液壓支架立柱撓度的因次分析與仿真研究

云浩， 張海， 張繼業(yè)， 徐文蘇， 趙武

(1.河南理工大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院,河南 焦作454000；2.鄭州煤礦機械集團股份有限公司，鄭州450000)

0 引 言

隨著液壓支架支撐高度的不斷增大，對立柱工作可靠性的要求也越來越高。立柱是液壓支架的主要承載部件。目前，液壓支架的最大支撐高度已經(jīng)達到8.8 m，立柱內(nèi)徑增大到630 mm。液壓支架立柱受到偏心載荷的作用時將發(fā)生橫向彎曲，而橫向撓曲又會對立柱產(chǎn)生附加彎矩，附加彎矩的大小與橫向撓曲量和軸向載荷的大小有關(guān)。文獻[2]中要求“立柱(包括加長段)和支撐千斤頂在偏心力和(或)側(cè)向力作用后，不應(yīng)出現(xiàn)功能失效，級間過渡處的撓度值應(yīng)小于試驗長度的0.1%”。因此，為了保證立柱安全可靠地工作，需要對立柱受偏載作用下的撓度進行研究。目前關(guān)于液壓支架立柱的研究有很多，文獻[3]～文獻[5]對立柱穩(wěn)定性進行了研究。文獻[6]利用Fluent軟件對立柱在偏心載荷下的流固耦合過程進行了仿真研究，并對立柱的最大應(yīng)力、應(yīng)變及位移進行了討論。文獻[7]對φ 400 mm缸徑雙伸縮立柱的撓度進行了研究，但未考慮立柱內(nèi)流固耦合及接觸狀態(tài)的影響。文獻[8]對有無流固耦合時，雙伸縮立柱中的活柱在中心載荷作用時的位移和應(yīng)力進行了仿真和比較。文獻[9]利用流固耦合仿真技術(shù)研究了2倍中心載荷作用時的立柱應(yīng)力和位移。上述研究主要集中在基于流固耦合的立柱強度分析，而關(guān)于偏載條件下立柱撓度的研究很少。

文獻[1]給出一種立柱撓度計算的一般方法，但沒有涉及到液體初撐力、缸體膨脹、活塞與缸體之間的相對運動等因素的影響。本文聯(lián)合運用因次分析方法與數(shù)值仿真技術(shù)，對流固耦合條件下的立柱撓度進行研究，提出了一種立柱撓度計算方法。

1 立柱撓度的因次分析

因次分析又稱量綱分析，是基于因次和諧原理對某一物理現(xiàn)象有關(guān)各物理量之間的關(guān)系進行研究的一種方法，在工程學(xué)科的研究中有著廣泛的應(yīng)用。

立柱撓度的大小，主要受到立柱的結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)、初撐力、液體參數(shù)和外載荷等幾個方面因素的影響。具體來說，影響立柱撓度的因素主要包括如下7個方面：1）缸體長度L;2）缸體截面模量I;3）缸體材料的彈性模量E;4）液體黏度n ;5）液體密度ρ;6）缸體內(nèi)部初撐力P;7）外載荷（偏心彎矩）M。

取長度、質(zhì)量、時間為基本量綱，分別用L、M、T表示，立柱撓度用y表示，其量綱為長度[L]。上述7個影響因素的量綱分別為：1）立柱缸體彈性模量E。量綱—N/m2= kg·m/sm2=kg/(ms2)=ML-1T-2;2）立柱缸體截面模量I。量綱—[I]=L4;3）缸體長度L。量綱—[L]=L;4）液體黏度n。量綱—[n]=N·s/m2=kg·m/s·(s/m2)=MLT-2TL-2=M L-1T-1;5）液體密度ρ。量綱—[ρ]= kg/m3= ML-3;6）初撐力（液體壓強）P。量綱—N/m2=kg·m/s/m2=kg/(m·s2)=ML-1T-2;7）彎矩M=1.1倍額定載荷偏心距。量綱—[M]=N·m= kg·m/s·m= ML2T-2。

