鄔建寧 戴啟猛

【摘要】本文以人教版數(shù)學(xué)七年級上冊《角》第一課時(shí)教學(xué)為例，闡述“四度六步”教學(xué)法在初中平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用，這節(jié)課以溫習(xí)角、定義角、表示角、度量角、應(yīng)用角為主線，為學(xué)生梳理學(xué)習(xí)幾何基本圖形的思路，打造精彩數(shù)學(xué)課堂，為深入研究平面幾何圖形打下基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 《角》 “四度六步”教學(xué)法 精彩課堂

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）02A-0020-04

人教版數(shù)學(xué)七年級上冊《角》一課，要求學(xué)生能辨認(rèn)角、會(huì)畫角，能給角下定義，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示角。教師在學(xué)生已經(jīng)會(huì)辨認(rèn)角、會(huì)畫角的基礎(chǔ)上，通過豐富的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)角，并能從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種描述給角下定義，再借助類比的學(xué)習(xí)方法了解角的度量方法等，讓學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象，從圖形到文字、到符號(hào)、再到性質(zhì)等，是初中階段研究幾何基本圖形的學(xué)習(xí)思路。

一、復(fù)習(xí)提問，溫故孕新

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了線段、射線、直線和兩點(diǎn)確定一條直線的基本事實(shí)（教師在黑板上任意畫兩個(gè)點(diǎn)A，B），請問過同一平面的兩點(diǎn)能畫多少條直線？

生：一條。

師（在黑板上畫出兩點(diǎn)A，B確定的直線，并在直線右側(cè)標(biāo)上小寫字母l，然后強(qiáng)調(diào)）：對。經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。

師：你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示黑板上的這條直線嗎？

生：直線AB，直線BA，直線l.

師：剛才大家說的都是直線的表示方法，誰能說說這么表示的合理性？

生：根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，我們在直線上任取兩點(diǎn)就可以表示這條直線。也可以用一個(gè)小寫字母表示一條直線。

師：如果老師在直線上再標(biāo)一個(gè)點(diǎn)C，直線AC表示的還是這條直線嗎？

生：是。

師：不錯(cuò)，同學(xué)們在剛才的回顧中抓住了“兩點(diǎn)確定一條直線”的本質(zhì)，準(zhǔn)確地完成了直線的表示。老師還想問大家，經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)可以引出多少條射線？

生：無數(shù)條。

（教師在黑板上畫出一條射線OA）

師：你會(huì)用數(shù)學(xué)語言表示嗎？

生：射線OA.

師：能表示成射線AO嗎？

生：不能，射線的表示要求第一個(gè)字母必須是射線端點(diǎn)的字母。

師：如果從一點(diǎn)出發(fā)的無數(shù)條射線只留下兩條，會(huì)出現(xiàn)什么圖形？

（教師在黑板上畫出圖形，學(xué)生看圖識(shí)角）

生1：一個(gè)角。

生2：銳角。

師：很好。大家都發(fā)現(xiàn)從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的圖形是角，今天老師就和大家一起來學(xué)習(xí)“角”。

評析：教師通過引導(dǎo)學(xué)生回顧熟悉的直線、射線的表示方法和相關(guān)性質(zhì)，為角的概念和角的表示法學(xué)習(xí)生成建立聯(lián)系，進(jìn)行鋪墊，可謂“復(fù)習(xí)提問，溫故孕新”。

二、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：對于角的概念，同學(xué)們并不陌生，請看投影上的圖畫。這幅圖蘊(yùn)含著我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容——角，你能用一句詩來形容這幅圖嗎？（教師板書課題《4.3.1 角》）

