陳超江 農(nóng)學寧

【摘要】本文以人教版數(shù)學八年級上冊《分式方程與實際問題——工程問題》課堂教學為例，闡述“四度六步”教學法在初中數(shù)學教學中的應用。這節(jié)課運用“四度六步”教學法，通過創(chuàng)設貼近學生生活實際的問題情境，讓學生在問題情境中體會工程類問題的基本量的意義、利用列表法分析問題中的數(shù)量關系，恰當設未知數(shù)，找出等量關系，列出分式方程并求解，突出解決核心問題，突破教學難點，以精彩的課堂環(huán)境，鍛造學生解決實際問題的意識與能力。

【關鍵詞】“四度六步”教學法 初中數(shù)學 工程問題 分式方程 精彩課堂

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）02A-0024-05

工程問題是學生在學習解分式方程之后學習的列分式方程解決實際問題，也是繼用一元一次方程和二元一次方程組解決實際問題的后續(xù)學習。學生在學習之后，要明確工程類問題的基本量（特別是工作效率）的意義，能夠利用列表法分析問題中的數(shù)量關系，然后恰當設未知數(shù)，統(tǒng)攬全題找出等量關系，列出分式方程并求解，最后解釋實際問題。

一、復習提問，溫故孕新

師：同學們，上一節(jié)課我們學習了分式方程，大家還記得怎么解分式方程嗎？

（學生安靜思考了一會兒）

師：下面我們通過解答一道練習題來回顧一下。請同學們拿出課堂練習本。我們有請黎同學上黑板來解答，其他同學在課堂練習本上完成。

（教師在黑板適當?shù)奈恢脤懮希篬13+16+12x=1]，然后安靜地巡視課堂，檢查學生的練習情況）

師：同學們都寫完了嗎？寫完了的同學請舉手示意一下。（幾乎所有的學生都舉手了）很好，我們抬起頭來看看黎同學的解題過程，你們覺得她解得怎么樣？

生：很好！

師（適時小結(jié)）：不錯！她書寫的字體很工整，這一點是值得我們很多同學學習的;她的解題步驟很清晰、完整，還特別注意到了檢驗。從她的解題過程中，我們可以看到解分式方程的一般步驟有，去分母、解整式方程、檢驗以及下結(jié)論。

師：同學們，你們都寫對了嗎？寫對了的同學請舉手。（幾乎所有的學生都舉手了）看來同學們對解分式方程已經(jīng)比較熟練了。這里我想請同學們回想一下前面我們學過的其他方程相關的內(nèi)容，你們說，掌握了解分式方程，接下來我們應該學什么呢？

生：分式方程的應用！

師：太棒了！對，就是分式方程的應用！

（教師板書課題：15.3.3分式方程與實際問題——工程問題，板書完畢后立即打開PPT展示課題，并指向PPT引導學生看課題）

評析：本節(jié)課先復習分式方程的解法，一方面達到練習鞏固目的，另一方面則是從知識結(jié)構(gòu)的整體性出發(fā)引出本節(jié)課的教學內(nèi)容。同時巧妙地選取了教科書在本節(jié)內(nèi)容例3中建立的分式方程，一則該練習簡單，能面向全體學生;二則該練習的解答過程恰好是例3利用分式方程解實際問題步驟的一部分，可為例3的解答埋下伏筆，提高課堂效率。

二、創(chuàng)設情境，引入課題

師：同學們，我們一起來看一道題，請大家大聲朗讀題目，“學校”一二起……

生（朗讀題目）：學校圖書館本學期新購一批圖書，已知我們班的黃建翔同學單獨協(xié)助圖書管理員1個月完成這一批新書上架工作的[13]，劉長震同學單獨協(xié)助圖書管理員x個月完成全部圖書的上架工作，那么劉長震同學單獨協(xié)助圖書管理員1個月完成這一批新書上架工作的幾分之幾？他們兩人共同協(xié)助圖書管理員1個月完成這一批新書上架工作的幾分之幾？

