武玉柱，孫文磊，周建星，陳銳博

（新疆大學機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

行星齒輪傳動具有承載能力強，傳動比范圍大等特點，是風力發(fā)電機傳動系統(tǒng)的重要部件之一[1]。為減輕整機重量、降低系統(tǒng)的振動和噪聲，行星齒輪傳動在多數(shù)情況下會采用柔性齒圈，相關研究表明內齒圈的柔性會對行星齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性引起較大的影響[2]。借鑒多體動力學[3]中有限段單元的離散化的建模思想，建立與實際較為符合的考慮齒圈柔性的行星傳動系統(tǒng)剛—柔耦合模型。希冀借助該模型，明晰系統(tǒng)中齒圈變形特點及受力情況。

2 計入齒圈柔性的分析模型

2.1 行星齒輪系統(tǒng)模型

分析對象為某1.5MW風電機組行星傳動系統(tǒng)。傳動系統(tǒng)簡圖，如圖 1（a）所示。圖中：S—太陽輪；P—行星輪；C—行星架；R—內齒圈；nin—太陽輪輸入轉速（規(guī)定逆時針方向為正）nout為行星架輸出轉速。所建模型的基本參數(shù)，如表1所示。其中轉動量、質量等均由UGNX經(jīng)實體造型后得出[4]，傳動系統(tǒng)二維裝配模型，如圖 1（b）所示。

表1 行星齒輪系統(tǒng)模型參數(shù)Tab.1 Planetary Gear System Model Parameters

圖1 風力發(fā)電機行星傳動系統(tǒng)動結構圖Fig.1 Wind Power Generator Planetary Transmission System Dynamic Structure Diagram

2.2 動力學模型

為反應系統(tǒng)的動力學特質，對模型做如下預處理：

（1）將內齒圈沿齒槽處分割成96段，各輪齒段視為剛體，且相鄰兩段之間用理論長度為零的虛擬雙向扭轉彈簧連接；（2）齒輪輪體及行星架被視作剛體，齒輪之間的嚙合力始終作用在其嚙合線方向上；（3）太陽輪、行星架、行星輪及各齒圈輪齒段均具有3個自由度[5]。其中，每個齒圈輪齒段的回轉軸線均通過其扭簧連接點并與中心構件的軸線相平行；

圖2 計入齒圈柔性的行星齒輪傳動力學模型Fig.2 Planetary Gar Transmission Dynamic Model with Gear Ring Flexibility

計入齒圈柔性的行星齒輪傳動系統(tǒng)簡化動力學模型，如圖2所示。圖中：k—剛度；θ—扭轉振動位移；ψi—第i個行星輪的理論位置與 x 軸正向的夾角 ψi=2π（i-1）/3；ks、kpi—太陽輪和行星輪支撐剛度（i=1，2，3）；kij—太陽輪與行星架的支撐剛度（i=c，s；j=x，y，θ）；kspi—太陽輪與行星輪的嚙合剛度；krpi—行星輪與齒圈輪齒段的嚙合剛度；krθ—相鄰兩齒圈段間連接扭簧的扭轉剛度；kr—齒圈的支撐剛度；xi、yi、θi—太陽輪、行星架及各行星輪的微位移（i=s，c，p1，2，3）。θrm為第 m 段齒圈輪齒段繞其扭簧連接點的扭轉振動微位移（m=1，2，…，M）。

2.3 系統(tǒng)中各構件的相對位移分析

式中：δspi—太陽輪與行星輪i的相對位移沿其嚙合線方向上的投影[6]，ψspi=αs-ψi，αs為外嚙合齒輪副的嚙合角；δrpi—行星輪 i與齒圈輪齒段m的相對位移沿其嚙合線方向上的投影，ψrpi=αr+ψi，αr為內嚙合齒輪副的嚙合角；δcpx、δcpy、δcpθ—行星架與行星輪的相對位移分別沿 xc、yc、θc方向上的投影；δxpi、δypi—行星輪i與行星架的相對位移沿xi、yi方向的投影；變形前后，各齒圈輪齒段的相對位置，如圖3所示。

圖3 變形前后齒圈段的位置關系Fig.3 Position Relation of Tooth Ring Section Before and After Deformation

