羅增儒

【摘要】開展數(shù)學核心素養(yǎng)的教學，把握數(shù)學本質(zhì)是前提。在認識現(xiàn)象與本質(zhì)的基礎(chǔ)上，作者對把握數(shù)學的本質(zhì)進行了數(shù)學是什么、教學抓什么和具體怎么抓三個層面的思考，認為數(shù)學思想是由數(shù)學知識通往數(shù)學核心素養(yǎng)的橋梁。教師開展數(shù)學核心素養(yǎng)教學的一個基本框架是把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，提出相關(guān)的數(shù)學問題，引發(fā)學生的認知沖突，組織互動探究（或主題站位）的教學活動，形成“數(shù)學化”的深度學習。

【關(guān)鍵詞】素養(yǎng)教學;現(xiàn)象與本質(zhì);數(shù)學本質(zhì);數(shù)學思想;課堂落實

當前的數(shù)學教學已經(jīng)從知識導(dǎo)向轉(zhuǎn)為素養(yǎng)導(dǎo)向，大家都在探索如何開展數(shù)學核心素養(yǎng)的教學?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課程標準（2017年版）》）指出，基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應(yīng)該把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。這句話既明確了數(shù)學素養(yǎng)教學的課堂落實方向，又強調(diào)了把握數(shù)學本質(zhì)是展開“基于情境、問題導(dǎo)向、深度思維、高度參與”教學的大前提，數(shù)學核心素養(yǎng)的教學決不是剝離數(shù)學、遠離本質(zhì)的表面熱鬧的行為。那么，什么是本質(zhì)？如何把握數(shù)學的本質(zhì)？如何通過把握數(shù)學的本質(zhì)落實數(shù)學核心素養(yǎng)的教學？本文將進行初步的探討。

一、現(xiàn)象與本質(zhì)的關(guān)系

任何事物都有現(xiàn)象和本質(zhì)兩個方面，它們是一對范疇?，F(xiàn)象是事物的外部聯(lián)系，是本質(zhì)的表層呈現(xiàn)，具有豐富性、多樣性和表面性的特征，由感覺器官即能感知;本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，是現(xiàn)象的深層結(jié)構(gòu)，能決定事物的性質(zhì)和發(fā)展的趨向，具有單一性、穩(wěn)定性和深刻性，需由思維才能把握。人們認識事物，總是在實踐中通過對現(xiàn)象的分析，去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，實現(xiàn)從現(xiàn)象到本質(zhì)的升華。下面以兩個案例進行說明。

案例1：第二次世界大戰(zhàn)期間，英關(guān)軍方根據(jù)作戰(zhàn)后幸存飛機上彈痕的分布情況，決定哪些地方彈痕多就加固哪里。然而，統(tǒng)計學家沃德力排眾議，指出更應(yīng)該注意彈痕少的部位，他的思考就是要透過現(xiàn)象看本質(zhì)。試想，如果彈痕多的地方就是飛機的要害，那么為什么飛機還能飛回來？這就說明，彈痕多的部位并非要害，而彈痕少的部位才可能是飛機的要害，要害處被擊中的飛機就都難以幸存了。

案例2：作為對現(xiàn)實世界空間形式的抽象，19世紀的幾何不僅有歐幾里得幾何，而且還有射影幾何、仿射幾何等。1872年，德國數(shù)學家克菜因在愛爾蘭根大學開學致辭時，做了題為“新幾何研究上比較的觀點”的演講，提出“幾何變換群”的著名觀點——后人稱為“愛爾蘭根綱領(lǐng)”。這篇演講總結(jié)了射影幾何、仿射幾何等各種幾何發(fā)展的結(jié)果，認為每一種幾何學都可以看作是在某種變換群下幾何圖形的不變性和不變量的科學體系。由于歐幾里得幾何主要研究全等形和相似形，從變換群的觀點來看，就是研究相似變換群及其子群（合同變換）的不變性和不變量。合同變換是保距變換，相似變換是保角變換，這兩種變換是中學圖形變換的數(shù)學背景。在這里，克萊因用“不變量”的思想來揭示各種幾何的數(shù)學本質(zhì)。

二、數(shù)學的本質(zhì)

