許志倩，梁云浩，閆怡飛，王貝貝

(中國石油大學(xué)(華東) 機(jī)電工程學(xué)院，山東青島 266580)

0 引言

壓裂作業(yè)下的射孔段套管要依次經(jīng)歷射孔和壓裂的作用，是套損嚴(yán)重的井段。在射孔的過程中，套管要受到射孔彈瞬間的高溫載荷沖擊，雖然套管具有良好的抗沖擊韌性，但套管仍然會出現(xiàn)孔邊開裂的情況[1-2]。實(shí)踐證明，即使?jié)M足API標(biāo)準(zhǔn)的套管，在射孔作業(yè)后仍然會出現(xiàn)孔邊開裂的問題，且低滲透油氣儲層在射孔之后的壓裂中，套管在高壓的作用下，會伴隨著呼吸效應(yīng)和水刀作用，兩種作用都會促使孔邊裂紋的延伸擴(kuò)展[3]?？走叺拈_裂會嚴(yán)重影響套管的強(qiáng)度，甚至?xí)固坠苁В虼藢τ谔坠艿纳淇仔阅?，國家?/p>

收稿日期:2019-10-09

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“非常規(guī)油氣復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)動態(tài)擴(kuò)展模擬及其對井筒完整性分析的定量影響”(51875579)；國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目“基于Euler流固耦合模型的儲氣庫井注采管柱氣流激勵振動機(jī)理及動力響應(yīng)研究”(51804330)

過模擬井射孔試驗(yàn)的方式制定了相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)，標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定孔眼處的單側(cè)裂紋長度不大于45 mm；孔眼處的裂紋寬度不大于3 mm；孔眼處裂孔率不大于10%；外徑脹大不大于5 mm；孔眼內(nèi)毛刺高度不大于2.5 mm，無孔眼處的裂紋數(shù)為零[4]。

關(guān)于壓力容器上的裂紋缺陷，已經(jīng)有許多研究通過借助有限元方法，對容器上裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子或J積分進(jìn)行分析[5-9]。針對射孔套管孔邊開裂的行為，鐘倩霞等[10-11]最早對油層套管射孔裂紋進(jìn)行了分析，通過對套管裂紋斷口進(jìn)行掃描，金相觀察、力學(xué)性能測試，從套管的管材方面提出了改善射孔性能的工藝措施；桂捷等[12]認(rèn)為壓裂作用下的射孔段套管孔邊可能會發(fā)生低周裂紋擴(kuò)展，通過有限元模型對屈服范圍內(nèi)裂紋的擴(kuò)展進(jìn)行了初步分析；許愛榮等[13]結(jié)合ANSYS有限元模型，給出了孔邊裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式，對內(nèi)壓作用下射孔套管臨界開裂應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算。對于孔邊裂紋問題，Bowie等[14]通過最先應(yīng)用復(fù)變函數(shù)法求解出了在無限大含單一孔的平板，在受到單向和雙向拉伸時(shí)孔邊的單裂紋以及雙裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子；Chen等[15-16]通過交替迭代的方法，分析了孔邊存在多裂紋的問題；Barsoum等[17]對內(nèi)壓膨脹下鋁管的孔邊開裂進(jìn)行試驗(yàn)，并建立了基于連續(xù)損傷力學(xué)的有限元模型來模擬試驗(yàn)，很好地預(yù)測了含孔管道在內(nèi)壓下的裂紋擴(kuò)展和破壞。

雖然國內(nèi)外學(xué)者對套管射孔引起的孔邊開裂已經(jīng)有了一些研究，但缺少借助斷裂力學(xué)對射孔套管孔邊開裂行為進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析。對于套管上的裂紋缺陷，斷裂力學(xué)恰以構(gòu)件含有裂紋這一事實(shí)為基礎(chǔ)，對裂紋進(jìn)行分析，可以對不同工況下的裂紋的擴(kuò)展、失穩(wěn)以及止裂的規(guī)律進(jìn)行有效的探索分析，從而在選材、工藝、壽命預(yù)測以及制定檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)等方面給出建議。因此，筆者借助斷裂力學(xué)的相關(guān)理論，從線彈性條件以及彈塑性條件兩種不同情況出發(fā)，對孔邊開裂行為展開分析，給出兩種條件下孔邊裂紋臨界內(nèi)壓的解析解，并對小范圍屈服內(nèi)的兩種斷裂判據(jù)的臨界內(nèi)壓進(jìn)行對比。