根據(jù)因次分析理論，立柱撓度y與上述7個因素應(yīng)滿足如下關(guān)系：

式中：a、b、c、d、e、f、g為待定指數(shù)；k為無量綱常數(shù)。

將7個因素的量綱代入式（1），得

式（2）兩邊的對應(yīng)指數(shù)應(yīng)該相等，故有：

式（3）～式（5）中有7個未知量，而方程只有3個，無法求出唯一解。為此，假設(shè)a、b、e、g已知，則可求出其余3個未知量，結(jié)果如下：

將式（6）～式（8）代入式（1）中，可得：

或

式（9）和式（10）即為立柱撓度的因次分析式。

為求解出式(10)中的未知量a、b、e、g，對式（10）兩邊同時取自然對數(shù)，得

則式（10）變形為如下的線性方程：

式（12）是一個含有4個變量的線性方程。

本文選擇3種不同缸徑的雙伸縮立柱（φ500 mm、φ250 mm、φ230 mm）進行數(shù)值仿真實驗，將數(shù)值仿真結(jié)果代入式（12），并進行多元線性回歸分析，從而求解出式（12）中的未知量K、a、b、e、g。

2 有限元仿真及未知量求解

本文采用FEM和SPH聯(lián)合仿真技術(shù)，對雙伸縮立柱流固耦合系統(tǒng)在偏載作用下的撓度進行數(shù)值仿真研究。其中，F(xiàn)EM用于求解固體域，SPH用于求解流體域。

SPH又稱光滑粒子流體動力學(xué)，是在近20多年來逐步發(fā)展起來的一種無網(wǎng)格方法。該方法將缸體內(nèi)乳化液用賦予其相同物理量的光滑粒子代替，以解決乳化液與缸體的流固耦合問題。

2.1 立柱有限元模型

雙伸縮立柱主要由底缸、中缸、活柱和導(dǎo)向套等主要零部件組成。應(yīng)按照立柱最大高度求解撓度。圖1為雙伸縮立柱全部伸出時的有限元三維模型。缸體內(nèi)液體用SPH光滑粒子代替。三種立柱的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 雙伸縮立柱有限元模型

表1 三種立柱的主要結(jié)構(gòu)和工作參數(shù)

主要部件的材料參數(shù)：缸體材料為30CrMnSi，密度7850 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3；導(dǎo)向套材料為42CrMo，密度為7850 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3。

2.2 約束及初始條件

仿真分析時，假設(shè)初撐力等于泵壓。為了具有一般性，選取φ500 mm立柱的泵壓為37.5 MPa，φ230 mm和φ250 mm立柱的泵壓為31.5 MPa。

載荷的施加：按照GB25974.2-2010《液壓支架立柱技術(shù)條件》要求，在立柱頂端施加1.1倍額定工作阻力的偏心載荷，偏心距等于活柱頂端球頭半徑R的0.3倍。3種立柱的偏心載荷分別為1870、2090、9240 kN，偏心距分別為21.00、23.25、42.00 mm。

為了便于準確施加偏心載荷，在活柱頂部增加了加載塊，如圖2所示。

圖2 偏心載荷的施加方式

約束條件：1）底缸下端球頭外表面上的節(jié)點施加固定約束，約束6個自由度；2）活柱上端的球頭與加載塊之間為粘接約束；3）導(dǎo)向套與缸體之間為粘接約束；4）活塞與缸體內(nèi)壁之間為接觸約束，摩擦因數(shù)為0.12；5）導(dǎo)向套與活塞桿之間為接觸約束，摩擦因數(shù)為0.13。

表2 三種立柱各段參數(shù)

2.3 仿真結(jié)果及未知量求解

應(yīng)用上述有限元模型，可以求解出立柱各個部位的撓度值。仿真得到的立柱撓度值是初撐力、缸體變形及活塞與缸壁之間的相對運動等因素綜合影響后的結(jié)果。如果將仿真得到的撓度值作為已知量代入式（12），求解出式中的未知量，則其結(jié)果中就包含了初撐力、缸體變形及活塞與缸壁之間的相對運動等因素對立柱撓度的影響情況。