如同事物都有現(xiàn)象和本質(zhì)一樣，數(shù)學對象也有內(nèi)容與本質(zhì)兩個方面。數(shù)學內(nèi)容表現(xiàn)為概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等看得見、可呈現(xiàn)的數(shù)學事實;而數(shù)學本質(zhì)則是這些豐富內(nèi)容所共有的深層結(jié)構(gòu)和實質(zhì)思想，需要實踐、反思才能認識。從課堂教學的需要出發(fā)，筆者對數(shù)學本質(zhì)進行了三個層面的思考。

1.從宏觀層面思考，認識數(shù)學是什么

《課程標準（2017年版）》指出，數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學。數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。這就從宏觀層面揭示了數(shù)學概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等的一般性共同本質(zhì)，關(guān)鍵詞有抽象、推理、模型、符號、形式。

這種認識，既與把數(shù)學看成概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等事實的集合不同，也與把數(shù)學看成處理和求解各類數(shù)學問題的各種方法和技巧的匯集不同，而是把數(shù)學看成人類的一種創(chuàng)造性活動。數(shù)學觀決定教學觀，前兩種認識會使人不自覺地把數(shù)學知識看成是一種可以由教師傳遞給學生的純客觀的東西，系統(tǒng)、完整、大容量的數(shù)學課堂可能就會成為教師的追求目標;教師也會特別看重自己教學過程中的示范作用，從而提倡學生在學習過程中的模仿和識記。這樣一來，數(shù)學學習就會以“接受”為主，體現(xiàn)知識導(dǎo)向。

而把數(shù)學看成人類的一種創(chuàng)造性活動就會把數(shù)學教學當作學生在原有認知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上構(gòu)建新認知結(jié)構(gòu)、促進個人發(fā)展的一項創(chuàng)造性活動，關(guān)注學生獲得知識的參與過程，精心創(chuàng)設(shè)有利于學生思維的教學情境，鼓勵學生進行數(shù)學探究活動，使學生學會“數(shù)學地思維”（更一般地，通過數(shù)學學會思維）。這樣一來，數(shù)學學習就會以“再發(fā)現(xiàn)”為主，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向。

2.從中觀層面思考，明確教學抓什么

數(shù)學思想是對數(shù)學知識內(nèi)容及其所使用的方法的本質(zhì)認識。因而，中學階段抓數(shù)學本質(zhì)，可以首先抓住以下一些數(shù)學思想：用字母表示數(shù)，集合與對應(yīng)，方程與函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)換與化歸，特殊與一般，或然與必然，有限與無限，數(shù)學模型等。

教師進行數(shù)學思想的教學，需對教材進行數(shù)學思想提煉，對情境進行數(shù)學思想設(shè)計，對難點進行數(shù)學思想突破，對解題進行數(shù)學思想指導(dǎo)，對總結(jié)進行數(shù)學思想反思，將數(shù)學思想支配數(shù)學教學實踐活動的全過程。

由于數(shù)學思想蘊含于具體的內(nèi)容與方法中，又經(jīng)過了提煉與概括，是隱性的深層知識，因此需要教師在具體的教學中做有意識的啟發(fā)，其基本途徑是在教學中自覺暴露數(shù)學事實的思維過程。如數(shù)學概念的形成過程，數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)過程，數(shù)學結(jié)論的探究過程，特別是在知識總結(jié)階段的反思，以及反思中對思想的概括和提煉。這就要求教師把教學納入學術(shù)活動的軌道。

3.從微觀層面思考，學會具體怎么抓

教師要學會提煉具體的數(shù)學內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學思想。比如函數(shù)是客觀事物運動變化和相依關(guān)系在數(shù)學上的反映，本質(zhì)上是集合間的對應(yīng)（一種特殊的對應(yīng)）。它是中學數(shù)學從常量到變量的一個認識上的飛躍，考慮到學生的接受水平（也尊重知識的發(fā)展歷史），初中階段將其定義為變量（因變量），到了高中階段就直接把函數(shù)定義為集合間的映射。