師：同學們，這是什么實際問題？

生：工程問題。

師（追問）：那么，請同學們回想一下工程問題一般涉及哪些量？

生1：工作總量、工作時間和工作效率。

師：這位同學回答得很全面，也很準確。

師（再次追問）：這三個量之間有什么關系？

生2：工作總量=工作效率[×]工作時間，工作時間=[工作總量工作效率]，工作效率=[工作總量工作時間]。

師：這位同學說得很到位！

（教師板書：1.工程問題中常用的數(shù)量關系：工作效率=[工作總量工作時間]）

師：我們回過頭來看看這道題目，題目中涉及哪些量？首先，我們請黃同學來說說，在這項工作中涉及哪些量？

生3：時間——1個月，工作總量——一批新書上架工作，可設工作總量為單位“1”，工作效率——[13]。

師（追問該生）：你是怎么想到“[13]”是工作效率的？

生3：因為是1個月完成這一批新書上架工作的[13]。（學生回答時強調(diào)了“1個月”）

師：黃同學很善于抓住關鍵信息。

師（再次追問該生）：你認為自己單獨協(xié)助圖書管理員全部完成這一項工作需要幾個月？

生3：3個月。

師：對！請坐！接下來，我們請劉同學也來說說，在這項工作中涉及哪些量？

生4：時間——x個月，工作總量——全部圖書的上架工作，設工作總量為單位1，[1x]。

師（追問該生）：[1x]是什么量？

生4：[1x]是工作效率。

師（再次追問該生）：你是怎么想到“[1x]”是工作效率的？

（學生沉默了）

師（提示該生）：你是從題目中的哪一句話看出是工作效率的？

生4：1個月完成這一批新書上架工作的幾分之幾？（學生回答時強調(diào)了“1個月”）

師（教師豎起大拇指表揚該生并再次追問該生）：對！那“[1x]”是怎么得到的？

生4：工作總量單位“1”除以工作時間“x”。

（學生一邊說，教師一邊板書：工作效率=[工作總量→工作時間→] [1x]）

師：很好！請坐！

師：請同學們幫助他們兩人解答最后一個問題。他們兩人共同協(xié)助圖書管理員1個月完成這一批新書上架工作的幾分之幾？這個問題實際上是求什么？

生：兩個人合作的工作效率。

師（追問學生）：那答案是什么？

生：[13]+[1x]。

（學生一邊說，教師一邊把答案寫在黑板上）

師（適時小結(jié)）：同學們，我們回過頭來看看這道題目。它告訴了我們，在工程問題中，工作總量不具體時，往往把工作總量設為單位“1”，當知道完成總工作的時間為多少個月時，工作效率就表示1個月能完成總工作的幾分之幾。

評析：教師通過創(chuàng)設貼近學生生活的情境，使得學生加深對在工作總量不具體的情況下工作效率的實際意義及其表示形式的理解，為學生在例3中的合作探究做好知識的鋪墊。

三、合作探究，活動領悟

師：下面，我們來看一道關于修路工程的題目，請同學們一起大聲讀題目。

生（朗讀題目）：兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的[13]，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成。哪個隊的施工速度快？

師：現(xiàn)在我們以學習小組的形式一起討論、解決這個問題。每個小組的分工任務如下。一，組內(nèi)每名同學積極參與討論，找出解決問題的方法，選出一名同學把小組解決問題的方法和算式、方程列出來，可以不用化簡或求解;二，選出一名同學代表小組上來講解。

師：請各位小組長舉手領取題目。

（得到題目后，各小組展開了激烈的討論;教師在黑板左下角處畫出了一個3行4列的空表格，然后巡視課堂并指導各小組開展探究學習活動）

評析：教師利用學生已有知識，給學生自主學習的時間和空間，發(fā)揮學生的主動意識和合作精神。

（大約經(jīng)過了5分鐘，教師巡視課堂發(fā)現(xiàn)有些小組已經(jīng)完成了任務）

師：有哪個小組愿意先來分享自己的解法？

（生5起身分享自己小組的解法。該小組設乙隊單獨施工完成全部工程需要x個月……他們用列表的方法清晰、直觀地分析了問題中的數(shù)量，準確找出了列方程的等量關系，列出方程為：[13]+[16]+[12x]=1）

