林劍疊， 閻玉秀

(浙江理工大學(xué) 服裝學(xué)院，浙江 杭州 310018)

庫(kù)存管理(inventory management)是管理界永恒的話(huà)題，對(duì)庫(kù)存管理的研究一直都是生產(chǎn)管理領(lǐng)域探索的前沿[1]，特別是1905年威爾遜·哈利斯(HARRIS W)提出著名的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量(economic order quantity,EOQ)模型以后，現(xiàn)代存貯理論的發(fā)展有了重大突破。簡(jiǎn)單的EOQ模型是單品種、確定型、多周期、需求獨(dú)立的基本經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，主要用于解決庫(kù)存訂貨決策問(wèn)題[2]。近年來(lái)，計(jì)算機(jī)科學(xué)的成熟發(fā)展也為庫(kù)存管理中的仿真模型提供了計(jì)算基礎(chǔ)，使模型大大貼合生產(chǎn)管理的實(shí)際需要。服裝庫(kù)存管理一直是EOQ模型的經(jīng)典應(yīng)用領(lǐng)域，眾多學(xué)者引入需求服從隨機(jī)分布的EOQ模型、需求時(shí)序函數(shù)的EOQ模型等[3-5]。也有學(xué)者引入缺貨延遲的庫(kù)存管理模型，主要考慮生產(chǎn)過(guò)程中的延遲，提出持續(xù)生產(chǎn)情況下的庫(kù)存決策模型，如張?jiān)曝S等[6-7]在二級(jí)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中進(jìn)行改良品研究，分析了銷(xiāo)售允許缺貨與供應(yīng)商愿意提供價(jià)格折扣的博弈庫(kù)存模型。這些模型中變量較多，計(jì)算難度較大，不利于實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)用。由于消費(fèi)者對(duì)服裝產(chǎn)品有獨(dú)特的偏好，可以接受一定的等待期，基于此，CHANG H J等[8]研究了易變質(zhì)物品在考慮時(shí)變需求以及部分短缺量拖后時(shí)的EOQ問(wèn)題；羅兵[1]將時(shí)變需求和部分短缺量拖后時(shí)的EOQ模型在汽車(chē)配件庫(kù)存問(wèn)題中進(jìn)行了一定程度的具體化，但無(wú)法針對(duì)具體零售環(huán)境指導(dǎo)商家采取相應(yīng)的訂貨策略。

文中在文獻(xiàn)[1，3-7]的基礎(chǔ)上，針對(duì)服裝產(chǎn)品缺貨時(shí)消費(fèi)者一定程度上可以接受延遲滿(mǎn)足的消費(fèi)特點(diǎn)，建立需求穩(wěn)定的單個(gè)周期庫(kù)存管理平均總成本的數(shù)學(xué)模型，分析缺貨情況下服裝庫(kù)存的最低庫(kù)存管理成本和庫(kù)存訂貨策略，對(duì)缺貨影響因子及各個(gè)成本變量進(jìn)行靈敏度測(cè)試。依照測(cè)試結(jié)果，商家可根據(jù)具體的環(huán)境采取相應(yīng)訂貨策略。該模型簡(jiǎn)單且易于理解，也貼合服裝銷(xiāo)售的實(shí)際特點(diǎn)，具有實(shí)用性，對(duì)研究缺貨狀態(tài)下的補(bǔ)貨策略具有現(xiàn)實(shí)意義。

1 模型描述及假設(shè)

服裝產(chǎn)品具有時(shí)尚性和季節(jié)性，零售商準(zhǔn)備過(guò)多的庫(kù)存，會(huì)使其庫(kù)存成本和積壓資金大幅增加，但如果庫(kù)存不足就會(huì)導(dǎo)致缺貨，所以研究服裝銷(xiāo)售過(guò)程中的缺貨現(xiàn)象具有現(xiàn)實(shí)意義。另外消費(fèi)者對(duì)自己喜歡的服裝產(chǎn)品可以接受一定的等待期，等待期內(nèi)零售商對(duì)銷(xiāo)售策略及訂貨策略的適當(dāng)調(diào)整，有助于避免零售商損失潛在的消費(fèi)者，從而降低庫(kù)存管理成本。

基于服裝銷(xiāo)售過(guò)程的缺貨問(wèn)題，提出缺貨延遲條件下的EOQ庫(kù)存模型，其基本特點(diǎn)為：訂貨提前期為零，當(dāng)服裝持有量降低到零時(shí)，不一定立即補(bǔ)充庫(kù)存持有量，允許發(fā)生一定量的缺貨；在產(chǎn)品缺貨期間，部分消費(fèi)者愿意等待這種缺貨量的拖后，所以缺貨期間的需求率比擁有現(xiàn)貨期間的需求率小。文中假定缺貨量拖后率與擁有現(xiàn)貨期間需求率的比值固定[1]，其庫(kù)存量變化如圖1 所示。