我們在小學階段曾學過“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，但這只是方程的表象，它的本質(zhì)是含有未知量等式，f（x）=g（x）所提出的問題。首先，這個等式可以表示兩個不同事物具有相同的數(shù)量關(guān)系，也可以表示同一事物具有不同的表達方式;其次，在這個等式所提出的問題中，x依等式而取值，問題依x的取值而決定是否成為等式。解方程就是確定取值a，將其代人x時能使等式f（a）=g（a）為真。這里有兩個最基本的矛盾統(tǒng)一關(guān)系，其一是f（x）、g（x）間形式與內(nèi)容的矛盾統(tǒng)一，其二是x客觀上已知與主觀上未知的矛盾統(tǒng)一。從這一意義上說，解方程就是改變f（x）、g（x）間形式的差異以取得內(nèi)容上的統(tǒng)一，并使x從主觀上的未知轉(zhuǎn)化為客觀上的已知。由此可見，方程的解體現(xiàn)充分條件，解方程的過程體現(xiàn)必要條件，方程的所有解體現(xiàn)充分必要條件。

理解并掌握方程與函數(shù)的數(shù)學思想方法是學好中學數(shù)學的關(guān)鍵。

中學階段學習的數(shù)軸，表象是“含有三個要素”的直線，而本質(zhì)卻是“實數(shù)集合”與“直線上點的集合”之間的兩個思想：集合與對應(yīng)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。同樣，平面直角坐標系、平面解析幾何、平面向量等也有“實數(shù)對集合”與“平面上點的集合”之間的兩個思想。有了這樣的認識后，“復(fù)數(shù)”就好理解了：實數(shù)對應(yīng)直線（數(shù)軸）上的點，復(fù)數(shù)對應(yīng)平面（復(fù)平面）上的點。

小學和中學都有“用字母表示數(shù)”的課題，有的教師把它當作一種方法或技巧來教學。其實，“用字母表示數(shù)”是一種數(shù)學思想，因而，“用字母表示數(shù)”課題的教學，應(yīng)該是數(shù)學思想的教學（有別于定理、法則和方法的教學），其背后還有符號思想、代數(shù)思想和函數(shù)思想。

直線的本質(zhì)特征是由無窮個點組成的一個連續(xù)圖形，兩端可以無限延伸，沒有寬度，很直很直等，但是無法用更基本的概念來加以定義。直線公理“兩點確定一條直線”就是直線本質(zhì)屬性的一種直觀描述。試想，如果“直線”不是很直很直的，那經(jīng)過兩點就可以連出很多曲線;如果“直線”不是兩端可以無限延伸的，那經(jīng)過兩點的線段就可以延伸出長短不一的很多直線來。所以，“兩點確定一條直線”表明，直線是由無窮多個點組成的一個連續(xù)圖形，兩端可以無限延伸，很直很直。與點沒有面積相一致，點動而成的直線也就沒有寬度。同樣，說“兩點之間線段最短”，其實也是用“距離的最小性”來描述“直線的‘直”。

類似地，高中的平面公理是平面本質(zhì)特征的一個刻畫。平面可以無窮延伸，很平很平等不能嚴格定義，但用公理能刻畫出來。試想，如果“平面”不是無窮延伸，那么有一個公共點的兩個平面就可能只有一個公共點或延伸出有限長的公共線、公共區(qū)域;如果“平面”不是很平很平，那么即使無窮延伸也有可能得出公共曲線。同樣，如果“平面”不是很平很平，那么由于直線很直，即使直線有兩個點在平面上，也不能保證整條直線都在平面上。所以，平面公理表明，平面可以無窮延伸，很平很平。

勾股定理的本質(zhì)是直角三角形的代數(shù)描述。由直角三角形與等式c²=a²+b²可以互推表明，它們是同一件事情，只不過有幾何描述（形）與代數(shù)描述（數(shù)）的形式區(qū)別。同樣，余弦定理的本質(zhì)是三角形的代數(shù)描述，由三角形與等式c²=a²+b²-2abcosC可以互推表明，它們是同一件事情，只不過有幾何描述（形）與代數(shù)描述（數(shù)）的形式區(qū)別。

定理“等腰三角形的兩個底角相等”的本質(zhì)是等腰三角形具有自對稱性。也就是說，等腰三角形可以拿起來做一個空中的翻轉(zhuǎn)后，回落下去與原來的位置重合。這是非等腰三角形所不具有的特性（可以全等，但僅僅平移、旋轉(zhuǎn)還無法重合），把這種特性寫下來就是等腰三角形性質(zhì)定理的一個有趣證明。

