數(shù)學(xué)思維在物理模型教學(xué)中的實踐應(yīng)用

鄧華

【摘 要】本文從運用函數(shù)思想分解復(fù)雜運動，借助向量運算求解矢量問題，引入極限方法進(jìn)行變恒轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合方法直觀顯示規(guī)律，通過高效類比洞悉模型核心以及運用微分思想拓展學(xué)科視野六個方面論述將數(shù)學(xué)思想與物理進(jìn)行融合的策略，以提高學(xué)生的物理能力。

【關(guān)鍵詞】高中物理 數(shù)學(xué)思維 模型教學(xué)

【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）01B-0115-02

隨著素質(zhì)教育的推進(jìn)和新課改的不斷實施，基于多學(xué)科融合的新型教學(xué)方法得到了更多的教育工作者的青睞。在高中階段的諸多科目中，數(shù)學(xué)和物理這兩門學(xué)科無論是在邏輯思維上還是在學(xué)科核心素養(yǎng)能力上都有著極大的相似之處，因此為了切實提升課堂教學(xué)實效，提升學(xué)生將不同的科學(xué)知識融會貫通的能力，教師可以有效引導(dǎo)學(xué)生將靈活的數(shù)學(xué)思維應(yīng)用于物理模型教學(xué)，使學(xué)生能夠通過系統(tǒng)化和多元化的方式來解答相關(guān)物理問題，促進(jìn)其核心素養(yǎng)全面提升。

一、函數(shù)思想，分解復(fù)雜運動

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，函數(shù)可以稱得上是應(yīng)用最為廣泛的知識模塊了，毫無疑義，函數(shù)模塊在物理學(xué)科之中也能夠發(fā)揮重要作用。借助函數(shù)的相關(guān)思想，學(xué)生能夠?qū)⑤^為復(fù)雜的物理運動模型有效轉(zhuǎn)化為幾個簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上借助函數(shù)的相關(guān)思想和知識來解決實際問題。以此來減輕學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生能夠更加輕松地應(yīng)對一些物理運動問題。

比如，在教學(xué)“平拋運動”這部分內(nèi)容的時候，如果只通過曲線運動軌跡來對其運動規(guī)律進(jìn)行剖析，那么學(xué)生很有可能覺得非常迷惑，其可能會不知該從何處開始下手。但是，如果能夠?qū)?shù)學(xué)中的函數(shù)思想巧妙地引入其中，那么學(xué)生將平拋運動進(jìn)行水平和豎直兩個方向的分解后就可發(fā)現(xiàn)，其在水平方向的運動滿足勻速直線的運動規(guī)律，即速度恒定為 v0，位移 s=v0t;在豎直方向可視作自由落體運動，速度 v1=gt，位移 。這樣學(xué)生就可以借助一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)規(guī)律和性質(zhì)對平拋運動進(jìn)行處理，全面提升學(xué)生對這類運動模型的處理和應(yīng)用能力。

其實，不止平拋運動，還有斜上拋運動和斜下拋運動等都可以通過引入數(shù)學(xué)函數(shù)思想來對相關(guān)運動規(guī)律進(jìn)行處理。這樣不僅能夠極大地提升學(xué)生對相關(guān)物理運動規(guī)律和模型的認(rèn)知能力，而且能夠在一定程度上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)其更好地將這兩門學(xué)科進(jìn)行融合，全面升華學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、向量運算，求解矢量問題

在高中物理學(xué)科中，力學(xué)是一個非常重要的模塊，對學(xué)生的學(xué)科能力的提升起到至關(guān)重要的作用。在處理與力學(xué)相關(guān)的模型和問題時，最為基礎(chǔ)也是最有效的方式便是通過向量運算來求解矢量問題。這也是借助數(shù)學(xué)思維來解決物理問題的一種典型方法，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生詳細(xì)講解相關(guān)具體步驟，促進(jìn)學(xué)生的解題效率的全面提升。