師：這個小組通過設乙隊單獨完成全部工程所用的時間為x個月，列出方程。可以解決這個問題吧？

生：可以！

師：很好！還有哪個小組愿意上來和大家分享一下你們解決這個問題的方法？

（生6講解他們小組的解題過程。該小組設未知數(shù)的方法和列出的方程與剛才小組的是一樣的，分析數(shù)量時也是用列表法，只不過列表的方式和剛才小組的形式不太一樣。教師抓住這兩個小組都用了列表法分析問題中的數(shù)量的共同特點，在學生講解的過程中，順勢對照學生列出來的表格中的內(nèi)容把黑板上的空白表格對應的內(nèi)容填滿了，得到了一個完整的分析數(shù)量的表格）

師：同學們，剛才的兩個小組在和我們講解時都用了什么方法分析問題中的數(shù)量？

生：列表法。

師：不錯?。ń處熤钢诎迳系谋砀瘢┻@兩個小組分析問題的方法告訴了我們，用列表法分析問題就會使得問題中的數(shù)量變得十分的直觀和清晰明了，方便我們解決問題，所以，今后我們要學會用列表法分析問題。其實，我們在學習用一元一次方程解決實際問題時，也是利用列表法分析問題中的數(shù)量關系。

評析：至此，學生已經(jīng)用原有的知識基本解決了例3的問題，但為了讓學生真正地從數(shù)學語言的表述和內(nèi)在聯(lián)系上理解工作效率的意義，教師又設計了以下環(huán)節(jié)。

師：同學們，我們回過頭來看看這一道題，它是問哪個隊的施工速度快。這兩個小組都是通過直接設乙隊單獨完成全部工程所用的時間為未知數(shù)，列出方程求解，比較甲、乙兩隊單獨完成全部工程所用時間的多少來解決問題的。那我們能不能直接設乙隊的工作效率為x，列出方程求解，通過比較兩個隊施工的工作效率的大小來解決問題呢？

生（沉默了一下）：可以！

師（追問學生）：那我們應該怎樣設未知數(shù)？

（學生沉默了）

生7：設乙隊施工的工作效率為x。

（學生一邊講，教師一邊板書）

師（追問該生）：列出的方程是什么呢？

生7：[12x+][13+16=1]。

（學生一邊講，教師一邊板書該方程）

師：好！請坐！同學們，我們來看看這樣設未知數(shù)列出來的方程有什么特點？

生8：列出來的方程是一元一次方程，比剛才列出來的分式方程要簡單多了。

（其他學生向生8投過去了崇拜的眼神，全體學生都認為這種方法是最簡潔的方法，但他們感覺似乎哪里存在問題，又說不出來，也沒有學生提出異議）

師：同學們，我們回過頭來看一下用這種方法解題的過程。剛才這位同學設的未知數(shù)“x”表示什么意義呢？

生：工作效率。

師（追問學生）：那它的單位是什么？

（學生沉默，思考）

師（提示學生）：它是表示乙隊每天完成x米呢，還是x千米呢？

生：都不是。

師：好！同學們，我們回過頭來看看這道題目，題目中的工作總量是不具體的，所以，我們應該要設總工作量為單位“1”，此時乙隊工作效率的實際意義就表示乙隊1個月能完成總工程的幾分之幾，那么我們應該怎么設乙隊的工作效率呢？

