存在差異化產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)和采購(gòu)價(jià)格時(shí)變的EOQ模型

武 濤，郭雄飛 （安徽師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，安徽 蕪湖241002）

WU Tao, GUO Xiongfei (School of Economy and Management, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

0 引 言

隨著消費(fèi)者需求的多樣化，大量的品牌制造商正逐步采取產(chǎn)品差異化的策略來(lái)滿足消費(fèi)者的個(gè)性化需求，而在產(chǎn)品差異化策略背景下，制造商的庫(kù)存和訂貨策略則發(fā)生了相應(yīng)變化，故基于需求固定，產(chǎn)品單一和采購(gòu)價(jià)格固定等假設(shè)條件的EOQ 模型，已無(wú)法準(zhǔn)確地刻畫目前的供應(yīng)鏈商業(yè)實(shí)踐。

因此，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者開始將傳統(tǒng)的EOQ模型進(jìn)行擴(kuò)展，例如將其中的某個(gè)參量由固定常數(shù)擴(kuò)展為時(shí)變參量，或者將傳統(tǒng)的單庫(kù)存系統(tǒng)演進(jìn)為雙庫(kù)存系統(tǒng)等。Hadley 和Matsuyama 等[1-3]研究了采購(gòu)成本為變量的EOQ模型，將傳統(tǒng)研究中采購(gòu)成本固定的條件做了進(jìn)一步延伸。鄭惠莉等[4]考慮了需求和采購(gòu)價(jià)格時(shí)變的問(wèn)題，給出庫(kù)存的最優(yōu)采購(gòu)策略。張旭梅等[5]認(rèn)為開始補(bǔ)貨后缺貨補(bǔ)足需要的等待時(shí)間與短缺量拖后率有關(guān)，建立了補(bǔ)貨能力影響短缺量拖后率的邊補(bǔ)貨邊需求EOQ 模型。Birbil 等[6]考慮了積壓短缺的情形下額需求、采購(gòu)價(jià)格和運(yùn)輸成本不變的EOQ 模型。羅兵等[7]進(jìn)一步考慮特價(jià)商品在缺貨期間顧客的等待意愿與價(jià)格和等待時(shí)間有關(guān)，構(gòu)建了一個(gè)需求相關(guān)下顧客等待意愿不相同的特價(jià)商品經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型。

而上述學(xué)者以及國(guó)內(nèi)外的大量對(duì)于EOQ 模型的研究，都是基于產(chǎn)品種類單一且不考慮市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的背景，在目前的商業(yè)實(shí)踐中，因消費(fèi)者需求的個(gè)性化和多樣化，制造商往往采取橫向或縱向差異化的產(chǎn)品策略，而本文則分析了市場(chǎng)中存在高端和低端兩種差異化產(chǎn)品相互競(jìng)爭(zhēng)的情形，并結(jié)合采購(gòu)價(jià)格時(shí)變、存貨影響銷售等傳統(tǒng)研究假設(shè)，研究了產(chǎn)品差異化競(jìng)爭(zhēng)等情形對(duì)EOQ 庫(kù)存模型的影響。