1 線彈性條件下的圓柱殼體孔邊應(yīng)力強(qiáng)度因子及臨界開裂內(nèi)壓分析

根據(jù)裂紋在不同方式作用力下的擴(kuò)張方式，裂紋可以分為張開型裂紋(Ⅰ型)、滑移型裂紋(Ⅱ型)、撕開型裂紋(Ⅲ型)，如圖1所示。

圖1 裂紋的力學(xué)特征分類

Ⅰ型裂紋受到垂直于裂紋面的外載作用，裂紋面上下張開，而Ⅱ型和Ⅲ型裂紋受到的外載平行于裂紋面，裂紋面呈前后和左右錯(cuò)開。雖然實(shí)際情況中的裂紋往往為兩種或兩種以上的復(fù)合型裂紋，但Ⅰ型裂紋是最危險(xiǎn)和常見的裂紋，為了安全，一般將其作為Ⅰ型裂紋來處理。同樣，本文中的裂紋也都作為Ⅰ型裂紋進(jìn)行處理。

射孔套管在內(nèi)壓作用下，一般會在軸線方向?qū)ΨQ開裂，而隨著內(nèi)壓的增大，軸向裂紋會撕裂，繼續(xù)延伸擴(kuò)展，如圖2所示[17]。

圖2 內(nèi)壓作用下的管道孔邊開裂情況

在斷裂力學(xué)中，對Ⅰ型裂紋、Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的裂紋尖端應(yīng)力場和位移場的求解，所有方程中都存在應(yīng)力強(qiáng)度因子這一項(xiàng)，它控制著裂尖的應(yīng)力場和位移場，是反應(yīng)場強(qiáng)的物理量，應(yīng)力強(qiáng)度因子與載荷、裂紋的長度、形狀有關(guān)。通常應(yīng)力強(qiáng)度因子寫為以下形式：

(1)

含孔邊裂紋的無限大薄板，在單向均勻拉應(yīng)力作用下的受力模型如圖3所示。

孔邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式為[18]：

(2)

式中KI——應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；

L——圓孔之外的裂紋長度，m；

r——圓孔半徑，m；

σ——作用在板上的應(yīng)力，MPa；

a——裂紋的半長，m，a=L+r。

圖3 含孔邊雙裂紋的無限大平板示意

圓柱殼體上垂直于縱向裂紋的環(huán)向應(yīng)力為：

(3)

式中P——內(nèi)壓，MPa；

D——圓柱殼體內(nèi)徑，mm；

t——圓柱殼體的壁厚，mm。

當(dāng)曲面容器受到內(nèi)壓作用時(shí)，因?yàn)橛辛鸭y的存在，破壞了徑向力的平衡，從而會使裂紋向外發(fā)生鼓脹，裂紋的尖端會產(chǎn)生用于平衡的彎曲應(yīng)力。因此，考慮圓筒上的鼓脹效應(yīng)，有效環(huán)向應(yīng)力為：

(4)

式中M——裂紋的脹鼓系數(shù)。

(5)

式中M1——縱向裂紋的鼓脹系數(shù)；

M2——環(huán)向裂紋的鼓脹系數(shù)；

R——圓柱殼體的中面半徑，mm。

將含孔平板的形狀系數(shù)引入到無孔圓柱體應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式中，綜合考慮圓柱的曲率和含圓孔形狀因子的影響，給出線彈性條件下，內(nèi)壓下圓柱殼體的孔邊Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式：

(6)

線彈性條件下的含孔圓柱殼體臨界開裂內(nèi)壓：

(7)

假設(shè)對于外徑7 in,壁厚10.36 mm的N80套管，射孔孔徑14 mm的開裂是處在線彈性范圍的，因此不對應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行塑性區(qū)修正的情況下，應(yīng)力強(qiáng)度因子關(guān)于內(nèi)壓和裂紋長度的二元函數(shù),通過MATLAB進(jìn)行表述，如圖4所示。

(a)孔邊對稱裂紋

(b)孔邊單側(cè)裂紋

可以看出，當(dāng)條件相同時(shí)，孔邊對稱裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子比孔邊單側(cè)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子要大，因此應(yīng)力集中更強(qiáng)，越容易開裂。而在很小的一段短裂紋區(qū)，應(yīng)力強(qiáng)度因子先隨著裂紋長度增加而減小，超出這個(gè)范圍之后，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋長度的增加而增大。內(nèi)壓對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響是內(nèi)壓越大，應(yīng)力強(qiáng)度因子越大，并且應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度減小和增大的趨勢也會加快。