生：[1x]。

師：對！

（教師指向板書：工作效率=[工作總量→工作時間→][1x]，教師順勢把板書中生7“設乙隊的工作效率為x”中的“x”改為“[1x]”。）

評析：教師引導學生通過分析不同的設元方法來進一步辨析“工作效率”的實際意義和表示方法，以單位表述為切入點，較好地突破了教學的難點。

師（追問學生）：其中，“1”和“[x]”分別表示什么呢？

生9：“1”表示總工程量為單位“1”，“[x]”表示乙隊單獨完成全部工程需要的時間為[x]天。

師：非常好！我們這樣設未知數(shù)后，乙隊的工作效率“[1x]”的實際意義就很明確了。那列出的方程又是怎樣的呢？

生：[12×1x+13+16=1]。

（學生一邊講，教師一邊把板書“[12x+][13+16=1]”中的“[x]”改為“[1x]”。）

師（追問學生）：同學們，解答這一道題時，我們用了兩種不同的方法設未知數(shù)，第一種方法是直接設乙隊單獨完成全部工作所用的時間為[x]個月，第二種方法是設乙隊施工的工作效率為[1x]，它們列出來的方程有什么關系呢？

生：是一樣的。

師：是的。

（教師把板書“[13+16+12x=1]”中的“[12x]”拆開寫成“[12×1x]”，引導學生發(fā)現(xiàn)這兩種設未知數(shù)的方法所列出來的方程間的關系）

師（追問學生）：為什么會一樣呢？

生10：因為在列方程時它們都要表示出乙隊的工作效率為[1x]。

師：是的，方法一是直接設乙隊單獨完成全部工程的時間為x個月，而實際上，方法二在設乙隊的工作效率為[1x]時是間接設了乙隊單獨完成全部工程的時間為x個月，所以，這兩種設未知數(shù)的方法的本質(zhì)是一樣的，它們都設了乙隊單獨完成全部工程的時間為x個月。也就是說，今后我們解決這一類問題時，上面的這兩種設未知數(shù)的方法都是可以使用的。

師：既然兩種方法都可以，我們選擇其中的一種方法把解題過程規(guī)范地書寫出來。由于設乙隊施工的工作效率為[1x]的方法理解上比較困難，所以，我們就選擇另一種方法來書寫過程。

師：同學們，這個方程，好眼熟啊，我們似乎剛才在哪里見過了。同學們幫老師找一找在哪里。

生（學生笑了）：對！就在黑板中間，黎同學剛才寫的那一題。

師：是哦，怎么就那么巧了呢。黎同學早就幫我們解好了這個方程，感謝黎玉同學。但作為實際問題的解答，我們還需要把解題步驟補充完整。

師：由于本題的總工作量不具體，我們把總工作量記為單位“1”，那么在這里乙隊的工作效率的實際意義就表示它1個月能完成總工程的幾分之幾，所以我們把它規(guī)范地寫為“設乙隊單獨施工1個月能完成總工程的[1x]，記總工作量為‘1，根據(jù)工程的實際進度，得”。

（教師一邊說一邊板書，其后接上之前已經(jīng)列好、解好的分式方程及其解答步驟）

師：由上可知，若乙隊單獨施工1個月可以完成全部任務，對比甲隊1個月完成任務的[13]，可知乙隊的施工速度快。

師（適時小結(jié)）：同學們，我們回過頭來看這一道題，我們利用分式方程解決了一個工程問題，用列表法分析問題，而且我們可以看到列表法能幫助我們清晰、直觀地分析問題中比較復雜的數(shù)量以及數(shù)量關系，所以同學們要學會用列表法分析問題。那么，通過這一道題，我們來總結(jié)一下列分式方程解決實際問題的一般步驟有哪些。哪位同學來說說？

生11：設未知數(shù)、列出方程、解方程、檢驗、作答。

（學生一邊說，教師一邊板書，在解答過程中用紅色的筆跡將以下關鍵詞補出或直接圈出來：設、列、解、驗、答，其中，還強調(diào)因為是解決實際問題，所以在檢驗時不僅要檢驗方程的解，而且還要檢驗方程的解是否符合實際意義）

