蘇藝偉 張兵源

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)，363100) (福建省漳州市教育科學(xué)研究院，363000)

許多數(shù)學(xué)問題中都含有常量、參量、變量等多個量.通常情況下，有一些元素處于突出和主導(dǎo)的地位，可視之為主元.在某些情況下，為解決問題的需要，我們也可人為突出某個元素的地位作用，將之當(dāng)作主元.確立主元后，以此作為解題的主線進(jìn)而把握問題，促使問題轉(zhuǎn)化直至問題解決的思想方法稱為主元法.數(shù)學(xué)中的多元參數(shù)問題，若按常規(guī)思路確定主元，可能導(dǎo)致問題復(fù)雜化，此時，若能針對題目的結(jié)構(gòu)特征，改變思考的角度，重新選擇某參變量為主元，另辟蹊徑，往往可以使問題化難為易，迅速求解.在導(dǎo)數(shù)試題中，經(jīng)常涉及到多個變量(如x、a、b等)，解題常規(guī)思路是以x為主元求解.但是對于不少導(dǎo)數(shù)壓軸試題，以x為主元進(jìn)行求解會十分繁瑣.此時如果能夠改變思路，重新確定主元，則會使得解題過程格外簡捷自然.

例1已知函數(shù)

(1)若x=x0時，f(x)取得極小值f(x0)求a及f(x0)的取值范圍；

(2)當(dāng)a=π，00.

解(1)略.

當(dāng)x=1時，h(m)=π-1>0.

綜上，h(m)>0，即f(x)+mlnx>0.

評注如果以x為主元求解問題(2)較為繁瑣.此時重新確定m為主元，要證h(m)>0，只需對lnx進(jìn)行分類討論即可，這使得解題過程大大簡化.

解(1)略.

例4已知函數(shù)f(x)=ex-x，g(x)=(x+k)ln(x+k)-x.對任意的a、b>0，不等式f(a)+g(b)≥f(0)+g(0)+ab恒成立，求正實數(shù)k的取值范圍.

解由已知，可得ea-a+(b+k)ln(b+k)-b-1-klnk-ab≥0，a>0,b>0,k>0.

記h(a)=ea-a+(b+k)ln(b+k)-b-1-klnk-ab，則h(a)≥0.

h′(a)=ea-1-b，令h′(a)=0，得a=ln(b+1).易知h(a)在(0,ln(b+1))單調(diào)減，在(ln(b+1),+∞)單調(diào)增，故h(a)≥h(ln(b+1))，即h(a)≥(b+k)ln(b+k)-(b+1)ln(b+1)-klnk.

記t(b)=(b+k)ln(b+k)-(b+1)ln(b+1)-klnk，則t′(b)=ln(b+k)-ln(b+1).

若k≥1，則t′(b)≥0，t(b)在(0,+∞)單調(diào)增，t(b)>t(0)=0,此時h(a)>0，符合題意.

若0

綜上，可得k≥1.

評注本題通過兩次重新確定主元，將復(fù)雜的多元問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，提高了解題效率.

不難發(fā)現(xiàn)，對于此類導(dǎo)數(shù)試題，當(dāng)面對題目中含參數(shù)問題時，若以x為主元證明很困難，可通過重新確立主元的方法，往往會化繁為簡，化難為易，化抽象為具體，使求解過程更加簡捷.