李海東

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程就是他們轉(zhuǎn)換和運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的過程。文字語言就是“數(shù)學(xué)化”了的自然語言;符號語言就是按一定規(guī)則組合而成、能準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)對象內(nèi)涵的符號串或式子;圖形語言就是具有各種數(shù)學(xué)信息的圖形，能幫助學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維和抽象思維的形成。這三種數(shù)學(xué)語言的表現(xiàn)形式不同，但在突出數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征方面的目標(biāo)是一致的。學(xué)生學(xué)習(xí)用符號語言表征的分?jǐn)?shù)概念時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在概念形成過程中靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，促進(jìn)他們自主發(fā)現(xiàn)概念并理解和掌握概念。

一、轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，建構(gòu)符號語言表述概念

概念是一類事物的共同特征，建構(gòu)概念需要經(jīng)歷抽象概括的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生從一些客觀事物中舍棄非本質(zhì)屬性，抽象出共同的本質(zhì)特征，歸結(jié)起來概括數(shù)學(xué)概念。學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵是把數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)換成容易理解和應(yīng)用的心理表象，這離不開數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換中反映概念的本質(zhì)屬性。

教師創(chuàng)設(shè)春游分食品的情境，學(xué)生發(fā)現(xiàn)4個(gè)橘子和2瓶可樂可以平均分，但每人只能分半個(gè)蛋糕。嘗試用不同方法表示時(shí)，有的學(xué)生用圖表示，有的學(xué)生用一半、二份中的一份或二分之一等漢字表示，有的學(xué)生用[12] 表示。交流想法時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)半個(gè)蛋糕的表示形式雖然不同，但都是把一個(gè)蛋糕平均分成2份，表示其中的1份。方法比較和優(yōu)化時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用[12]表示比較簡潔，進(jìn)而認(rèn)識到像[12] 這樣的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。在此基礎(chǔ)上，教師出示，讓學(xué)生知道不平均分就不能用分?jǐn)?shù)表示，用反例幫助他們強(qiáng)化對概念的認(rèn)識。最后，學(xué)生認(rèn)識了分?jǐn)?shù)各部分名稱及表示的意義，知道分?jǐn)?shù)線“—”表示平均分，分母“2”表示平均分成2份，分子“1”表示其中的1份。

不同表示形式都反映了分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征，用正例說理和反例矯正有助于學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性。平均分橘子和可樂是把圖形語言轉(zhuǎn)換成符號語言，平均分蛋糕是把圖形語言轉(zhuǎn)換成圖形語言、文字語言或符號語言，學(xué)生在語言轉(zhuǎn)換中初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，并在比較和優(yōu)化中認(rèn)識了用符號語言表述的分?jǐn)?shù)描述性概念;認(rèn)識分?jǐn)?shù)各部分名稱是把符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言，幫助學(xué)生在建立分?jǐn)?shù)心理表象的基礎(chǔ)上理解[12]的意義。

二、轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，深化符號語言表述概念

概念深化就是對概念進(jìn)行橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系，把一些有聯(lián)系的概念形成概念群，概念群之間相互聯(lián)結(jié)、相互影響形成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)絡(luò)體系。建立相互聯(lián)系的概念，是對先前認(rèn)識概念的感覺材料的心理闡述與綜合應(yīng)用，有利于學(xué)生形成知識網(wǎng)，體會(huì)概念間的聯(lián)結(jié)意義。有效的數(shù)學(xué)練習(xí)能幫助學(xué)生深化對所建構(gòu)概念的理解與掌握。

教師引導(dǎo)學(xué)生在一張長方形白紙上表示它的[12]。學(xué)生有三種表示方法： 。它們雖然形狀不同，但每個(gè)陰影的都是[12]。他們發(fā)現(xiàn)長方形紙只要平均分成2份，其中的1份就是它的[12]，與它的形狀沒有關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生在圓形紙片上折出它的[12]、[14]和[18]（圖1）。為了防止操作定式帶來的認(rèn)知缺陷，教師還引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識不易通過操作獲得的分?jǐn)?shù)如[13]和[17] 等，再引導(dǎo)學(xué)生把圓形紙片同向?qū)φ墼賹φ?，從中發(fā)現(xiàn)每份紙片的大小不等，無法用分?jǐn)?shù)表示，進(jìn)一步突出“平均分”。 最后，教師引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上給分?jǐn)?shù)找“家”（如圖2），建立整數(shù)、分?jǐn)?shù)知識鏈。

教師把分?jǐn)?shù)與具體的直觀圖形建立聯(lián)系，幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)表象，使他們真正理解分?jǐn)?shù)概念。折紙創(chuàng)造分?jǐn)?shù)是把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言，學(xué)生從中認(rèn)識更多分?jǐn)?shù)，不但能理解分?jǐn)?shù)與平均分的份數(shù)關(guān)系，而且能把握分?jǐn)?shù)本質(zhì)——把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成幾份，其中的1份就是它的幾分之一;給分?jǐn)?shù)找“家”，用圖形語言解釋符號語言，使抽象符號語言變得直觀、具體，有助于學(xué)生形成對分?jǐn)?shù)的整體認(rèn)識，建立數(shù)域體系。

三、轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，發(fā)展符號語言表述概念

學(xué)生對概念的認(rèn)知過程是由具體到抽象的發(fā)展過程。教師要重視概念教學(xué)的階段性和概念發(fā)展的連續(xù)性，使學(xué)生從已獲得的概念中聯(lián)想，幫助他們在靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言中完善概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)。分?jǐn)?shù)大小比較能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念，但整數(shù)大小比較的思維定式會(huì)給學(xué)生知識的負(fù)遷移，教師要引導(dǎo)學(xué)生在說理表達(dá)中發(fā)展對概念的認(rèn)識。

比較[13]和[17]大小時(shí)，學(xué)生有的畫圖比較，有的舉例說理;思考[1（）]>[1（）]>[1（）]時(shí)，學(xué)生先想到分母是10以內(nèi)數(shù)的分?jǐn)?shù)（如[12]>[13]>[14]），再想到關(guān)聯(lián)分?jǐn)?shù)（如[110]>[1100]>[11000]），最后想到特殊分?jǐn)?shù)（如[12]>[1具體數(shù)]>[1無限大的數(shù)]）。

畫圖是把符號語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，比較直觀;用文字語言表述是符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言。在兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小比較中，學(xué)生對概念有了更清晰的認(rèn)識;三個(gè)分?jǐn)?shù)大小比較時(shí)，學(xué)生積極思考，從零散分?jǐn)?shù)到特殊分?jǐn)?shù)，從有限分?jǐn)?shù)到無限分?jǐn)?shù)，從具體到抽象，分?jǐn)?shù)大小比較方法躍然紙上，分?jǐn)?shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐漸形成，學(xué)生對概念有了深刻認(rèn)識。

總之，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念形成過程中，要鼓勵(lì)學(xué)生通過轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言表征分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征，幫助他們理清概念本質(zhì)、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)他們深化對概念的理解與掌握，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位： 江蘇省泰興市南沙小學(xué)）