對不同孔徑的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行分析，如圖5所示?？梢钥闯?，孔徑對孔邊應(yīng)力強(qiáng)度因子有重要影響，孔徑越大，應(yīng)力強(qiáng)度因子也越大。

(a)孔徑10 mm對稱裂紋 (b)孔徑10 mm單側(cè)裂紋

(c)孔徑12 mm對稱裂紋

2 彈塑性條件下基于COD準(zhǔn)則的含孔套管臨界開裂內(nèi)壓分析

COD(Crack Opening Displacement)理論是基于裂紋尖端的張開位移的理論。當(dāng)裂紋尖端出現(xiàn)較大的塑性區(qū)時(shí)，以線彈性條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子去判斷開裂便不再合適，但通過解析的方法對應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行塑性區(qū)修正又十分復(fù)雜，因此，通常應(yīng)用與應(yīng)變有關(guān)的位移作為描述裂紋擴(kuò)展的參量，即采用COD斷裂準(zhǔn)則。COD斷裂準(zhǔn)則主要應(yīng)用于壓力容器和管道，適應(yīng)于構(gòu)件材料為韌性較好的低強(qiáng)度鋼和中強(qiáng)度鋼[19]。

COD準(zhǔn)則中的裂紋臨界張開位移δc與材料的斷裂韌度相似，是材料的一種屬性，衡量構(gòu)件材料的韌性，可以通過試驗(yàn)測定獲得。

D-B模型為平面應(yīng)變模型，根據(jù)材料力學(xué)中的卡式定理推出的D-B模型裂紋尖端張開位移δ，處理的是處于拉伸狀態(tài)下的、中心為貫穿裂紋的無限大薄板彈塑性斷裂問題，如圖6所示。

當(dāng)裂紋尖端的塑性區(qū)大于裂紋尺寸的1/10時(shí)，裂紋的開裂視為彈塑性條件下的斷裂問題，采用裂紋尖端張開位移COD判據(jù)。

δ=δcr

(8)

(9)

圖6 D-B帶狀屈服模型

將圓孔形狀因子以及圓柱殼體的脹鼓系數(shù)引入式(9)，當(dāng)δ=δc時(shí)，對于給定的裂紋長度a，可以求得含孔管道在考慮鼓脹效應(yīng)下的臨界環(huán)向壓力：

(10)

將式(10)代入式(3)，可得管道的臨界開裂內(nèi)壓：

(11)

圖7 COD準(zhǔn)則下含孔邊裂紋的套管臨界開裂內(nèi)壓

圖8 不同孔徑下的含對稱裂紋套管臨界開裂內(nèi)壓

對于外徑7 in，壁厚10.36 mm的N80套管，射孔孔徑14 mm，采用臨界COD值δc=0.06 mm，通過MATLAB對臨界開裂內(nèi)壓函數(shù)進(jìn)行表述，套管的臨界開裂內(nèi)壓如圖7所示。

從圖7可以看出，在7～14 mm的短裂紋區(qū)，套管的臨界開裂內(nèi)壓隨著裂紋的長度在快速增大，之后套管的臨界開裂內(nèi)壓隨著裂紋長度的增加而緩慢減小；含對稱裂紋套管的臨界開裂內(nèi)壓均小于含單側(cè)裂紋套管的臨界開裂內(nèi)壓，在短裂紋區(qū)兩者的臨界開裂內(nèi)壓相差不大，這也符合套管孔邊裂紋多沿對稱開裂的事實(shí)。

對于不同射孔孔徑的套管，通過MATLAB對關(guān)于裂紋長度與孔徑的二元函數(shù)進(jìn)行表述，套管的臨界開裂內(nèi)壓如圖8,9所示。

可以看出，套管的臨界開裂內(nèi)壓值隨著孔徑的增大呈減小趨勢，并且孔徑較大的套管相較孔徑較小的套管，套管臨界開裂內(nèi)壓值隨著裂紋長度變化、其增大和減小速度都要小，即孔徑較大的套管臨界開裂內(nèi)壓值變化較平緩。

