劉?俊，羅永峰，張玉建

凱威特單層球面網(wǎng)殼的幾何缺陷相關(guān)性

劉?俊，羅永峰，張玉建

(同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092)

凱威特單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性對初始幾何缺陷非常敏感，特別是節(jié)點位置安裝誤差造成的結(jié)構(gòu)曲面形狀偏差．由于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)各節(jié)點之間由剛性桿件連接，因而不同節(jié)點的位置偏差具有相關(guān)性．理論分析和實測數(shù)據(jù)均表明，單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中節(jié)點距離越遠，節(jié)點位置偏差的相關(guān)性越弱．根據(jù)對節(jié)點位置偏差相關(guān)系數(shù)的計算推導(dǎo)和分析，建立以節(jié)點空間距離為自變量的相關(guān)系數(shù)函數(shù)，提出初始幾何缺陷相關(guān)性的分式函數(shù)計算模型，并給出具有相關(guān)性的初始幾何缺陷生成方法．建立凱威特單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，根據(jù)提出的分式函數(shù)模型生成具有相關(guān)性的初始幾何缺陷，將缺陷引入模型并進行整體穩(wěn)定性分析，結(jié)果表明缺陷相關(guān)性會對結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定承載力產(chǎn)生明顯影響．進一步對缺陷相關(guān)性進行參數(shù)分析，將不同相關(guān)程度和不同規(guī)模大小的缺陷引入模型中并計算結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性，結(jié)果表明：初始幾何缺陷較小時，相關(guān)性總是有利于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性；而缺陷較大時，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力會隨相關(guān)性增強先減小后增大，中等程度相關(guān)性會對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響．因此，忽略缺陷相關(guān)性可能會使凱威特單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力的計算結(jié)果偏于危險，取相關(guān)系數(shù)為0.5進行分析，能有效考慮不利的相關(guān)缺陷．

單層球面網(wǎng)殼；幾何缺陷；相關(guān)性；整體穩(wěn)定性

單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)具有薄殼結(jié)構(gòu)的受力特征，其穩(wěn)定性對初始幾何缺陷非常敏感，特別是節(jié)點位置安裝誤差造成的結(jié)構(gòu)曲面形狀偏差[1-3]．節(jié)點位置誤差在施工中具有隨機性，因而分析結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性時，初始幾何缺陷可以采用多維隨機變量表示，其樣本空間的每個樣本都對應(yīng)著一種缺陷分布模式，即隨機缺陷模態(tài)[4]．基于隨機缺陷模態(tài)對單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行全概率分析，可以得到極限荷載的概率分布及其數(shù)值特征，并依此評估結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力．考慮到計算成本，一致缺陷模態(tài)等實用型缺陷模態(tài)被提出并應(yīng)用[5]，而隨機缺陷模態(tài)由于較為真實地涵蓋了結(jié)構(gòu)實際缺陷分布模式，因此多用于評價各類實用性缺陷的準確性和可靠性[6-8]．

在單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)幾何缺陷的研究過程中，節(jié)點位置偏差的相關(guān)性往往被忽略．網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)各節(jié)點由桿件相連接，位置會相互影響，因而位置偏差具有一定的相關(guān)性[9]．相關(guān)性是決定多維隨機變量聯(lián)合分布的一種重要因素，缺陷的相關(guān)性會改變?nèi)毕莘植寄Ｊ?，影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力．然而，缺陷相關(guān)性目前尚未受到重視，對于相關(guān)性如何產(chǎn)生、是否會影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性以及如何影響等問題，尚無深入研究．隨機缺陷模態(tài)法作為各類實用型缺陷評價標準，其自身的準確性是各類研究的基礎(chǔ)，忽略相關(guān)性可能會使分析結(jié)果不可靠；而對于實用方法，考慮相關(guān)性有助于得到更有效的實用型缺陷模態(tài)，因此，有必要對單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)幾何缺陷的相關(guān)性進行深入研究．

本文對工程中廣泛應(yīng)用的凱威特單層球面網(wǎng)殼進行研究，分析節(jié)點位置偏差的相關(guān)性產(chǎn)生原理及其特征，推導(dǎo)出缺陷相關(guān)性的理論模型，并基于考慮相關(guān)性的隨機缺陷模態(tài)法，對凱威特單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行數(shù)值算例分析，研究相關(guān)性對穩(wěn)定承載力的影響規(guī)律．