比如，在教學(xué)“力的合成和力的分解”這部分內(nèi)容的時候，有這樣一道例題：“墻壁上連接著兩根一樣長的繩子，下邊掛著一個物體。假設(shè)物體重力為 G，繩子拉力為 F，兩根繩子之間夾角為 θ，試分析拉力 F 和兩繩之間夾角 θ 的關(guān)系?！贬槍@個問題，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出相應(yīng)的受力關(guān)系圖，然后分析各個矢量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，或是引入三角形定則和平行四邊形定則，將這個物理問題有效轉(zhuǎn)化為矢量關(guān)系問題，得到? 的結(jié)論，這樣學(xué)生很容易便得到了拉力 F 和兩繩之間夾角 θ 的關(guān)系，學(xué)習(xí)效率大大提升。

由此可見，在處理這類和力學(xué)相關(guān)的物理模型時，借助向量運算的相關(guān)知識會極大地簡化學(xué)生的求解步驟，減輕學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，使學(xué)生在這個過程中對物理這門學(xué)科產(chǎn)生更強(qiáng)烈的興趣，促使其以此為契機(jī)，開啟更深層次的探索和學(xué)習(xí)活動，這對其學(xué)科能力的長遠(yuǎn)發(fā)展和提升將會產(chǎn)生顯著影響。

三、引入極限，促進(jìn)變恒轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)中，還有一個常見的概念便是極限，這個概念在物理學(xué)科之中也同樣具有非常廣泛的應(yīng)用。在高中物理學(xué)科中有很多模塊的知識涉及動態(tài)過程，即變化過程。而一般的物理規(guī)律并不能夠直接被拿來處理這類問題，但是引入極限思想后，學(xué)生就能夠?qū)⒁恍┳兓倪^程有效轉(zhuǎn)化為恒定的過程，然后便可運用一般的物理規(guī)律來處理相關(guān)問題，以此化簡解題過程。

比如，在教學(xué)“勻變速直線運動”這部分內(nèi)容的時候，學(xué)生會接觸到“瞬時速度”和“瞬時位移”等概念，很多學(xué)生雖然能夠明白其定義，但是卻不知道該如何有效處理與其相關(guān)的物理模型和問題。如果能夠引入極限思想，那么便可將瞬時速度看作“一段”時間內(nèi)的速度，只不過這“一段”時間極為短暫，是一個極限時間△t，這樣? 便可以看作 。通過這個過程，學(xué)生便能夠?qū)⒁粋€時時刻刻不斷變化的過程轉(zhuǎn)化為一個在極限時間內(nèi)恒定的過程，這樣學(xué)生便可將之前學(xué)過的與此運動模型相關(guān)的知識有效代入，使很多看似復(fù)雜的問題迎刃而解。

因此教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)盡可能地將數(shù)學(xué)的極限思想引入一些變化的物理模型之中，促使其中的某些變量能夠有效轉(zhuǎn)化為恒定的量。這樣經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練之后，學(xué)生的物理學(xué)科思維能力和自主探究能力都將得到極大提升，這也將為學(xué)生的物理學(xué)科綜合素質(zhì)和能力的升華奠定堅實基礎(chǔ)。

四、數(shù)形結(jié)合，直觀顯示規(guī)律

在數(shù)學(xué)學(xué)科中人們經(jīng)常會將幾何和代數(shù)有效結(jié)合起來，更加直觀地顯示相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律。對于某些物理模型來說，這種數(shù)形結(jié)合的方式同樣適用。引導(dǎo)學(xué)生將幾何規(guī)律轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行呈現(xiàn)，是將數(shù)學(xué)學(xué)科思維和物理模型進(jìn)行結(jié)合的一個重要方法。下面筆者將結(jié)合教學(xué)實例，談一下其在教學(xué)之中的具體應(yīng)用。

在教學(xué)“力的平衡”這一模塊的知識時，有這樣一道例題：“有兩個質(zhì)量為 m 的帶有等量同種電荷的小球 A 和 B 分別懸掛于長為 L 的線繩的一端，B 球被固定在豎直方向上不動，則球 A 會因為斥力而對 B 球產(chǎn)生偏移距離 x，試問若保持除 A 球質(zhì)量之外的其他條件不變，則當(dāng) AB 之間距離為? 時 A 球的質(zhì)量 M 應(yīng)是多少？”在解決這個問題時，筆者引導(dǎo)學(xué)生先找出各個力，標(biāo)注其大小，之后畫出受力分析圖。學(xué)生在畫圖的過程中很容易發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)動態(tài)變化前后系統(tǒng)受力分析圖滿足相似三角形的關(guān)系，之后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的關(guān)系進(jìn)行分析可知 ，，這樣進(jìn)行求解后可得到變化后的 A 球質(zhì)量 M=8 m。