師：好！請坐！

師（追問學生）：還有同學需要補充嗎？

生12：還有分析題意。

師：很好！我們在得到剛才同學總結(jié)的這些步驟之前其實還做了一件很重要的事情就是分析題意（教師豎起大拇指，為這名學生點贊）我們把它叫做審題，簡稱“審”。

（教師一邊說，一邊在解題步驟的“設”的上方補寫“審”，并用紅色筆跡將它圈出來）

師（適時小結(jié)）：所以列分式方程解決實際問題的一般步驟有：審、設、列、解、驗、答，這六步。

評析：學生親自經(jīng)歷小組合作探究發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、總結(jié)提升的學習過程，領悟用列表法分析實際問題中的數(shù)量及數(shù)量關系的優(yōu)越性，歸納列分式方程解決實際問題的具體步驟。

四、師生互動，變式深化

師：同學們，現(xiàn)在我們把這道題中的“1個月”改為“2個月”，“半個月”改為“一個半月”，就變成了問題4（教師一邊講一邊用PPT顯示題目中變化的地方），看看大家還會做嗎？請同學們獨立完成。

（學生安靜地獨立練習，教師巡視課堂并指導學生。大約5分鐘后，教師巡視課堂發(fā)現(xiàn)有一部分學生已經(jīng)完成了練習，其他學生也至少列出了方程）

師：哪位同學上來和大家分享一下你是怎么解這道題的呢？

（生13講解的過程略。該生利用實物投影將自己的解答過程投影出來，將列表分析問題、設未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗、作答的步驟詳細、清楚地講解出來了，贏得了其他學生熱烈的掌聲）

師：這位同學講解的思路很清晰，解答過程也很完整！謝謝！其他同學也能做得出來嗎？

（有一部分學生舉起了手）

師：很好！其他還沒有完成的同學，課后再繼續(xù)完成。

師（適時小結(jié)）：從剛才同學的講解中，我們可以看到列表法能幫助我們清晰、直觀地分析問題中比較復雜的數(shù)量以及數(shù)量關系，所以同學們要學會用列表法分析問題。我們要根據(jù)審、設、列、解、驗、答，這六個步驟去列分式方程解決實際問題。

評析：這個環(huán)節(jié)主要是利用變式（改變題設條件）讓學生抓住同類問題解決的一般方法，體會利用分式方程解決工程類問題的模型。教師引導學生進一步熟悉列分式方程解決實際問題的基本步驟，為下一環(huán)節(jié)學生自己獨立練習打好知識和方法的基礎。

五、嘗試練習，鞏固提高

師：同學們，我們利用列分式方程解決了一個工程筑路的問題，前面我們提到了黃同學和劉同學協(xié)助圖書管理員整理圖書，現(xiàn)在他們在這項工作中又遇到了另一個問題，請同學們自己獨立利用剛學的知識來幫助他們解決這個問題。

（教師用PPT呈現(xiàn)題目：我們班的黃同學3小時清點完一批圖書的一半，劉同學加入清點另一半圖書的工作，兩人合作1.2小時清點完另一半圖書。如果劉長震同學單獨清點這批圖書需要幾小時？）

（學生安靜地獨立練習。教師巡視課堂并指導學生。大約5分鐘后，教師巡視課堂發(fā)現(xiàn)有一部分學生已經(jīng)基本完成了練習，其他學生也至少列出了方程）

師：同學們，我們已經(jīng)有一部分同學完成了練習，還沒有寫完的同學課后再繼續(xù)寫，課后同學們可以互相討論，互相分享一下解題的過程。

評析：教師變換問題情境，讓學生獨立完成同類問題。這樣教學，一方面進一步鞏固已經(jīng)形成的問題解決模式，另一方面則重視以獨立完成的學習方式，檢測學生對本節(jié)課在雙基方面的掌握情況。