1?網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的缺陷相關(guān)性

1.1?相關(guān)性分析

式中：D(δU1)和D(δU2)分別表示δU1和δU2的方差；cov(δU1，δU2)表示δU1和δU2的協(xié)方差；D(δL1)表示δL1的方差．

分析式(1)可知，(δ1)越小，12越大，即δ1和δ2相關(guān)性越強；(δ1)取0時，12為1，即δ1和δ2完全線性相關(guān)．由此可見，節(jié)點之間的連接桿件使得其位置偏差存在相關(guān)性，并且，桿件制造精度越高，偏差相關(guān)性越強．

同樣，根據(jù)結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系，忽略桿件角度偏差，可以計算得到δ1和δ3的相關(guān)系數(shù)13為

式中(δ2)表示δ2的方差．對比式(1)和(2)可以發(fā)現(xiàn)，δ2的存在使得13小于12．這表明節(jié)點連接路徑上桿件數(shù)量越多，偏差的相關(guān)性越弱．

文獻[9]和[10]在單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)節(jié)點位置偏差的實際測量數(shù)據(jù)分析中，均發(fā)現(xiàn)偏差存在相關(guān)性，且相關(guān)性隨節(jié)點距離增大而減弱．由此可見，實測數(shù)據(jù)同樣表明單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)節(jié)點位置偏差存在一定相關(guān)性，且節(jié)點距離越大，相關(guān)性越弱．

1.2?相關(guān)性模型

實際網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)節(jié)點位置偏差的相關(guān)性受到多種因素影響，包括桿件角度偏差、節(jié)點尺寸偏差和螺栓或焊縫尺寸偏差等，這些因素往往是未知的，導(dǎo)致實際結(jié)構(gòu)中相關(guān)性難以直接進行理論推算．由于同一網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中各桿件長度較為接近，不同位置處的桿件長度等尺寸精度一般處于同一水平，因而，空間距離相同的節(jié)點理論上具有較為接近的相關(guān)性．將節(jié)點位置偏差的相關(guān)系數(shù)假定為以節(jié)點距離為自變量的函數(shù)，可以有效計算偏差的相關(guān)性．

在空間相關(guān)性分析理論中[11]，常用的相關(guān)系數(shù)函數(shù)主要為指數(shù)函數(shù)型和冪函數(shù)型，現(xiàn)有研究也均基于此類函數(shù)對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的缺陷相關(guān)性進行分析，尚未有研究從理論上推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)函數(shù)模型．本文根據(jù)推導(dǎo)得到的相關(guān)系數(shù)計算式(1)和(2)，提出缺陷相關(guān)性的分式函數(shù)模型，即

式中：為相關(guān)系數(shù)；為節(jié)點空間距離；為待定系數(shù)，由結(jié)構(gòu)桿件制造精度等因素決定．

對于凱威特單層球面網(wǎng)殼，根據(jù)其幾何特征，結(jié)構(gòu)桿件長度較為均勻，因此，節(jié)點距離與節(jié)點最短連接路徑上的桿件數(shù)量近似呈正比．為簡化計算，自變量可采用連接桿件數(shù)量等效代替[9]，即

式中為節(jié)點最短連接路徑上的桿件數(shù)量．

基于上述函數(shù)模型，可通過以下步驟計算具有相關(guān)性的節(jié)點位置偏差．

(1) 結(jié)構(gòu)中任意第個和第個節(jié)點最短連接路徑上的桿件數(shù)量記為S，將其代入式(4)可計算得到相關(guān)系數(shù)r．

(2) 將r置于矩陣的第行第列，記網(wǎng)殼的節(jié)點總數(shù)為，則全部節(jié)點的相關(guān)系數(shù)可組成一個×的對稱正定矩陣，記為相關(guān)系數(shù)矩陣．

(3) 對進行Cholesky分解，即

式中：為下三角矩陣；T為的轉(zhuǎn)置矩陣．

(4) 對于服從某一概率分布的初始幾何缺陷，采用蒙特卡洛法模擬生成一組節(jié)點位置偏差，記為向量．將與相乘可以得到新的向量，即

此時，向量即是服從此概率分布且具有相關(guān)性的一組節(jié)點位置偏差．采用蒙特卡洛法模擬生成多組節(jié)點位置偏差，由式(6)便可計算得到多組相關(guān)缺陷．