1 研究假設(shè)及符號(hào)定義

參照文獻(xiàn)[4]中基本的EOQ 模型，并基于市場(chǎng)中差異化產(chǎn)品互相競(jìng)爭(zhēng)和價(jià)格時(shí)變的背景，本文的模型假設(shè)如下：（1） 系統(tǒng)的計(jì)劃銷售期是確定的。（2） 高端和低端產(chǎn)品的需求確定，且在市場(chǎng)中存在一定程度上的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。（3） 差異化產(chǎn)品的采購(gòu)價(jià)格皆隨時(shí)間遞減，但高端和低端產(chǎn)品采購(gòu)價(jià)格的遞減速率不同。（4） 參考文獻(xiàn)[4]，本文假設(shè)低端產(chǎn)品存在存貨影響銷售的情況，影響程度為任意時(shí)刻庫(kù)存水平的函數(shù)。而高端產(chǎn)品因其具有稀缺性、高價(jià)值性和低替代性等特點(diǎn)，故消費(fèi)者在購(gòu)買高端產(chǎn)品時(shí)受存貨影響的程度較低，本文研究則忽略其影響。而通過(guò)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，細(xì)致的銷售服務(wù)會(huì)讓消費(fèi)者愿意付出更多的等待時(shí)間，故本文考慮高端產(chǎn)品存在服務(wù)影響銷售的情況。（5） 允許缺貨，短缺量滯后供給率與短缺量獲得滿足的等待時(shí)間呈負(fù)指數(shù)關(guān)系；并假設(shè)補(bǔ)貨能及時(shí)滿足。

本文使用的數(shù)學(xué)符號(hào)如下：

t0：產(chǎn)品開始缺貨的時(shí)刻點(diǎn)；t1：下一周期開始補(bǔ)貨的時(shí)刻點(diǎn)；T：補(bǔ)貨周期的長(zhǎng)度；S：庫(kù)存系統(tǒng)期初的庫(kù)存量；β：庫(kù)存影響銷售系數(shù)；RH,RL：高端和低端產(chǎn)品的銷售收入；CHH,CHL：高端和低端產(chǎn)品的保管成本；CBH,CBL：高端和低端產(chǎn)品的采購(gòu)成本；CDH,CDL：高端和低端產(chǎn)品的丟單成本；CSH,CSL：高端和低端產(chǎn)品的滯后供給成本；DH,DL：高端和低端產(chǎn)品的市場(chǎng)需求，且高端和低端產(chǎn)品在市場(chǎng)中存在競(jìng)爭(zhēng)，參考文獻(xiàn)[8]中的需求函數(shù)。

pBH,pBL：高端和低端產(chǎn)品的采購(gòu)價(jià)格，且采購(gòu)價(jià)格時(shí)變，隨著時(shí)間推移，高端和低端產(chǎn)品的采購(gòu)價(jià)格皆存在一定程度的下降。因諸如高端電子產(chǎn)品和電器元件，受技術(shù)更新等因素的影響程度更高，參考文獻(xiàn)[9]，假設(shè)采購(gòu)價(jià)格隨時(shí)間呈指數(shù)遞減，即而低端產(chǎn)品本身具有低價(jià)優(yōu)勢(shì)且市場(chǎng)替代性較低，本文參考文獻(xiàn)[9]，假設(shè)其采購(gòu)價(jià)格隨時(shí)間線性遞減，即=p0-ηt。

對(duì)Chung 等[10]的短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)進(jìn)行改進(jìn)，具體表示為：

其中，k1,k2分別表示價(jià)格和服務(wù)的短缺量拖后率影響因子，τ 為短缺量獲得滿足的等待時(shí)間。

2 數(shù)學(xué)模型

圖1 各周期內(nèi)庫(kù)存水平的變化情況

在企業(yè)差異化產(chǎn)品策略影響下，同時(shí)考慮到高端和低端產(chǎn)品采購(gòu)價(jià)格隨時(shí)間推移呈現(xiàn)不同程度的遞減趨勢(shì)。本文建立的差異化產(chǎn)品EOQ 模型中，在補(bǔ)貨周期i內(nèi)，高端和低端產(chǎn)品的庫(kù)存水平（分別以表示） 隨時(shí)間變化的曲線由兩個(gè)階段構(gòu)成。如圖1 所示：第一階段，庫(kù)存系統(tǒng)中不發(fā)生缺貨，存貨被市場(chǎng)需求消耗至t0時(shí)刻，庫(kù)存水平降為0；第二階段，庫(kù)存系統(tǒng)中發(fā)生缺貨，且短缺量部分滯后供給，直到時(shí)間到達(dá)補(bǔ)貨的開始時(shí)刻t1。