生：小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上頭。

師：不錯(cuò)，今天同學(xué)們就是這尖尖角，老師期待你們在今天的課堂上有精彩的表現(xiàn)。

師：在我們的現(xiàn)實(shí)生活中存在著許許多多的角，你們能從教室的物品中找到角嗎？

生1：黑板的邊框上有角。

生2：鬧鐘上的時(shí)針和分針組成角。

生3：課桌上兩條邊成一個(gè)角。

師：同學(xué)們在教室里找了不少角，誰能在老師出示的圖片中找出角的形象？

……

師：這兩張圖片中有很多的角，你們有沒有發(fā)現(xiàn)這兩張圖片中的角有什么不同之處呢？

生：第二張圖片中的角是會(huì)動(dòng)的。

評析：教師通過古詩及讓學(xué)生在生活環(huán)境中找角，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何圖形和相關(guān)知識(shí)的興趣，讓學(xué)生去深刻感受數(shù)學(xué)無處不在，同時(shí)體會(huì)我們的生活離不開數(shù)學(xué)，打造有溫度的課堂。

師：我們身邊的角有靜止的也有會(huì)動(dòng)的，老師把它們的形象代表畫在黑板上，誰能用自己的語言概括一下，怎樣的圖形叫做角？

生：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。（教師板書）

評析：數(shù)學(xué)概念的形成和掌握是建立在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之上的。教師在本環(huán)節(jié)讓學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)觀察身邊的實(shí)物和圖片，初步感知生活中角的形象，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，回憶小學(xué)的知識(shí)，再現(xiàn)角的定義。

師：這個(gè)點(diǎn)叫什么？（生：端點(diǎn)）這兩條射線叫什么？（生：角的兩條邊）這兩條射線之間的部分也稱為角的內(nèi)部，兩條射線以外的部分稱為角的外部。（教師一邊說，一邊在黑板圖上用簡潔的文字標(biāo)注）

評析：教師引導(dǎo)學(xué)生理解角的概念，重點(diǎn)放在對角的典型特征的認(rèn)識(shí)，即認(rèn)識(shí)角的各部分名稱，明確頂點(diǎn)、邊的作用。

師：角可以畫在練習(xí)本上、黑板上，地面上有角，墻面上有角，那么角的位置是由誰決定的？

生：角的頂點(diǎn)。

師：很好。那么角的大小由什么來決定呢？與角的兩條邊的長短有關(guān)系嗎？

生：沒有。

師：角的大小和什么有關(guān)？

生1：角度。

生2：與角的兩條邊張開的大小有關(guān)。

師：角的大小與角的兩邊張開的程度有關(guān)，與兩條邊的長短無關(guān)。如果把沒有打開的圓規(guī)看成一條射線，請同學(xué)們觀察老師手中圓規(guī)的變化，你能說一說，老師手中的角是怎么形成的嗎？

生：角是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。（教師板書）

師：如果把有公共端點(diǎn)的兩條射線形成的角看成角的靜態(tài)定義，我們就可以說這是角的動(dòng)態(tài)定義了。同學(xué)們，你能用角的動(dòng)態(tài)定義來描述平角和周角嗎？

生3：當(dāng)射線OB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OA與起始位置OB在一條直線上時(shí)，形成平角;當(dāng)射線OB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OA與起始位置OB重合時(shí)，形成周角。

師：如無特殊說明，在初中階段所說的角一般都是指小于平角的角。

評析：觀察圓規(guī)的展開，發(fā)現(xiàn)角可以由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，這不僅豐富學(xué)生對角的概念認(rèn)識(shí)，更可以讓學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去描述角。

完成角的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種定義，教師出示下列題組，要求學(xué)生一題一題地判斷并說出錯(cuò)誤的原因，加深對概念的理解。

【判一判】

①角就是兩條射線（? ?）

②平角就是一條直線（? ?）

③角的邊畫得越長角就越大（? ?）

④時(shí)鐘指向18時(shí)整，時(shí)針和分針形成一個(gè)平角（? ?）

評析：認(rèn)識(shí)角的概念，關(guān)鍵是幫助學(xué)生明確角的典型特征（公共端點(diǎn)和兩條射線），容易遺漏的是“公共端點(diǎn)”。教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思辨、交流等活動(dòng)明辨角的概念，意在把學(xué)生的內(nèi)部思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化為外部語言表述，不僅深化對角的理解與認(rèn)識(shí)，更培養(yǎng)了學(xué)生初步使用幾何語言的能力。