1.3?相關(guān)缺陷

根據(jù)概率論和數(shù)理統(tǒng)計理論，相關(guān)性不會對單個隨機變量的概率分布產(chǎn)生影響，但是會改變變量的聯(lián)合概率分布．以2個正態(tài)分布隨機變量為例，其邊緣分布均為相同的標準正態(tài)分布(單個變量的分布不變)，相關(guān)系數(shù)取0和0.5時，聯(lián)合分布如圖2所示．可以看出，考慮相關(guān)性使得隨機變量的聯(lián)合分布發(fā)生了明顯變化．這表明，采用多維隨機變量模擬單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷時，未合理考慮偏差間的相關(guān)性，可能會使隨機缺陷模態(tài)無法真實模擬實際缺陷的分布模式．

若結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷具有相關(guān)性，則距離近的節(jié)點易產(chǎn)生較為接近的偏差，此時，結(jié)構(gòu)整體幾何形狀更加平滑．若采用不相關(guān)缺陷分析單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性，多數(shù)情況下會使結(jié)果偏于保守，因為單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)表現(xiàn)為平面外變形過大，不平滑的缺陷模態(tài)容易引起結(jié)構(gòu)局部受力變形過大，造成失穩(wěn)并傳播，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)．但是，某些情況下，平滑的缺陷模態(tài)更容易直接導(dǎo)致結(jié)構(gòu)較大區(qū)域失穩(wěn)，此時，不考慮缺陷相關(guān)性會偏于危險.為此，本文將采用數(shù)值算例研究相關(guān)性對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力的影響．

2?算例分析

2.1?結(jié)構(gòu)模型

本節(jié)基于節(jié)點位置偏差的相關(guān)系數(shù)函數(shù)，分析具有相關(guān)缺陷的單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，算例模型采用K6型凱威特單層球面網(wǎng)殼，跨度為50m，矢跨比為1/5，環(huán)數(shù)為9．結(jié)構(gòu)由702根桿件和271個節(jié)點組成，桿件截面尺寸如圖3所示，材料為Q235鋼材．采用Ansys軟件建立有限元模型，桿件均采用Beam188單元，節(jié)點均為剛接節(jié)點，支座均為剛接固定支座．材料采用理想彈塑性模型，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3，屈服強度為235MPa．荷載采用均布恒載D＝0.4kN/m2和均布活載L＝0.75kN/m2，荷載組合為1.0D＋1.0L．

2.2?整體穩(wěn)定性分析

對完善結(jié)構(gòu)進行整體穩(wěn)定性分析，得到結(jié)構(gòu)線性屈曲的最低荷載因子為11.988．考慮幾何非線性，對結(jié)構(gòu)進行彈性和彈塑性荷載-位移全過程分析，得到極限荷載因子(記為)分別為9.520和5.657．

分析缺陷結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性時，初始幾何缺陷采用隨機缺陷，不考慮缺陷相關(guān)性，節(jié)點各方向上的位置偏差均采用均值為零、標準差為50mm的正態(tài)分布變量[4]．由蒙特卡洛法模擬生成1000組初始幾何缺陷樣本，典型缺陷如圖4(a)所示．將缺陷樣本分別引入結(jié)構(gòu)模型中并進行彈性和彈塑性穩(wěn)定分析，得到的極限荷載因子的分布如圖5所示，其均值(記為a)分別為4.283和2.665，99.7%分位值(記為q，3倍標準差原則[8])分別為3.315和2.124．

以極限荷載因子分布的分位值q作為缺陷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力評價指標，將計算結(jié)果列于表1，對比完善結(jié)構(gòu)，缺陷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性降低超過50%，由此可見凱威特單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)具有很高的缺陷敏感性．