在計(jì)劃時(shí)域內(nèi)，庫(kù)存水平的變化如圖1 所示，采購(gòu)周期中時(shí)間區(qū)間為［0,t1］內(nèi)，高端和低端產(chǎn)品的庫(kù)存水平分別滿足以下方程：

由此可以分別計(jì)算出單個(gè)周期內(nèi)，高端和低端產(chǎn)品的銷售收入和各項(xiàng)成本：

銷售收入：

采購(gòu)成本：

保管成本：

丟單成本：

因此高端和低端產(chǎn)品庫(kù)存系統(tǒng)中，單個(gè)銷售周期內(nèi)的平均利潤(rùn)（以πH,πL表示） 為：

根據(jù)逆向歸納法和子博弈納什均衡原理，分析高端和低端產(chǎn)品庫(kù)存系統(tǒng)的平均利潤(rùn)函數(shù)，可得制造商的最優(yōu)決策變量為：

3 模型分析及管理意義

證明：通過(guò)將低端產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)πL對(duì)缺貨時(shí)間t2做一階和二階偏導(dǎo)可得：依據(jù)上文假設(shè)及分析，低端產(chǎn)品的市場(chǎng)需求始終存在且參數(shù)k0,k3和指數(shù)始終大于0。故當(dāng)?shù)投水a(chǎn)品的市場(chǎng)銷售價(jià)格滿足條件則始終存在

由定理1 可知，當(dāng)?shù)投水a(chǎn)品的銷售價(jià)格低于某一閾值時(shí)，隨著缺貨時(shí)間t2的增加，低端產(chǎn)品的利潤(rùn)降低，因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)品價(jià)格過(guò)低時(shí)，消費(fèi)者放棄購(gòu)買的機(jī)會(huì)成本較低，此時(shí)若缺貨時(shí)間增加，消費(fèi)者則會(huì)放棄或選擇市場(chǎng)中的其他零售商，從而造成利潤(rùn)降低，且隨著缺貨時(shí)間推移，消費(fèi)者的購(gòu)買欲望降低和等待成本增加，進(jìn)一步造成利潤(rùn)損失加大。

定理2 高端和低端產(chǎn)品的利潤(rùn)始終是關(guān)于期初庫(kù)存量S的凹函數(shù)，令若S＜SL，則?πL/?S＞0；若S＞SL，則?πL/?S＜0。令若S＜SH，則?πH/?S＞0；若S＞SH，則?πH/?S＜0。

由定理2 分析可知，當(dāng)差異化產(chǎn)品的期初庫(kù)存量較小且小于某一閾值時(shí)，隨著高端和低端產(chǎn)品庫(kù)存系統(tǒng)的期初庫(kù)存量增大，高端和低端產(chǎn)品的利潤(rùn)會(huì)逐漸增加；當(dāng)差異化產(chǎn)品的期初庫(kù)存量較大且大于某一閾值時(shí)，隨著高端和低端產(chǎn)品庫(kù)存系統(tǒng)的期初庫(kù)存量增大，高端和低端產(chǎn)品的利潤(rùn)會(huì)逐漸減少。但始終存在兩者利潤(rùn)的增加速率隨期初庫(kù)存量的增大而遞減。

定理3 如圖2 所示，當(dāng)?shù)投水a(chǎn)品售價(jià)pL和丟單成本cDL位于區(qū)域T2,T3時(shí)，?πL/?b＜0；當(dāng)pL和cDL位于區(qū)域T1,T4時(shí)，?πL/?b＞0。如圖3 所示，當(dāng)高端產(chǎn)品銷售服務(wù)SH和丟單成本cDH位于區(qū)域Tb,Tc時(shí)，?πH/?B＜0；當(dāng)SH和cDH位于區(qū)域Ta,Td時(shí)，?πH/?b＞0。