雙伸縮立柱是包含流固耦合和接觸的復(fù)雜變截面系統(tǒng)，但立柱在偏心載荷作用下的彈性變形量和位移量均很小，故可將雙伸縮立柱看作多個包含流固耦合的等截面彈性系統(tǒng)的線性組合。在求解雙伸縮立柱的整體撓度時，可以將雙伸縮立柱按照截面特性分解為多個等截面彈性系統(tǒng)，并分別求解出各個等截面彈性系統(tǒng)的撓度。立柱的總撓度即為各個等截面彈性系統(tǒng)撓度的線性疊加。

文獻[1]中，根據(jù)立柱結(jié)構(gòu)特征將雙伸縮立柱分解為5段分別求解。其中，底缸和中缸的固定段（導(dǎo)向套長度+活塞長度），共兩段；底缸、中缸、活柱除了固定段以外的部分，共三段。本文在求解式（12）中的未知量時，不再將重合段分離出來單獨求解，而是將立柱分解為底缸段、中缸段、活柱段三段進行求解，如圖3所示。

圖3 立柱分解示意圖

圖3中，L1、L2、L3分別稱為活柱段、中缸段、底缸段的計算長度。仿真所用三種立柱的計算長度及相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)和載荷條件如表2所示。表2中，每一行為一組數(shù)據(jù)，故表中共有9組數(shù)據(jù)。

應(yīng)用前述有限元模型和約束條件、載荷條件，對3種立柱分別進行仿真，求解出每種立柱3個計算長度的撓度值，得到9個撓度數(shù)據(jù)，如表3所示。將9組數(shù)據(jù)和9個撓度值代入式（12），進行多元線性回歸分析，可求解出K、a、b、e、g如下：K=-19.272，a=-0.029，b=-0.913，e=0.417，g=1.666。

又因為K=lnk，故有：k=eK=4.268×10-9。

將k、a、b、e、g代入式（9），即得到立柱每一個計算長度的撓度計算公式：

式(13)求解出的是每一個計算長度的撓度，式中的L為計算長度。

將k、a、b、e、g代入式（6）～式（8），可求解出另外3個指數(shù)：c=0.488，d=-0.834，f=-1.220。

求解出的指數(shù)和系數(shù)如表4所示。

表4 系數(shù)和指數(shù)的求解結(jié)果

將表4的數(shù)值代入式(1)，即得到7個影響因素與立柱撓度之間的關(guān)系式：

根據(jù)式(14)，可對各個因素對撓度的影響情況進行分析。

由a<0,b<0,f<0可知，彈性模量E、立柱截面模量I和初撐力P越大，立柱撓度越??；由c>0，g>0可知，立柱計算長度L越長，外載荷彎矩M越大，立柱撓度越大。由d<0，e>0可知：液體黏度n越小，密度ρ越大，立柱撓度越大。由于液體參數(shù)幾乎不發(fā)生變化，故其對撓度的影響不予討論。

為了研究初撐力P對立柱撓度的影響情況，假設(shè)其它參數(shù)都保持不變，使初撐力由P變化至P′，對應(yīng)的撓度將變?yōu)閥′。則P變化前后的撓度之比可由式（14）得到：

同樣的，截面模量I、立柱計算長度L、外載荷M對立柱撓度的影響情況，可以用以下關(guān)系式加以描述：

以式（15）～式（18）中右側(cè)括號內(nèi)的比值為橫坐標（稱為參數(shù)比），左側(cè)比值為縱坐標，可繪制出圖4。

圖4中，當4個參數(shù)由小到大變化時，I、P對應(yīng)的撓度逐漸減小，L、M對應(yīng)的撓度逐漸增大，且P、M的變化率大于I、L。由此可見，增大立柱初撐力，相當于增大立柱的抗彎剛度。當橫坐標均為1.1，即參數(shù)增量為10%時，I、P、L、M對應(yīng)的撓度比分別為0.917、0.890、1.048和1.172。

圖4 立柱撓度比與參數(shù)比的關(guān)系曲線

實際上，上述參數(shù)往往是多個參數(shù)同時發(fā)生變化。為此，可將I、P、L、M等4個參數(shù)同時變化為I′、P′、L′、M′時，則由式（14）得