圖4?初始幾何缺陷

圖5?極限荷載因子分布

表1?極限荷載因子

Tab.1?Ultimate load factors

考慮節(jié)點位置偏差的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)采用本文提出的式(4)計算，其中取為1.78，使得等于1時等于0.6，即直接相連節(jié)點間的相關(guān)系數(shù)為0.6．基于式(4)計算得到的相關(guān)系數(shù)，生成1000組相關(guān)缺陷樣本，典型缺陷如圖4(b)所示．相關(guān)缺陷結(jié)構(gòu)分析結(jié)果同樣繪于圖5中，彈性和彈塑性極限荷載因子均值a分別為4.527和3.035，分位值q分別為3.314和2.427．對比可以發(fā)現(xiàn)，缺陷相關(guān)性對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有明顯影響，彈性和彈塑性穩(wěn)定均值分別提高5.7%和13.9%；彈性穩(wěn)定分位值相近，但是彈塑性穩(wěn)定分位值相差達到14.2%．

極限荷載因子的均值a和分位值q隨缺陷樣本數(shù)量的變化關(guān)系如圖6所示，缺陷樣本數(shù)量達到200時，計算結(jié)果均已基本穩(wěn)定．由此可見，相關(guān)缺陷和不相關(guān)缺陷對樣本量的需求無明顯差異，結(jié)構(gòu)分析得到的穩(wěn)定承載力存在明顯差異，因此，缺陷相關(guān)性會對穩(wěn)定承載力產(chǎn)生影響．

圖6?極限荷載因子與樣本數(shù)量散點圖

3?相關(guān)性對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的影響規(guī)律

3.1?相關(guān)程度

相關(guān)程度是指相關(guān)性的強弱．根據(jù)前文分析，結(jié)構(gòu)桿件尺寸精度越高，節(jié)點位置偏差相關(guān)性越強．相應(yīng)地，分式函數(shù)模型式(3)或(4)中參數(shù)值也越?。畬τ诓煌Y(jié)構(gòu)，由于制造安裝精度不同，其缺陷相關(guān)程度也隨之變化．本文采用結(jié)構(gòu)的最大相關(guān)系數(shù)表示缺陷相關(guān)程度，記為m，m即為距離最近的節(jié)點的相關(guān)系數(shù)．在式(4)的分式函數(shù)模型中，m即為＝1時的值．確定m值后，將其代入式(4)計算參數(shù)值，便可得到該相關(guān)程度對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)函數(shù)．

本節(jié)m分別取0.1，0.2，…，0.9，代表由弱至強9種程度的相關(guān)性[12]，將m代入式(4)，得到對應(yīng)于9種相關(guān)程度的相關(guān)系數(shù)函數(shù)．基于各相關(guān)系數(shù)函數(shù)，對第2.1節(jié)模型采用隨機缺陷模態(tài)法計算結(jié)構(gòu)彈性和彈塑性穩(wěn)定，得到極限荷載因子分布．將a和q隨m的變化關(guān)系繪于圖7中，圖中m為0對應(yīng)無相關(guān)性缺陷時的分析結(jié)果．

圖7?相關(guān)程度分析結(jié)果

由圖7可知，隨m增大，彈性穩(wěn)定分析得到的q先減小再增大，m為0.4時達到最小，相較于m為0時q降低約6.8%；彈塑性穩(wěn)定分析得到的q先呈水平變化趨勢，再逐漸增大．m為0.9時，彈性和彈塑性穩(wěn)定的q分別增大52.5%和59.1%．由此可見，缺陷的相關(guān)程度不同，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力也隨之發(fā)生明顯變化．特別是在彈性穩(wěn)定分析中，考慮缺陷相關(guān)性時出現(xiàn)了穩(wěn)定承載力下降現(xiàn)象．這表明，僅考慮不相關(guān)缺陷并非總是保守的，也可能會使分析結(jié)果偏于危險.

3.2?缺陷大小

本節(jié)基于缺陷相關(guān)程度分析，對不同缺陷大小的情況進行研究．節(jié)點位置偏差的分布類型仍采用正態(tài)分布，以標準差表征缺陷大小，記為s．s與m的參數(shù)方案組合如圖8所示，對于每種參數(shù)組合，均進行隨機缺陷模態(tài)法分析，得到結(jié)構(gòu)彈性和彈塑性穩(wěn)定極限荷載因子的分布，并計算其99.7%分位值q．以m為0時的q值為基準，計算q的增量百分比q，q隨m變化關(guān)系如圖9所示．