由此可見，通過數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)和直觀的圖形之間建立聯(lián)系，使學(xué)生能夠更好地了解相關(guān)物理模型的核心內(nèi)容，促進(jìn)其對相關(guān)模型乃至變形后的模型的理解和提高其應(yīng)用能力。這不僅是開展素質(zhì)教育的要求，而且是全面提升學(xué)生的綜合學(xué)科能力的要求。因此教師應(yīng)當(dāng)給予足夠的重視，確保每一名學(xué)生都能夠靈活地掌握相關(guān)內(nèi)容的核心要義。

五、高效類比，洞悉模型核心

對于學(xué)生來說，其能夠掌握的模型和做過的題終究是有限的，即便再勤快的學(xué)生也不可能做過所有的題目，因此讓學(xué)生掌握解題方法是非常重要的。比如類比法，學(xué)生能夠?qū)⒆约赫莆盏奈锢砟Ｐ陀行нw移并應(yīng)用到其他相似的模型和問題之中，便可解決更多的問題，從而使學(xué)生的學(xué)科綜合素質(zhì)得以全面提升。

比如，在教學(xué)“交變電流”這部分內(nèi)容的時候，有這樣一道例題：“有一個理想變壓器，將其輸入端接入一個電動勢為 E，內(nèi)阻為 r 的電源，將其輸出端接入一個阻值為 R 的負(fù)載，試求當(dāng)功率最大時原線圈和副線圈的比值是多少？”如果想解決這個問題，那么等效思想是必不可少的，學(xué)生必須將可變電流源模型與內(nèi)阻為 r 的恒定電流源進(jìn)行類比和等效?？蓪⑸鲜鰡栴}轉(zhuǎn)化為學(xué)生之前接觸過的熟悉的模型，即當(dāng)內(nèi)阻值等于外阻值時功率最大，這樣學(xué)生就可將這個令其苦惱的問題有效解決。在這個過程中，關(guān)鍵的步驟是要弄清將模型進(jìn)行等效的核心條件，只有這樣學(xué)生才能夠進(jìn)行正確且高效的等效，才能夠得到正確的結(jié)果。

六、微分思想，拓展學(xué)科視野

在教學(xué)中，教師還需要通過系統(tǒng)化和科學(xué)化的方式來不斷拓寬和提升學(xué)生的學(xué)科視野和能力，為學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力的發(fā)展和升華積累力量。為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，教師在教學(xué)中可以有效引入數(shù)學(xué)中的微分思想，讓學(xué)生能夠借此加深對物理中的某些模型的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)能力的全面提升。

比如，在教學(xué)“交變電流”這部分內(nèi)容的時候，關(guān)于電流和電壓的有效值和最大值的關(guān)系 ，。在教學(xué)時，筆者為學(xué)生科普了微積分的相關(guān)內(nèi)容。為了正確推導(dǎo)這個公式，筆者讓學(xué)生首先計算正弦電流在一個周期 T 時間內(nèi)的熱量，之后將時間分為無限多個微元，每段時間為△t，則此時熱量 再將最大值和有效值的熱量情況進(jìn)行等效可得? 這樣學(xué)生便很容易地得出 ， 的結(jié)論。

上面這些都是將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維應(yīng)用于高中物理模型教學(xué)中的一些具體方法，當(dāng)然，數(shù)學(xué)思維在物理教學(xué)之中的應(yīng)用包括但絕不僅僅局限于此。教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合班級中學(xué)生的認(rèn)知能力和水平，結(jié)合實際情況不斷探索并有效運用恰當(dāng)?shù)乃季S方法，盡可能地使課堂效率最大化，最終全面提升學(xué)生不同學(xué)科知識的遷移應(yīng)用能力。使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)科的相關(guān)思維方法靈活應(yīng)用于物理學(xué)科的學(xué)習(xí)之中，有效提升學(xué)生對一些重要物理模型的應(yīng)用能力。

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（責(zé)編 盧建龍）