（1）第m段齒圈輪齒段首端Am所受的扭簧扭轉恢復力矩為：

（2）第m段齒圈輪齒段末端Bm所受的扭簧扭轉恢復力矩為：

（3）將齒圈等效為以齒圈周長為長度的懸臂梁結構[7]，其彎曲剛度表示為 krθ=EIπ·（180MeL）-1。

式中：E—材料的彈性模量；L—梁結構長度；Me—輸入的單位嚙合力矩1N·m，極慣性矩I=bh3·12-1（b為齒寬42 mm，h為齒圈厚度）。

2.4 行星傳動系統(tǒng)動力學微分方程

設太陽輪、行星架的輸入、輸出轉矩分別為Tin、Tout（輸入為正，輸出為負），太陽輪、行星架、行星輪和各齒圈輪齒段的質量分別為 ms、mc、mp和 mrm，轉動慣量分別為 Is、Ic、Ip、Irm。由牛頓運動方程可得到以下。

將式（4）寫成矩陣形式，得：

式中：m—質量矩陣；kb（t）—支撐剛度矩陣；km（t）—時變嚙合剛度矩陣；kθ（t）—扭轉剛度矩陣；T（t）—外部激勵。

3 負載力作用下系統(tǒng)動力學特性

3.1 系統(tǒng)嚙合力特點分析

不失一般性，以太陽輪輸入轉速為700r·min-1行星架負載為500N·m時為例，設定扭簧的扭轉剛度為107N·mm·（°）-1太陽輪與行星輪嚙合力，如圖4（a）所示?？梢钥闯觯涸搰Ш狭︼@現(xiàn)出周期性波動的特點，周期為Tm，嚙合力波動幅值達141N；從圖4（b）中可以看出，太陽輪與行星輪動載荷的頻率成分主要為低頻，包括嚙合頻率（293Hz）及前3倍頻，其中嚙合頻率成分能量最大，二倍頻及三倍頻幅值相對較大，高倍頻幅值較小。

圖4 剛性齒圈下太陽輪與行星輪嚙合力Fig.4 The Meshing Force Between the Sun Wheel and the Planet Wheel Under the Rigid Gear Ring

同樣是在中心輪的輸入轉速為700r·min-1負載為500N·m條件下計算了系統(tǒng)動載荷。設定了扭簧的扭轉剛度k=950N·mm·（°）-1所對應的齒圈厚度為10mm?？紤]齒圈柔性時太陽輪與行星輪嚙合力，如圖5所示?？梢钥吹皆搰Ш狭Τ尸F(xiàn)出較為明顯的周期性變化，波動幅值相比于剛性齒圈條件下有所增大為165N；太陽輪與行星輪動載荷的頻率成分主要為低頻，包括嚙合頻率（293Hz）及前3倍頻，其中嚙合頻率成分能量最大，且低頻段的嚙合頻率、二倍頻以及三倍頻的頻譜幅值相比于剛性齒圈條件下所對應的頻譜幅值均有所減小。此外，進一步計算可得行星架轉頻為3.05r/s，而在太陽輪與行星輪嚙合力頻譜圖0附近出現(xiàn)了較小的低頻成分，經(jīng)計算得該頻率值為25.4Hz，恰為行星架轉頻的8倍，與理論值相符。

圖5 計入齒圈柔性時太陽輪與行星輪嚙合力Fig.5 When the Gear Ring is Flexible，the Solar Wheel and Planetary Gear are Engaged Together

3.2 太陽輪中心浮動軌跡

同樣是在輸入太陽輪轉速為700r·min-1、行星架負載力500N·m及扭簧扭轉剛為950N·mm·（°）-1條件下，經(jīng)仿真得出太陽輪的中心浮動軌跡?？紤]齒圈柔性后，如圖6（a）所示。當行星輪與齒圈的嚙合位置處在支撐點間時，太陽輪的徑向位移變大，且在支撐點的中間點位置，其徑向位移達到最大值1.3×10-3mm。從整個浮動軌跡來看，恰有8個突出，中心輪浮動軌跡較為規(guī)律，受到碰撞振動及8個支撐點的影響，中心輪在支撐點處的浮動軌跡由于受到約束，因而徑向位移較小，最大徑向位移僅為0.8×10-3mm。扭簧的扭轉剛度為107N·mm·（°）-1時太陽輪的中心浮動軌跡，如圖6（b）所示。當由齒輪副中兩齒輪齒面速度差產生的碰撞力較小，碰撞力所產生的能量很快會被消耗，從動輪開始減速，隨之再次產生碰撞，由此系統(tǒng)表現(xiàn)為周期性振動[8]。當轉速為500r·min-1時，太陽輪浮動軌跡均較為規(guī)律，受到碰撞振動的影響，齒輪每次發(fā)生碰撞均會使浮動軌跡產生瞬時較大偏離，故其中心輪浮動軌跡呈現(xiàn)出96個放射性針狀曲線。