由式（19）可對多個參數(shù)同時變化時的立柱撓度進行分析。

假設(shè)立柱結(jié)構(gòu)參數(shù)一定，將工作阻力和初撐力同時增大10%，代入式（19），得到撓度比為1.043，即立柱撓度僅增大4.3%。而單獨增大工作阻力時，立柱撓度的增量是17.2%。故采用較高初撐力有利于減小由于工作阻力大幅度變化引起的立柱撓度變化。

另外，如果I、P、L、M等4個參數(shù)同時變化，且均增大10%，代入式(19)，求解出撓度比為1.00。即4個參數(shù)同時增大10%，由于各因素之間的耦合作用，立柱撓度并不發(fā)生變化。

3 因次分析式有效性檢驗

3.1 因次分析值與仿真值的比較

為了對式(14)的有效性進行檢驗，首先用式（14）求解出φ230 mm、φ250 mm、φ500 mm三種立柱的撓度值。然后，選取缸徑φ400 mm的雙伸縮立柱，并用式（14）求解出撓度值，然后進行仿真計算。缸徑φ400 mm雙伸縮立柱的結(jié)構(gòu)、材料和載荷參數(shù)見表5。φ230 mm、φ250 mm、φ400 mm、φ500 mm等4種雙伸縮立柱的撓度仿真值、計算值及其誤差見表6。

表5 φ400缸徑各段參數(shù)

表6 撓度的因次分析值與仿真值比較

由表6可以看出，立柱撓度的因次分析值與仿真值的誤差最大只有6%左右，二者吻合很好。故可應(yīng)用式（14）對立柱撓度進行預(yù)估。

3.2 因次分析值與傳統(tǒng)計算值的比較

按照文獻[1]提供的撓度計算方法，對前述的4種缸徑雙伸縮立柱的撓度進行了計算。按照要求，雙伸縮立柱被分解成5段，分別計算各段撓度。各段的計算長度見表7。應(yīng)用表7的數(shù)據(jù)，可分別求解出4種缸徑立柱總撓度。

表7 立柱分解為5段時的計算長度

表8為因次分析方法與傳統(tǒng)計算方法求解出的撓度值及其誤差比較。由表8可以看出，按照傳統(tǒng)方法求得的立柱撓度值大于因次分析式計算值。

表8 兩種計算方求解出的撓度值比較

3.3 初撐力影響分析

選取初撐力，對式（14）的計算值與仿真值之間的關(guān)系加以驗證。以φ500 mm 立 柱為例，其它參數(shù)保持不變，將初撐力由37.5 MPa改為31.5 MPa，仿真結(jié)果與式（15）的計算值如表9所示。

由表9可以看出，當初撐力降低后，按照式（14）求解出的立柱撓度增大了1.24倍。仿真結(jié)果得到的撓度比則為1.19倍，二者的誤差不到4%。表明式（14）與仿真結(jié)果吻合度很好。

表9 初撐力對立柱撓度的影響分析

4 結(jié) 論

1)應(yīng)用因次分析法，建立了液壓支架立柱撓度與立柱缸體彈性模量、截面模量、計算長度、缸體內(nèi)部初撐力、液體黏度、液體密度及偏心彎矩之間的無量綱關(guān)系式。

2)采用FEM與SPH聯(lián)合仿真技術(shù)，對4種缸徑雙伸縮立柱的撓度進行數(shù)值仿真。將撓度仿真值作為已知量，通過多元線性回歸求解出無量綱關(guān)系式中的未知量，得到了如下的立柱撓度計算式：

3) 立柱撓度隨初撐力和截面模量的增大而減小，隨彎矩和計算長度增大而增大。彎矩M和初撐力P對立柱撓度的影響相對較大，截面模量I計算長度L對立柱撓度的影響相對較小。初撐力、缸徑、立柱長度和彎矩等參數(shù)變化對立柱撓度的影響，可用如下關(guān)系式進行評價：

4）其他參數(shù)不變，增大初撐力，有利于減小工作阻力波動對立柱撓度的影響。

本文提出的撓度計算公式具有一般性意義，不僅可用于求解雙伸縮立柱的撓度，也可用于單伸縮和三伸縮立柱撓度的計算。為多伸縮立柱的撓度計算提供了一種新的方法。