張新燕，羅 驍，張 珺，原梅妮，李立州

(1.中北大學(xué) 機電工程學(xué)院， 太原 030051； 2.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 太原 030051)

隨著航空發(fā)動機日益向著高推重比、高負荷、高效率的方向發(fā)展，其葉片變得更輕薄，結(jié)構(gòu)變得更緊湊。這就使得上下游葉片之間的間距不斷減小，葉片間的干涉越來越顯著。上下游干涉作用引起的葉片氣動彈性、周期性疲勞振動和顫振等問題變得十分突出，對這一問題的研究引起了越來越多的關(guān)注[1-3]。Huang等[4]的研究結(jié)果甚至顯示上游靜子的尾流會改變下游轉(zhuǎn)子葉片的氣動彈性穩(wěn)定性，進行葉片顫振預(yù)測時應(yīng)考慮相鄰葉排間距的影響。楊慧等[5]使用自行開發(fā)的程序詳細分析了上游靜葉的尾流對轉(zhuǎn)子葉片顫振穩(wěn)定性的影響。

隨著計算機的快速發(fā)展，計算流體力學(xué)(CFD)以其計算精確和結(jié)果可靠的優(yōu)勢已成為研究葉片氣動彈性振動問題的主要方法，但是該方法存在著對計算資源消耗過大和耗時久(尤其是面對大型工程問題如航空發(fā)動機的內(nèi)流場計算等)等的問題[6-17]。所以針對CFD技術(shù)的這些缺點，20世紀90年代提出了建立非定常氣動力降階模型(ROM)，用于解決CFD計算耗時久和消耗計算資源過大的問題[10-17]。氣動力降階模型以其消耗計算資源少，對氣動力描述準確等特點，得到迅速發(fā)展和應(yīng)用。Silva[14]提出了基于 Volterra 級數(shù)的非線性氣動力降階模型。Hall等[15]建立了基于諧波平衡法的降階模型來計算渦輪機械中非定常流動，其結(jié)果表明降階模型的計算效率比直接用CFD求解快1到2個數(shù)量級。Thomas[16]建立的POD降階模型對跨音速條件下的三維機翼進行了顫振分析。Ashcroft等[17]的研究結(jié)果表明諧波平衡法可用于在亞音速和跨音速流動條件下準確預(yù)測二維壓縮機級聯(lián)的顫振特性。

氣動力降階模型的應(yīng)用雖然極大的提高了計算效率，節(jié)省了計算資源，但在不同的邊界條件下其計算精度不同。為了探究影響基于諧波平衡法的氣動力降階模型計算精度的因素，本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上，通過建立不同尾流均值壓力和尾流諧波振幅下的氣動力降階模型，預(yù)測葉片氣動力響應(yīng)，并與CFD計算結(jié)果進行對比，討論這些因素對氣動力降階模型計算精度的影響。

1 基于諧波平衡法的尾流激勵葉片氣動力降階模型

諧波平衡法的主要思想是通過對系統(tǒng)的狀態(tài)變量進行傅立葉級數(shù)展開，將非定常系統(tǒng)問題轉(zhuǎn)換為振幅定常問題求解，以此來直接模擬系統(tǒng)周期性非線性振蕩現(xiàn)象。以圖1所示的尾流激勵的葉片氣動力系統(tǒng)為例，根據(jù)文獻[11]，首先按照傅里葉級數(shù)將上游尾流的壓力波分解為定常均值部分和N階諧波部分：

(1)

(2)

圖1 尾流激勵的葉片氣動力系統(tǒng)

2 壓力波均值對氣動力降階模型精度的影響

采用圖2所示二維葉片流場的CFD模型驗證尾流激勵的葉片氣動力降階模型方法。流場采用Fluent求解，理想氣體， Spallart-Allmaras模型，計算初始溫度300 K，流場出口壓力不變，為 101 325 Pa。以流場進口最下方點為壓力波基準點，尾流以10 m/s的速度從基準點開始沿著進口向上方移動。