三、合作探究，活動(dòng)領(lǐng)悟

師：同學(xué)們已經(jīng)會(huì)從兩個(gè)角度來描述角的定義，每個(gè)新生事物誕生時(shí)，人們總會(huì)給他一個(gè)標(biāo)記，取個(gè)名字。我們小學(xué)時(shí)就已經(jīng)掌握用角的符號(hào)“∠”（讀作“角”）來標(biāo)記角，你能聯(lián)系線段、直線及射線命名的方法給由射線OA，OB組成的角起個(gè)合理的名字嗎？請同桌之間交流討論后再回答老師的問題。

生1：可以在角的頂點(diǎn)上標(biāo)上弧和寫一個(gè)數(shù)字1，這個(gè)角可以表示成∠1.

生2：我覺得可以給這個(gè)角取名為∠O.

師：理由是什么？為什么不命名為∠A或∠B.

生2：因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)決定了角的位置，O點(diǎn)是角的頂點(diǎn)。

師：真棒！你抓住了角的本質(zhì)，有公共端點(diǎn)的兩條射線中的公共端點(diǎn)。如果老師從頂點(diǎn)O再引一條射線OC，還能用∠O來表示這個(gè)角嗎？

生3：這時(shí)候不能用∠O來表示，我想用三個(gè)字母表示這個(gè)角。

師：哪三個(gè)字母？

生3：∠OAB.

師：說一說你用這種方法表示的理由。

生3：因?yàn)檫@個(gè)角是由具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA，OB 組成的。

師（進(jìn)一步追問）：為什么你不選擇∠AOB或∠OBA，而是用∠OAB來給這個(gè)角命名呢？

生3：第一感覺。

師：請你再觀察黑板上的圖形，想想射線的命名，給自己用三個(gè)字母命名角的合理性找找理由。其他同學(xué)有什么不同的意見嗎？

生3：老師，我要改成∠AOB，因?yàn)檫@個(gè)角是由射線OA，OB組成的，但是公共端點(diǎn)O決定了它的位置。

師：其他同學(xué)有不同的意見嗎？

生4：我認(rèn)為還可以表示成∠BOA，因?yàn)橛泄捕它c(diǎn)的兩條射線組成角，但是并沒有規(guī)定邊的順序。

師：很好，三個(gè)大寫字母表示角只要求表示角的頂點(diǎn)字母寫在中間，并不要求表示射線方向的字母順序，這個(gè)角可以表示成∠AOB或∠BOA。由此我們就得到了角的三種表示方法，此外，角也可以用弧線加希臘字母表示，因此角的常用的表示方法有四種。

（教師板書）

角的表示法：

1.用一個(gè)大寫字母表示：表示角的頂點(diǎn)的字母∠O（注：以O(shè)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)）。

2.用三個(gè)大寫字母表示：表示角的頂點(diǎn)的字母寫在中間∠AOB或∠BOA（表示角的頂點(diǎn)字母一定要寫在中間）。

3.用數(shù)字表示：∠1，∠2.

4.用希臘字母表示：∠[α]，∠[β]（必須在圖上標(biāo)注后才能使用，并且只能表示單獨(dú)的一個(gè)角）。

評析：因?yàn)橛新?lián)系，所以有感悟。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。”在教學(xué)中，教師讓學(xué)生討論，大膽猜想，去探究表示角的恰當(dāng)方法，教師通過對學(xué)生命名角的表示法的合理性進(jìn)行追問剖析，緊扣課標(biāo)，強(qiáng)化學(xué)生角的頂點(diǎn)意識(shí)，追求有深度的課堂;教師在學(xué)生討論角的表示方法不完整或不正確時(shí)加以引導(dǎo)和糾正，對學(xué)生領(lǐng)悟角的概念起到了畫龍點(diǎn)睛的作用。

四、師生互動(dòng)，變式深化

【找一找】下面表示∠DEF的圖是（? ?）

【換一換】如圖，你能用不同方式把表格中的角表示出來嗎？

【寫一寫】

（1）寫出圖中能用一個(gè)字母表示的角;

（2）寫出圖中以E為頂點(diǎn)的角;