圖8?參數(shù)方案

圖9?參數(shù)分析結(jié)果

由圖9可知，不同缺陷大小情況下，相關(guān)性均會對穩(wěn)定承載力產(chǎn)生影響，但q隨m的變化趨勢不同．當s小于50mm時，q幾乎隨m增大單調(diào)增加；當s大于50mm時，q隨m增大先減小后增加，存在明顯的極小值點．由此可見，在缺陷規(guī)模較小時，相關(guān)性總是會對結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定有利，但是缺陷規(guī)模較大時，存在對穩(wěn)定性不利的情況．

統(tǒng)計學(xué)理論中通常以相關(guān)系數(shù)為0.3和0.7為界，將相關(guān)性分為弱相關(guān)性、中等相關(guān)性和強相關(guān)性3類．可以看出，當缺陷相關(guān)性對結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性不利時，其最不利的情況出現(xiàn)于中等相關(guān)性．而中等相關(guān)程度的缺陷在實際工程中最為常見，文獻[9]和[10]中實際偏差測量數(shù)據(jù)的相關(guān)性均為中等相關(guān)性，因此，對網(wǎng)殼進行穩(wěn)定性分析，應(yīng)合理考慮中等程度的相關(guān)性．

將圖9中的最不利分析結(jié)果列于表2，同時還將m為0.5的結(jié)果列于表中．對比可知，當相關(guān)性明顯降低結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性時，m為0.5時的分析結(jié)果與最不利結(jié)果相差均小于5%，因此，本文建議對m為0.5的相關(guān)缺陷進行分析，以充分考慮不利的相關(guān)性．

表2?參數(shù)分析結(jié)果統(tǒng)計

Tab.2?Statistics of the parametric analysis

4?結(jié)?論

單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的節(jié)點位置偏差具有相關(guān)性，本文通過對相關(guān)系數(shù)進行計算推導(dǎo)和理論分析，提出了缺陷相關(guān)性的分式函數(shù)計算模型．基于此模型，本文通過算例分析得出以下結(jié)論：

(1) 相關(guān)性會對凱威特單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定承載力產(chǎn)生明顯影響；

(2) 缺陷較小時，相關(guān)性總是有利于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性；缺陷較大時，穩(wěn)定承載力隨相關(guān)性增強先減小?后增大，中等程度相關(guān)性會對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性產(chǎn)生不利?影響；

(3) 忽略缺陷相關(guān)性可能會使結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力計算結(jié)果偏于危險，取相關(guān)系數(shù)為0.5進行分析，能充分考慮不利的相關(guān)缺陷．

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Correlation of the Geometric Imperfection of Kiewit Single-Layer Latticed Spherical Shell

Liu Jun，Luo Yongfeng，Zhang Yujian

(School of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China)

The global stability of Kiewit single-layer latticed spherical shells is sensitive to initial geometric imperfection，particularly the imperfection of surface shapes caused by the positional deviations of structural nodes．Given that the nodes in a latticed spherical shell are connected by rigid rods，their positional deviations are correlated．From the theoretical analysis and practical data，the correlation coefficient of the positional deviations of the nodes decreases with the increase in nodal distance in the structure．To compute the correlation coefficient，a fractional function model that uses nodal distance as the independent variable was proposed．The steps used to derive the correlated positional deviations of the nodes were also given．On the basis of the fractional function model，a case study of a Kiewit single-layer latticed spherical shell was performed，which indicated that the correlation significantly influences the structural stability．The influence was assessed by further parametric analysis of the degree of correlation and the magnitude of geometric imperfection．Results showed that，when the magnitude of geometric imperfection is small，any degree of correlation enhances the structural stability．By contrast，when the magnitude of geometric imperfection is large，the structural collapse load initially decreases and subsequently increases with the increase in the degree of correlation．In other words，a medium degree of correlation reduces the structural stability．In conclusion，overlooking the degree of correlation might lead to an incorrect assessment of structural stability．And，a medium degree of correlation with the correlation coefficient equal to 0.5 was proposed．

single-layer latticed spherical shell；geometric imperfection；correlation；global stability

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No.51678431).

TU393

A

0493-2137(2020)05-0535-07

10.11784/tdxbz201906023

2019-06-12；

2019-09-09.

劉?俊（1993—??），男，博士研究生，Jun_L@#edu.cn.

羅永峰，yfluo93@#edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51678431).

(責(zé)任編輯：劉文革，樊素英)