圖2 低端產(chǎn)品售價(jià)pL 和丟單成本cDL 的變動(dòng)范圍

圖3 高端產(chǎn)品銷售服務(wù)SH 和丟單成本cDH 的變動(dòng)范圍

由定理3 分析說(shuō)明，高端和低端產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)程度越大，給高端和低端產(chǎn)品利潤(rùn)帶來(lái)的影響是不明確的，就低端產(chǎn)品而言，當(dāng)產(chǎn)品的售價(jià)和丟單成本較低，且低于某一閾值時(shí)，差異化產(chǎn)品之間競(jìng)爭(zhēng)越激烈，給低端產(chǎn)品帶來(lái)的利潤(rùn)損失越大。就高端產(chǎn)品而言，當(dāng)產(chǎn)品銷售服務(wù)程度和丟單成本較低，且低于某一閾值時(shí)，差異化產(chǎn)品間競(jìng)爭(zhēng)越激烈，則會(huì)造成高端產(chǎn)品利潤(rùn)的減少。

定理6 當(dāng)時(shí)，高端產(chǎn)品的期初庫(kù)存量SH隨高端產(chǎn)品售價(jià)pH的提升而增加；當(dāng)/2 時(shí)，高端產(chǎn)品的期初庫(kù)存量SH隨高端產(chǎn)品售價(jià)pH的提升而減少。

證明：

4 數(shù)值仿真及靈敏度分析

為了求解本文提出模型的最優(yōu)策略，以及進(jìn)行主要參數(shù)的靈敏度分析，參考文獻(xiàn)[4]的數(shù)據(jù)，假定庫(kù)存系統(tǒng)的基本參數(shù)為：a=10，b=0.3，β=0.25，η=-0.005，k0=5，k1=0.1，k2=0.1，k3=0.2，ρ=1.3，p0=2，hL=1.5，hH=2.5，cDL=1，cDH=3，pH=9，pL=3，sH=4，本節(jié)對(duì)高低端產(chǎn)品替代程度、存貨影響銷售因子、等待時(shí)間敏感因子和消費(fèi)者對(duì)低端產(chǎn)品價(jià)格、高端產(chǎn)品服務(wù)敏感因子做了靈敏度分析。表1 至表5 反映了各參數(shù)分別對(duì)低端和高端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間、期初庫(kù)存量和平均利潤(rùn)的影響。

表1 存貨影響銷售因子β 的靈敏度分析

表2 高低端產(chǎn)品替代程度b 的靈敏度分析

由表1 可知，隨著存貨影響銷售因子的增大，低端產(chǎn)品的期初庫(kù)存量和平均利潤(rùn)略微增加，缺貨時(shí)間不變，而高端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間、期初庫(kù)存量和平均利潤(rùn)不受影響。這是因?yàn)殡S著存貨影響銷售因子增大，制造商則會(huì)通過(guò)進(jìn)一步增加低端產(chǎn)品的期初庫(kù)存量，以此增加低端產(chǎn)品在現(xiàn)貨期間的存貨量，刺激顧客消費(fèi)，從而增加銷售低端產(chǎn)品的平均利潤(rùn)。而高端產(chǎn)品銷售時(shí)，顧客更多地是關(guān)注銷售服務(wù)和產(chǎn)品本身，受產(chǎn)品存貨數(shù)量的影響較小，故決策變量和平均利潤(rùn)不受影響。

由表2 可知，隨著高低端產(chǎn)品的替代程度增加，高端和低端產(chǎn)品的期初庫(kù)存量和平均利潤(rùn)均增大，而產(chǎn)品的缺貨時(shí)間均不受影響。這是因?yàn)殡S著高低端產(chǎn)品的替代程度增加，差異化產(chǎn)品間的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)愈加激烈，低端產(chǎn)品銷售商通過(guò)增加產(chǎn)品庫(kù)存，來(lái)增加產(chǎn)品銷售。高端產(chǎn)品銷售商通過(guò)增加產(chǎn)品庫(kù)存，一定程度上降低了缺貨帶來(lái)的丟單損失，以增加利潤(rùn)。