（3）圖中共有幾個(gè)小于平角的角？

師：通過練習(xí)，請同學(xué)們再次總結(jié)角的表示方法。

評析：完成角的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種定義之后，教師出示一組變式題，通過“找一找”“換一換”“寫一寫”三個(gè)層次的推進(jìn)，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對角的表示法的熟練掌握，更可以通過“換一換”以滿足不同層次學(xué)生的需求，實(shí)現(xiàn)有梯度的課堂。完成練習(xí)后引導(dǎo)學(xué)生再次對角的四種表示方法進(jìn)行總結(jié)，也是絕妙一筆。一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，核心概念理解，問題解決，解題技巧等方法的歸納和梳理，應(yīng)該是隨時(shí)隨地、恰時(shí)恰點(diǎn)發(fā)生，恰到好處，對于重點(diǎn)內(nèi)容的強(qiáng)調(diào)，也應(yīng)是次第重復(fù)，螺旋上升。尤其在教學(xué)中每講解完一道題或一類題，引導(dǎo)學(xué)生回頭思考問題和解法的特點(diǎn)和異同，從而適時(shí)感悟規(guī)律，及時(shí)提煉方法。

師：時(shí)間的度量單位是什么？它們之間有什么關(guān)系？

生：時(shí)、分、秒;1小時(shí)等于60分鐘，1分鐘等于60秒。

師：半小時(shí)是多少分鐘？

生：30分鐘。

師：90分鐘是多少小時(shí)？

生：1.5小時(shí)。

師：時(shí)間的單位和換算我們很熟悉，那么常用的角的測量工具是什么？角的度量單位又是什么呢？

生：常用的角的測量工具是量角器，角的度量單位是度。

師：大家回答得不錯(cuò)，請同學(xué)們翻開課本，閱讀133頁，再思考老師提出的問題。

（學(xué)生閱讀完畢后，教師結(jié)合課本提出的角度的起源和密位制等做個(gè)簡單的知識(shí)性拓展和小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生完成練習(xí)）

【算一算】

評析：好的課堂應(yīng)是動(dòng)靜結(jié)合的，既有師生、生生互動(dòng)，也有學(xué)生的獨(dú)立思考和自主閱讀。優(yōu)秀的教師總能契合學(xué)生的實(shí)際，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，讓學(xué)生富有成效地學(xué)習(xí)。此外，教師讓學(xué)生帶著問題自學(xué)書本內(nèi)容，自主探索角的換算，引導(dǎo)學(xué)生類比時(shí)間的度量單位，去發(fā)現(xiàn)以度、分、秒為單位的計(jì)算都是以60進(jìn)制進(jìn)行的，適時(shí)讓學(xué)生表達(dá)自己對角的運(yùn)算的想法，并適當(dāng)介紹角度制的起源和它在軍事上的運(yùn)用，將數(shù)學(xué)課堂知識(shí)延伸到歷史、軍事等領(lǐng)域，在激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)有寬度的課堂。

五、嘗試練習(xí)，鞏固提高

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)角的相關(guān)知識(shí)，接下來想請同學(xué)們?nèi)ヌ魬?zhàn)與角有關(guān)的兩道拓展規(guī)律性的問題?？凑l能又快又準(zhǔn)地回答。

1.同時(shí)使用一副三角板（兩塊）可以畫出哪些度數(shù)的角？

2.發(fā)現(xiàn)下列圖中角的個(gè)數(shù)：思考從一端點(diǎn)引n條射線，共有多少個(gè)角？

評析：初中學(xué)生正處在好強(qiáng)好勝的年齡，出示上述兩道與角有關(guān)的拓展規(guī)律性的問題，不僅是對與角有關(guān)知識(shí)的鞏固提高，更是把學(xué)生的思維活動(dòng)推向高潮，實(shí)現(xiàn)有深度的課堂。

六、適時(shí)小結(jié)，興趣延伸

1.本節(jié)課我們學(xué)到了什么知識(shí)？你還有什么問題嗎？

2.本節(jié)課我們在命名角的時(shí)候，聯(lián)系了前面哪些幾何基本圖形的表示方法？

3.對比線段的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為在學(xué)習(xí)了角的表示方法后，還有什么值得我們?nèi)パ芯浚?/p>