圖6 太陽輪中心浮動軌跡Fig.6 Sun Wheel Center Floating Trajectory

4 計入柔性的齒圈固有特性與變形分析

4.1 齒圈固有特性分析

內齒圈結構的固有特性對整個行星輪系統(tǒng)的動態(tài)性能有重要的影響，而有限元方法的發(fā)展又使準確分析其結構成為可能[9]。根據(jù)多體動力學的有限段離散化建模思想，內齒圈被等分的段數(shù)應該足夠多[10]。該模型中，齒圈輪齒段數(shù)M=96，齒圈8個支撐點的支撐剛度分別為kr=1.35×1015N·m-1（徑向），kθ=1.0×1015N·m-1（周向）。

增大齒圈系統(tǒng)的剛度參數(shù)會提高其固有頻率。從圖7可以看出：在每一個齒圈厚度情況下，齒圈四節(jié)徑，五節(jié)徑，六節(jié)徑及八節(jié)徑振型各一個，隨著齒圈厚度的增加即齒圈柔性降低，其各節(jié)徑固有頻率及各節(jié)徑間的頻率差值均隨之增大。且齒圈厚度的增加對八節(jié)徑固有頻率有較大的影響。

圖7 柔性齒圈固有頻率隨齒圈厚度增加的變化特點Fig.7 The Natural Frequency of Flexible Gear Ring Varies with the Increase of Gear Ring Thickness

4.2 齒圈變形特點分析

在行星輪運轉過程中，考慮到處理的簡便性以及使其具有代表性，選擇行星輪的兩種特殊嚙合位置，即在支撐點（2～3）的中間處和支撐點3處，分別作出齒圈變形圖并分析其特點。

當太陽輪運轉到支撐點（2～3）的中間位置時，如圖 8（a）所示?？梢钥吹?，在太陽輪與齒圈嚙合的位置處齒圈變形較大，且嚙合區(qū)的齒圈均呈現(xiàn)出外凸的特點，而與外凸齒圈相鄰的齒圈段出現(xiàn)內凹之勢。明顯看出，在嚙合區(qū)1處，由于嚙合位置在兩個支撐點的中間位置，該處扭簧的扭轉變形角度較大，所對應的扭簧扭轉力矩也較大；而在嚙合2區(qū)，由于行星輪的嚙合位置距支撐點5相對較近，受到支撐點力的作用，嚙合2區(qū)的齒圈變形較為平滑微小，且沒有出現(xiàn)較大的尖角區(qū)，所以此嚙合區(qū)的扭簧扭轉變形角度以及扭轉力矩大小在整個嚙合區(qū)中最小。

進一步研究可得：在齒圈的8個支撐點位置以及三個嚙合位置處，其連接扭簧的扭轉變形角度與扭轉力矩均有突變的情況發(fā)生。在圖中可以明顯的看出該11個位置對應著圖形中的尖角處，這可以很好地說明在支撐點處以及行星輪與齒圈的嚙合區(qū)，輪齒易受到較為復雜的交變載荷，因此在設計齒圈時應適當增大支撐點處輪齒的剛度，以減小齒圈故障發(fā)生的概率。

圖8 齒圈變形特點Fig.8 Ring Gear Deformation Characteristics

如圖8（b）所示，可以看到：在嚙合1區(qū)，行星輪恰好與支撐點3處的齒圈輪齒相嚙合，由于受到支撐點作用力的影響，嚙合處的齒圈輪齒沒有發(fā)生較大的徑向位移，但嚙合區(qū)的齒圈變形較為明顯，究其原因是：因為嚙合處的齒圈輪齒被支撐彈簧所約束（徑向及周向約束），該輪齒由于受到行星輪嚙合力作用，從而沿其回轉軸線轉動較大的角度（α2），所對應此處扭簧的扭轉變形角度及扭轉力矩均產生較大的值。顯然在嚙合2區(qū)，齒圈的變形最為明顯，相對于整個齒圈而言，嚙合2區(qū)的齒圈變形量達到了最大值0.059mm；在嚙合3區(qū)，齒圈的變形量相對就比較小。

5 結論

（1）柔性齒圈下低頻段的嚙合頻率、二倍頻及三倍頻的頻譜幅值相比于剛性齒圈條件下所對應的頻譜幅值均有所減小。（2）增大齒圈系統(tǒng)的剛度參數(shù)會提高其固有頻率。且隨著齒圈厚度的增加即齒圈柔性降低，各節(jié)徑固有頻率及各節(jié)徑間的頻率差均隨之增大。齒圈厚度的增加對八節(jié)徑固有頻率有較大的影響。（3）齒圈發(fā)生最大變形的位置不在嚙合點，而出現(xiàn)在與嚙合點相鄰的齒圈段處；當支撐點處的齒圈輪齒與行星輪嚙合時，該處輪齒的齒槽處會產生較大的扭轉力矩以及較大的彎曲變形。