圖2 葉片流場的CFD模型

首先研究壓力波均值對氣動力降階模型精度的影響。選擇多組均值不同波形相同的尾流壓力波對基于諧波平衡法的氣動力降階模型進行研究。根據(jù)式(1)將這幾組尾流壓力波進行傅里葉級數(shù)展開，取前7階波形，采用文獻[11]中的尾流諧波系數(shù)及頻率(見表1)，求得各尾流的壓力均值p0分別為106 325 Pa，111 325 Pa，124 325 Pa，143 325 Pa，150 325 Pa，160 325 Pa。

表1 尾流分解后的諧波幅值和頻率

將進口平均壓力(p0)和表1中各諧波分別加載到流場進口處，并根據(jù)式(2)建立上述各尾流下的降階模型預(yù)測葉片氣動力，并與CFD模型下的計算結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖3至圖8所示，從圖中可以看出隨著壓力波均值的增大氣動力降階模型的精度增加。

為了更清晰的觀察進口平均壓力對氣動力降階模型精度的影響，表2給出不同進口平均壓力的氣動力降階模型計算的氣動力響應(yīng)結(jié)果與CFD結(jié)果之間的誤差。

圖3 p0為106 325 Pa的尾流激勵降階模型的氣動力結(jié)果

圖4 p0為111 325 Pa的尾流激勵降階模型的氣動力結(jié)果

圖5 p0為124 325 Pa的尾流激勵降階模型的氣動力結(jié)果

圖6 p0為143 325 Pa的尾流激勵降階模型的氣動力結(jié)果

圖7 p0為150 325 Pa的尾流激勵降階模型的氣動力結(jié)果

圖8 p0為164 325 Pa的尾流激勵降階模型的氣動力結(jié)果

p0/Pa平均絕對誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差平均相對誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差106 32550.745 8 40.873 5 1.842 6 20.165 69.710 811.824 9111 32542.432 1 34.208 4 1.453 8 8.657 64.185 44.848 8124 32527.166 2 26.218 3 1.006 1 2.431 41.403 31.485 2143 32522.183 3 23.286 0 0.854 9 1.075 40.681 00.691 6150 32521.930 2 22.880 4 0.839 4 0.908 80.573 00.581 8164 32521.659 3 22.384 7 0.820 2 0.695 20.435 20.441 4

從表2中進一步可以看出：隨著進口尾流平均壓力的增大，氣動力降階模型的計算精度逐步提高。這說明尾流壓力波均值越大，氣動力降階模型的計算結(jié)果越精確。

3 尾流振幅對葉片氣動力降階模型精度的影響

第2節(jié)討論了進口平均壓力對氣動力降階模型計算精度的影響，本節(jié)將討論進口壓力不變的情況下，尾流諧波振幅對氣動力降階模型計算精度的影響。按照前述尾流壓力波形，構(gòu)造尾流壓力波：

(3)

其中，β為尾流諧波的振幅放大系數(shù)。

為進一步更清晰的觀察振幅對氣動力降階模型精度的影響，表3給出不同振幅的氣動力降階模型結(jié)果與CFD結(jié)果之間的誤差。

圖9 β=1的氣動力計算結(jié)果

圖10 β=2/3的氣動力計算結(jié)果

圖11 β=1/3的氣動力計算結(jié)果

圖12 β=1/6的氣動力計算結(jié)果

圖13 β=1/10的氣動力計算結(jié)果

振幅放大系數(shù)β平均絕對誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差平均相對誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差150.745 8 40.873 5 1.842 6 20.165 69.710 811.824 9 2/330.836 8 24.709 4 1.061 5 12.622 66.014 87.015 0 1/311.595 9 10.008 5 0.403 8 2.471 34.833 72.743 0 1/64.157 6 4.152 5 0.153 8 1.714 11.024 31.048 4 1/102.342 1 2.347 1 0.086 6 0.956 90.576 20.588 1

從表3中進一步可以看出：隨著幅值系數(shù)的降低，葉片氣動力降階模型的計算精度逐步提高。這說明尾流諧波擾動部分的振幅越低，氣動力降階模型的計算精度就越高。

4 結(jié)論

1) 基于諧波平衡法的氣動力降階模型能快速準確的描述尾流激勵下的葉片氣動力；

2) 隨著進口尾流壓力的增大，尾流激勵下的葉片氣動力降階模型的計算精度越高；

3) 隨著尾流諧波振幅的降低，尾流激勵下的葉片氣動力降階模型計算精度逐漸提高。