評析：本節(jié)課的小結(jié)歸納分為兩條線：一條是“暗線”，對概念特征、表示方法及解法歸類的小結(jié)是貫穿在整課學(xué)習(xí)和探究過程之中的，可謂適時(shí)歸納，反復(fù)強(qiáng)調(diào)，螺旋上升。一條是“明線”，即課的結(jié)尾小結(jié)，重在引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課重難點(diǎn)，教師利用精心設(shè)計(jì)的板書，幫助學(xué)生把握知識(shí)要點(diǎn)，厘清知識(shí)脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生自我歸納概括的能力，形成知識(shí)系統(tǒng)。同時(shí)通過類比了解學(xué)習(xí)幾何圖形基本概念的思路，為后續(xù)的學(xué)習(xí)搭建探究的橋梁，對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行延伸。

【板書設(shè)計(jì)】

【總評】

本課運(yùn)用“溫故——引新——探究——變式——嘗試——提升”六步教學(xué)法精心演繹初中數(shù)學(xué)精彩課堂。“溫故”環(huán)節(jié)通過對線段和射線的表示法及其緣由的回憶為角的表示法的命名埋下伏筆;“引新”環(huán)節(jié)由學(xué)生觀察生活中熟悉的校園環(huán)境和實(shí)物圖形并從中抽象出角定義，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，學(xué)生會(huì)用靜止和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來說明角的形成，培養(yǎng)學(xué)生多角度分析思考問題的能力;“探究”環(huán)節(jié)學(xué)生通過給角命名及探討命名的合理性，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，強(qiáng)化對知識(shí)的記憶，還通過獨(dú)立閱讀掌握有關(guān)角的單位的換算，培養(yǎng)獨(dú)立思考和閱讀理解的能力;“變式”環(huán)節(jié)通過變式題層層升入，加深學(xué)生對角的表示法的熟練應(yīng)用，尤其是“換一換”是開放性的問題，不同掌握程度的學(xué)生能寫出的角的個(gè)數(shù)也不同，滿足不同層次學(xué)生的需求，實(shí)現(xiàn)課堂的梯度教學(xué);“嘗試”環(huán)節(jié)通過對知識(shí)的辨析，強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，并把學(xué)生思維活動(dòng)推向高潮;“提升”環(huán)節(jié)體現(xiàn)適時(shí)、適度和恰到好處，讓人感受到精彩課堂總是以問題開始，同樣應(yīng)以問題結(jié)束。讓學(xué)生帶著問題進(jìn)來，同樣讓學(xué)生帶著更高層次的問題離開課堂。

精彩的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)促使學(xué)生進(jìn)行積極而深刻的思考。本節(jié)課教師努力從學(xué)生已有的基礎(chǔ)出發(fā)，層層鋪墊、精心設(shè)計(jì)“問題串”，以激發(fā)學(xué)生多角度思考、探究知識(shí)的形成過程，進(jìn)而形成學(xué)習(xí)幾何基礎(chǔ)圖形的學(xué)習(xí)思路。盡管教師在時(shí)間把握上前松后緊，導(dǎo)致知識(shí)拓展練習(xí)未能在課內(nèi)精彩呈現(xiàn)，同時(shí)因是借班上課，教師對個(gè)別學(xué)生的回答未能給予及時(shí)而有質(zhì)量的關(guān)注，但本節(jié)課仍然不失為一節(jié)有溫度、有梯度、有深度和有寬度的精彩課堂。

作者簡介：鄔建寧（1976— ），女，廣西柳江人，高級教師，理學(xué)學(xué)士，南寧市教學(xué)骨干，南寧市教育系統(tǒng)優(yōu)秀共產(chǎn)黨員，戴啟猛特級教師工作室成員。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及管理。

戴啟猛（1966— ），江蘇省鹽城人，正高級教師，廣西特級教師、南寧市學(xué)科帶頭人、南寧市教壇明星、南寧市專業(yè)技術(shù)拔尖人才。研究方向：基礎(chǔ)教育、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

（責(zé)編 劉小瑗）