)教學(xué)的抽象水平，發(fā)揮間接經(jīng)驗(yàn)的作用，發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維。在教學(xué)中，既要有最基本、最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)做基礎(chǔ)，又要有科學(xué)獲取知識(shí)的方法做保障，這樣學(xué)生才能有創(chuàng)造性的、持續(xù)發(fā)展的源泉和動(dòng)力。

數(shù)學(xué)思維是對(duì)人類(lèi)思維實(shí)踐的理性總結(jié)，也是對(duì)思維過(guò)程的形式概括，包括概念與判斷、辨別與比較、分析與綜合、歸納與演繹等，它們既是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的一般規(guī)律，又是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的有效手段。為此，追求有深度的數(shù)學(xué)課堂，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展有針對(duì)性的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使學(xué)生在思維訓(xùn)練過(guò)程中掌握知識(shí)、形成技能、培養(yǎng)能力、發(fā)展智力，形成正確的世界觀。

三、深度學(xué)習(xí)，提升素養(yǎng)

深度學(xué)習(xí)是在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。面向未來(lái)世界的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者必須獲得對(duì)概念更深層次的理解。有研究表明，與以識(shí)記、復(fù)述知識(shí)等為特征的淺層學(xué)習(xí)不同，深度學(xué)習(xí)是學(xué)生想要去理解以及從學(xué)習(xí)內(nèi)容中提取意義的結(jié)合。理解，不僅僅是單純字面上的知道、了解、明白，它更強(qiáng)調(diào)深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗(yàn)證、應(yīng)用等更有難度、更加復(fù)雜和更具綜合性的學(xué)習(xí)結(jié)果。但僅僅有這樣的理解也不夠，還需要學(xué)生能夠?qū)⑦@些已經(jīng)理解的知識(shí)應(yīng)用于生活，即理解是學(xué)生靈活地運(yùn)用所知進(jìn)行思考和行動(dòng)的能力。

例如上述所列舉的“運(yùn)用平方差公式因式分解”的教學(xué)，我們知道平方差公式是乘法公式的一種，而乘法公式是在進(jìn)行整式乘法運(yùn)算時(shí)，對(duì)一些特殊情況歸納出的簡(jiǎn)化運(yùn)算的特殊形式。整式乘法法則是一般性的法則，乘法公式是整式乘法法則的特殊情形，是一般法則形式下特殊形式的特征表達(dá)。因?yàn)閷W(xué)生有了整式乘法公式學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的初步積累，所以在教學(xué)運(yùn)用平方差公式因式分解時(shí)，更應(yīng)在深度理解公式上下功夫。也就是要設(shè)法讓學(xué)生經(jīng)歷歸納公式的全過(guò)程，而不能僅用一個(gè)枯燥的問(wèn)題思考就引出公式。因此，在該內(nèi)容的教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生理解引例3第（1）至第（3）問(wèn)的算理是整式乘法平方差公式，第（4）至第（6）問(wèn)是整式變形，屬于逆向使用整式乘法平方差公式對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，還要特別強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷歸納公式的過(guò)程，要在教學(xué)中潛移默化地教給學(xué)生一些基本解題規(guī)律。這個(gè)基本解題規(guī)律其實(shí)和概念教學(xué)是類(lèi)似的，也要經(jīng)過(guò)歸納公式（舉三反一，概括其本質(zhì)屬性）一表示公式（用文字、符號(hào)語(yǔ)言表示）一辨析公式（找出相似的概念、式子、定理、圖形等的區(qū)別和聯(lián)系，把眾多單一知識(shí)構(gòu)建成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，做到解一道題，能聯(lián)想一類(lèi)題，會(huì)解一串題）的過(guò)程。心理學(xué)家克魯切茨基認(rèn)為，解答數(shù)學(xué)題時(shí)的心理活動(dòng)有三個(gè)基本階段：一是收集解題所需要的信息;二是對(duì)信息進(jìn)行加工，獲得一個(gè)答案;三是把有關(guān)這個(gè)答案的信息保持下來(lái)。它的每一個(gè)階段都和一種或多種能力相適應(yīng)。數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生比能力稍弱的學(xué)生能更好地抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，迅速而容易地概括數(shù)學(xué)材料：在邏輯論證上則傾向于越過(guò)中間步驟，靈活變換其他的解題方法;必要時(shí)，他們能容易地逆轉(zhuǎn)思維的進(jìn)程。一般地，數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生往往偏于記憶題目中的關(guān)系和解題的原理，而能力弱的學(xué)生則偏于記憶題目的具體細(xì)節(jié)。教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目中的關(guān)系和解題的原理，重視揭示問(wèn)題的知識(shí)本質(zhì)。

為此，教師應(yīng)力求創(chuàng)設(shè)前人發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、公式、定理和性質(zhì)的過(guò)程，讓學(xué)生深層次理解數(shù)學(xué)概念、公式、定理和性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)，這就意味著學(xué)生擁有的知識(shí)是圍繞著數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念、主題及問(wèn)題組織起來(lái)的，是從多角度對(duì)其加以表征的，并能在真實(shí)、復(fù)雜情境中應(yīng)用的知識(shí)。只有學(xué)生知道在什么樣的情境中應(yīng)用這些知識(shí)，知道在面對(duì)新的、真實(shí)的情境時(shí)如何調(diào)適、修正這些知識(shí)，在他們能夠解釋信息、創(chuàng)建模型、解決問(wèn)題、建立與其他概念和學(xué)科及真實(shí)情境的關(guān)聯(lián)從而形成理解世界的新方式時(shí)，我們才認(rèn)為發(fā)生了真實(shí)的、有深度的學(xué)習(xí)，這樣的課堂才算得上是有深度的數(shù)學(xué)課堂。