表3 低端產(chǎn)品價(jià)格敏感因子k1 的靈敏度分析

表4 高端產(chǎn)品服務(wù)敏感因子k2 的靈敏度分析

由表3 和表4 可知，隨著低端產(chǎn)品價(jià)格敏感因子的增大，低端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間減少，平均利潤(rùn)先減少后增加，期初庫(kù)存量不變。高端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間、期初庫(kù)存量和平均利潤(rùn)均不受影響；隨著高端產(chǎn)品服務(wù)敏感因子增加，高端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間和平均利潤(rùn)均減少，期初庫(kù)存量不變。低端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間、期初庫(kù)存量和平均利潤(rùn)均不受影響。這是因?yàn)闊o(wú)論是隨著k1或k2增大，會(huì)造成低端或高端產(chǎn)品的短缺量供給分?jǐn)?shù)減小，使得產(chǎn)品的訂貨量減少，此時(shí)低端或高端產(chǎn)品銷售商應(yīng)縮短缺貨時(shí)間，及時(shí)滿足消費(fèi)者需求，從而彌補(bǔ)丟單帶來(lái)的利潤(rùn)損失。

由表5 可知，隨著等待時(shí)間敏感因子的增大，低端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間減少，期初庫(kù)存量不變，平均利潤(rùn)減少；高端產(chǎn)品的缺貨時(shí)間減少，期初庫(kù)存量略微增加，平均利潤(rùn)減少。同表3 和表4分析過(guò)程，這是因?yàn)殡S著k3增加，會(huì)造成低端和高端產(chǎn)品的短缺量供給分?jǐn)?shù)減小，差異化產(chǎn)品的訂貨量均減少。此時(shí)，差異化產(chǎn)品銷售商應(yīng)縮短缺貨時(shí)間，以增加利潤(rùn)。

表5 等待時(shí)間敏感因子k3 的靈敏度分析

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)對(duì)于單一產(chǎn)品EOQ 模型研究的基礎(chǔ)上，基于市場(chǎng)中存在差異化產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)的背景，提出高端和低端產(chǎn)品短缺量滯后供給率是關(guān)于顧客等待時(shí)間、低端產(chǎn)品售價(jià)和高端產(chǎn)品服務(wù)水平的函數(shù)，并綜合考慮了差異化產(chǎn)品采購(gòu)價(jià)格時(shí)變，低端產(chǎn)品存貨影響銷售等因素，建立了相應(yīng)的異質(zhì)品EOQ 模型，拓展了傳統(tǒng)EOQ 模型的實(shí)用性。通過(guò)建模計(jì)算和理論分析，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于高端和低端產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)，存在最優(yōu)缺貨時(shí)間和產(chǎn)品期初庫(kù)存量使得差異化產(chǎn)品銷售商獲得最大平均利潤(rùn)，并且差異化產(chǎn)品的銷售價(jià)格和競(jìng)爭(zhēng)程度在不同的閾值范圍內(nèi)，決策變量對(duì)利潤(rùn)的影響不同。并通過(guò)算例的數(shù)值仿真驗(yàn)證了模型求解的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)低端產(chǎn)品的價(jià)格敏感因子、高端產(chǎn)品的服務(wù)敏感因子和顧客等待時(shí)間敏感因子的增加，會(huì)分別造成差異化產(chǎn)品的短缺量拖后率降低，從而銷售商需通過(guò)減少缺貨時(shí)間或增加產(chǎn)品期初庫(kù)存量來(lái)獲得最大平均利潤(rùn)。本文提出的模型為商業(yè)實(shí)踐中采取產(chǎn)品差異化策略的制造商在產(chǎn)品定價(jià)、期初庫(kù)存量設(shè)置等方面的決策提供了參考。