品味圓錐曲線中的創(chuàng)新問題

梁洪星

網(wǎng)錐曲線中的創(chuàng)新問題主要圍繞“定義的巧用、離心率的求解、焦點三角形的面積、焦點弦長問題、軌跡方程的探究、直線與網(wǎng)錐曲線的位置關(guān)系探究，以及定值、定點、最值和范圍”等展開，凸現(xiàn)“設(shè)而不解，整體思維”的合理簡化運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、構(gòu)建不等關(guān)系求圓錐曲線離心率的值或范圍

品味：求離心率的值或范圍，常依據(jù)題設(shè)構(gòu)造a、c、的齊二次式，借助基本不等式、平面幾何性質(zhì)和曲線本身范圍構(gòu)建關(guān)于a、c、的不等關(guān)系，本題中在構(gòu)建a、c滿足的不等關(guān)系時既用到不等式取等號的條件，又用到雙曲線上任一點到其對應(yīng)焦點的距離不小于c、a的幾何性質(zhì)。

二、直線和圓錐曲線位置關(guān)系中的探索性問題

品味：利用向量運(yùn)算探究a，b，c，e的關(guān)系是基礎(chǔ)，當(dāng)知道直線與網(wǎng)錐曲線的一個交點去確定另一個交點時，是通過聯(lián)立直線方程與網(wǎng)錐曲線方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定，凸顯直線和網(wǎng)錐曲線中“設(shè)而不解，整體思維”的簡化運(yùn)算基本方法的應(yīng)用。

三、參數(shù)法探求動點的軌跡方程或進(jìn)而簡化求最值問題

品味：直接找不出動點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)可能不止一個），使x，y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。注意題設(shè)參數(shù)隱含的范圍對橫、縱坐標(biāo)的限制作用。

四.合理選擇參變量探究直線恒過定點問題

品味：本題探究以MN為直徑的網(wǎng)是否經(jīng)過定點，需要將網(wǎng)的方程（含參數(shù)）寫出來，那么重點就是要求出M，N兩點的坐標(biāo)。而M，N兩點是由直線PA，QA派生出來的，我們得先探討P，Q的坐標(biāo)。這里提供了兩種方法：第一種，設(shè)直線PQ的方程為y=kx，通過解方程組求得各個量，引入了參量k;第二種，直接設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，用參量、r⁰，y⁰表示其他量。從運(yùn)算的角度容易看出，解法二稍勝一籌。這道題給我們的啟示是：在設(shè)參的選取上，解答方案通常有兩種：設(shè)直線或設(shè)點，只有合理選參，才能減少運(yùn)算。本題用到網(wǎng)的直徑式方程（x-x¹）（x-x²）+（y-y¹）（y-y²）=0（網(wǎng)的直徑的端點是A（x¹，y¹）、B （x²，y²））。

五、由圖形的對稱性猜想定點并證明一般情形

品味：求解直線和曲線過定點問題，常常注意圖形的對稱性，南特殊位置猜測出定點，再在一般情況下進(jìn)行檢驗。如本題，在解交點時用到輪換式，猜定點時斜率不存在和特殊化處理都用到圖形的對稱性。

六.與圓錐曲線有關(guān)的最值或范圍問題

品味：解決網(wǎng)錐曲線中的最值或范圍問題一般有兩種途徑：一是利用幾何意義，特別是用網(wǎng)錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙;二是將網(wǎng)錐曲線中的最值或范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單淵性法及均值不等式法，本題第（2）問就是用的單淵性法來求|BM|+|BN|的范圍的。

（責(zé)任編輯 王福華）