六、適時小結(jié)，興趣延伸

師：同學們，我們來總結(jié)一下這節(jié)課。本節(jié)課我們解決了什么問題？

生：工程問題。

師（追問學生）：我們是用什么方法分析問題的？

生：列表法。

師（再次追問學生）：那解決問題的具體步驟是什么？請同學們帶著這個問題再認真看一下課本，看看你還會有什么新的發(fā)現(xiàn)？

（學生自己認真閱讀課本進行回顧）

師：最后，老師給同學們布置了練習題，希望大家課后能認真去完成。

[教師一邊講一邊用PPT呈現(xiàn)題目：（1）基礎，完成教科書第154頁練習第2題;（2）能力，聯(lián)系實際，請你編出一道關于分式方程的應用題（工程問題），并給同桌解答]

評析：教師首先小結(jié)本節(jié)課的主要方法與問題類型，再引導學生回顧本節(jié)課學習的基本內(nèi)容、方法和步驟，有利于學生形成解決一類問題的基本方法和步驟，提升學生的學習感悟。通過分層布置作業(yè)，使得每一名學生都有機會運用本節(jié)課所學知識解決本節(jié)課遇到的簡單的實際問題，特別是增強了潛力生學習的自信心和興趣，激發(fā)了他們的求知欲，也增強了他們獨立運用知識解決問題的意識，同時也給感興趣的學生提供了探究、挑戰(zhàn)的空間，更能激發(fā)學生勇于嘗試、勇于探究的學習興趣。

板書設計：

【總評】

本節(jié)課的主要內(nèi)容是用分式方程解決實際問題——工程問題，主要滲透的數(shù)學思想方法是模型思想和方程思想。而這一類問題在建模的過程中，為什么以分式方程建模、如何解模，則是本節(jié)課的重點和難點。教師在教學設計上運用“四度六步”教學法，以優(yōu)化課堂教學環(huán)節(jié)。其中，以“溫故”環(huán)節(jié)復習分式方程的解法和步驟，既是對原有知識點的鞏固，又為正課中的問題解決埋下伏筆，更能突出本節(jié)課的重點;以“引新”環(huán)節(jié)的方式引入課題，為正課中關鍵概念（工作效率）的運用鋪墊;以“探究”環(huán)節(jié)的形式讓學生在原有的知識體系中構(gòu)建自主的問題模型，形成合理的思維模型（列表法），以活動領悟知識的發(fā)生發(fā)展過程，體驗交流合作的優(yōu)勢和成果;以“變式”環(huán)節(jié)對原題進行題設條件的變式，形成問題解決的一般模式，數(shù)學模型也逐步在學生大腦中形成;以“嘗試”環(huán)節(jié)讓學生扎實掌握基礎知識、基本技能;以“提升”環(huán)節(jié)歸納本節(jié)課的主要問題模型與解決方法，并通過分層作業(yè)讓學生的學習興趣延伸。這“六步”過程清晰，目標明確，層次分明，逐步遞進，指向知識要點、方法核心。通過六步教學環(huán)節(jié)的實施，學生的數(shù)學能力真正得到鍛煉和提高。在思想的維度上，以有層次的問題體現(xiàn)問題的梯度，以細節(jié)核心把學生的思維引向深度，以變式和化歸拓展數(shù)學模型的應用寬度，以真實的教學情境與和諧的課堂氣氛創(chuàng)造教學情感的溫度。

總體而言，盡管教師在課堂語言和問題的簡潔性以及把握教學時間的精確性上還有一定的欠缺，還可以進一步優(yōu)化。但是在“四度六步”教學法的指導下，這依然是一節(jié)成功創(chuàng)造了精彩的數(shù)學課堂。

作者簡介：陳超江（1986— ），廣西容縣人，一級教師，理學學士，戴啟猛特級教師工作室成員。研究方向：中學數(shù)學課堂教學。

農(nóng)學寧（1971— ），壯族，廣西天等人，高級教師，理學學士，南寧市中學數(shù)學教研員，廣西特級教師，南寧市學科帶頭人，南寧市優(yōu)秀教師。研究方向：中學數(shù)學課堂教學及考試命題。

（責編 劉小瑗）