三角形的內(nèi)角千差萬別，但有一個“不變性”的本質(zhì)，那就是三角形的內(nèi)角和等于180°。進一步還有n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°，n邊形的內(nèi)角和是隨著邊數(shù)的變化而變化的，但不管是三角形、四邊形，還是n邊形，它們的外角和都等于360°，所以說，外角和更加本質(zhì)。從三角形內(nèi)角和的不變性本質(zhì)到n邊形外角和的不變性本質(zhì)，說明數(shù)學本質(zhì)也有層次性。

小學“圓柱表面積”的教學，表面上看是公式教學，而公式的背后是轉(zhuǎn)換與化歸的數(shù)學思想（如圖1）和“變動中的不變性”（克萊因觀點）。在教學過程中，由生活原型提煉數(shù)學概念可以體現(xiàn)數(shù)學抽象，由操作探索提煉數(shù)學公式可以體現(xiàn)邏輯推理，這兩個提煉都有直觀想象，都是通過數(shù)形結(jié)合來完成的，有助于學生空間概念的發(fā)展，至于實際應(yīng)用中的正確列式和準確計算則有助于發(fā)展學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

下面是用方程與函數(shù)的數(shù)學思想指導(dǎo)解題的兩道例題。

例1

甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲;乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲。問甲、乙誰大？大幾歲？

解：在已知條件中，由于不知道甲、乙“現(xiàn)在的年齡”而不知道怎么用;又由于不知道甲、乙誰大，想運算卻沒辦法下手。運用字母表示數(shù)的數(shù)學思想，可設(shè)甲的年齡為y、乙的年齡為x，他們相差k歲，k是一個常數(shù)，約定當k>0時，甲比乙大，而當k<0時，乙比甲大，則有一次函數(shù)關(guān)系y=x+k。

①

這時，已知條件便是這個函數(shù)的三次取值（如圖2）。

三、課堂落實數(shù)學素養(yǎng)教學的兩個建議

在理解《課程標準（2017年版）》的精神后，關(guān)于在課堂中如何落實數(shù)學素養(yǎng)教學，筆者提出以下兩點建議。

1.明確一個認識

數(shù)學思想是由數(shù)學知識通往數(shù)學核心素養(yǎng)的橋梁?！墩n程標準（2017年版）》提出的六個數(shù)學核心素養(yǎng)源于數(shù)學學科知識又超越數(shù)學學科知識。知識是培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的載體，活動是培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的渠道。數(shù)學素養(yǎng)是學生在學習數(shù)學課程的過程中形成的，是對數(shù)學本質(zhì)的深刻認識和深度把握，它能夠引領(lǐng)學生將習得的數(shù)學知識和技能應(yīng)用到日常生活中，幫助學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學的思維分析和解決問題，用數(shù)學的語言表達和交流問題。這是從“數(shù)學知識”（載體）到“數(shù)學思想”（橋梁）再到“數(shù)學素養(yǎng)”（目標）的逐層深入和逐級提升。其中，數(shù)學思想是由數(shù)學知識通往數(shù)學核心素養(yǎng)的橋梁。如果離開知識，素養(yǎng)就會成為無根之花、無源之水;而數(shù)學知識如果不深人到數(shù)學思想，那知識與素養(yǎng)就始終是沒有橋梁連接的川流兩岸。作個比喻，數(shù)學知識就如同一塊鐵礦石（看得見、摸得著），數(shù)學思想是隱藏在礦石里的鐵（要加以提煉才能得出來），而數(shù)學素養(yǎng)則是組成鐵的元素。

2.值得探索的一個框架

數(shù)學素養(yǎng)的形成，不能單純依賴教師的教，而是需要學生參與其中：不能單純依賴記憶與模仿，而是需要感悟與思維。它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗和積累。因此，基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學，要求教師把握內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，提出相關(guān)的數(shù)學問題，引發(fā)學生的認知沖突，組織互動探究（或主題站位）的教學活動，形成“數(shù)學化”的深度學習，這是數(shù)學素養(yǎng)教學的一個基本框架?；谶@一框架的教學，能讓學生在掌握知識技能的同時，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想方法，發(fā)展具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力和價值觀念。

（責任編輯：陸順演）