3 小范圍屈服情況下兩種斷裂判據(jù)的套管臨界開裂內(nèi)壓對比

當(dāng)套管環(huán)向應(yīng)力較低時(shí)，σ/σs<0.5，屬于小范圍屈服。對于N80套管，結(jié)合式(3)可得，套管小范圍屈服范圍內(nèi)套管的內(nèi)壓P<36.4 MPa。從圖8中彈塑性條件下的套管臨界內(nèi)壓曲線可以看出，對外徑7 in，壁厚10.36 mm，射孔孔徑14 mm的N80套管，其臨界開裂內(nèi)壓分析一直處于小范圍屈服情況中。

對外徑7 in，壁厚10.36 mm，射孔孔徑14 mm的N80套管進(jìn)行臨界開裂內(nèi)壓分析，若依據(jù)線彈性條件下的圓柱殼體的臨界開裂內(nèi)壓公式(7)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合小范圍屈服情況下的臨界張開位移δc與斷裂韌度KIc之間的關(guān)系，如式(12)所示。

(12)

根據(jù)線彈性條件下的圓柱殼體臨界開裂內(nèi)壓公式，計(jì)算出的套管臨界開裂內(nèi)壓如圖10所示。

將線彈性下以KIc為斷裂判據(jù)和彈塑性下以δc為斷裂判據(jù)得到的套管臨界開裂內(nèi)壓進(jìn)行對比，如圖11所示。

圖10 線彈性條件下含孔邊裂紋的套管臨界開裂內(nèi)壓

圖11 線彈性條件和彈塑性條件下含孔邊裂紋的套管臨界開裂內(nèi)壓對比

可以看出，線彈性條件下的套管臨界開裂內(nèi)壓均大于彈塑性條件下得到的臨界開裂內(nèi)壓，但兩者的臨界開裂內(nèi)壓很接近，而且臨界開裂內(nèi)壓越小，線彈性條件下的解和彈塑性條件下的解就越接近。出現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象的原因是臨界開裂內(nèi)壓值越小，臨界環(huán)向應(yīng)力就越小，從而屈服范圍越小，因此，線彈性條件下的解越接近彈塑性條件下的解。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用斷裂力學(xué)，通過解析的方式對套管的孔邊開裂行為進(jìn)行分析，給出了線彈性條件和彈塑性條件下內(nèi)壓作用的圓柱殼體孔邊開裂的力學(xué)模型，并對小范圍屈服情況下兩種條件的套管臨界開裂內(nèi)壓進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模型的正確性。對線彈性條件下管道應(yīng)力強(qiáng)度因子模型和彈塑性條件下管道的臨界開裂內(nèi)壓模型應(yīng)用MATLAB進(jìn)行表述，得出如下結(jié)論。

(1)相同條件下，管道的孔邊對稱裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子要比孔邊單側(cè)應(yīng)力強(qiáng)度因子大，因此對稱裂紋應(yīng)力集中更強(qiáng)，容易開裂?？讖綄走吜鸭y的應(yīng)力強(qiáng)度因子有很大影響，大孔徑的孔邊裂紋應(yīng)力集中更強(qiáng)。

(2)在很小的一段短裂紋區(qū)，應(yīng)力強(qiáng)度因子先隨著裂紋長度增加而減小，超出這個(gè)范圍之后，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋長度的增加而增大。內(nèi)壓對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響是內(nèi)壓越大、應(yīng)力強(qiáng)度因子越大，并且應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度減小和增大的趨勢也會加快。

(3)圓柱殼體的孔邊裂紋在一定范圍內(nèi)的短裂紋區(qū)，其管道的臨界開裂內(nèi)壓隨著裂紋長度的增大也快速增大，隨后管道的臨界開裂內(nèi)壓隨著裂紋長度的增大緩慢減小。

(4)含孔邊對稱裂紋的管道臨界開裂內(nèi)壓要小于含單側(cè)裂紋的管道臨界開裂內(nèi)壓，但在一定的短裂紋區(qū)內(nèi)，兩者臨界開裂內(nèi)壓相差不大。

(5)管道的臨界開裂內(nèi)壓值隨著孔徑的增大呈減小趨勢，并且孔徑較大的套管相較孔徑較小的套管，套管臨界開裂內(nèi)壓值隨著裂紋長度變化，其增大和減小速度都要小，即孔徑較大的套管臨界開裂內(nèi)壓值變化較平緩。