假設(shè)服裝產(chǎn)品供應(yīng)間隔為T(mén)，現(xiàn)貨期間需求率R恒定，需求率R的銷(xiāo)售階段設(shè)為T(mén)1;在缺貨延遲情況下的需求率為R′，相應(yīng)的銷(xiāo)售階段設(shè)為T(mén)2,R′的缺貨影響因子為α；周期開(kāi)始時(shí)，企業(yè)進(jìn)行一次性進(jìn)貨，數(shù)量為Q；單件服裝在統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)的儲(chǔ)存費(fèi)用(即單位庫(kù)存持有成本)為C1,單件服裝在統(tǒng)計(jì)周期的缺貨成本(即單位缺貨成本)為C2,單件服裝在缺貨期間引起的銷(xiāo)售機(jī)會(huì)損失成本(即缺貨引起的單位銷(xiāo)售機(jī)會(huì)損失成本)為C3,一次訂購(gòu)服裝成本(即一次訂貨成本)為C4。T=T1+T2，T1時(shí)間內(nèi)，期初庫(kù)存量為Q,期末庫(kù)存量為0，現(xiàn)貨期間需求率為R；T2時(shí)間內(nèi)，期初庫(kù)存量為0，期末庫(kù)存量為-S，銷(xiāo)售需求量為R′。由此，需要研究：①服裝企業(yè)在T周期內(nèi)如何實(shí)現(xiàn)單位周期庫(kù)存管理成本最低；②缺貨延遲條件下，各成本對(duì)最低庫(kù)存成本管理決策的影響。

通常情況下，缺貨量直接影響服裝銷(xiāo)售需求率，缺貨量增大，銷(xiāo)售需求率減小，但缺貨量足夠大時(shí)，缺貨量繼續(xù)增大，銷(xiāo)售需求率減小的幅度下降。因此可設(shè)缺貨延遲條件下銷(xiāo)售需求率為

R′=e-αRα≥0

(1)

將式(1)對(duì)α求導(dǎo)，得到

(2)

式(2)<0,表明隨著缺貨影響因子α增大，R′減小。由e-α(α≥0)的圖像可知，此假設(shè)與服裝零售商發(fā)生缺貨時(shí)的銷(xiāo)售情況相符合。

2 庫(kù)存模型的建立與求解

根據(jù)文中的模型假設(shè)，零售商在統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)庫(kù)存管理的相關(guān)成本主要包括庫(kù)存持有成本、缺貨成本、在缺貨期間引起的銷(xiāo)售機(jī)會(huì)損失成本、一次訂貨成本4部分。其中缺貨成本指不能滿(mǎn)足消費(fèi)者需求所引起的損失，主要由兩部分組成：①生產(chǎn)系統(tǒng)處理誤期訂單而支付的費(fèi)用，如趕單時(shí)的加班費(fèi)等；②誤期交貨對(duì)企業(yè)收入的影響，如罰款等[9]。

文中借鑒文獻(xiàn)[1]的處理方式，將庫(kù)存持有量、缺貨量、在缺貨期間引起的銷(xiāo)售機(jī)會(huì)損失量分別用圖1中△abc，△cde，△cef的面積表示，故統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)持有成本為QT1C1/2，缺貨成本為ST2C2/2，在缺期間引起的銷(xiāo)售機(jī)會(huì)損失成本為(RT2-S)T2C3/2,則平均庫(kù)存總管理成本為

C(S,T)=

(3)

式中:

T1=Q/R；T2=S/R′。

進(jìn)而根據(jù)式(1)整理求得

Q=RT-eαS

(4)

將式(1)、式(4)及T1,T2關(guān)系式代入式(3)，得到關(guān)于S和T的總函數(shù)，即

C(S,T)=

式(5)為未知變量，為S和T的多元函數(shù)，對(duì)其求最小值，可構(gòu)建關(guān)于S和T的海塞矩陣

(6)

若海塞矩陣為正定，則最低庫(kù)存管理成本minC(S,T)存在[10]。采用判定H(C(S，T))的順序主子式皆大于0的方法，證明H(C(S，T))為正定矩陣，經(jīng)計(jì)算

因此

(8)

式(7)、式(8)成立的條件是所有成本取值都為正且T>0，這些條件可以在現(xiàn)實(shí)中得到滿(mǎn)足，表明H(C(S,T))的順序主子式都大于0，即海塞矩陣H(C(S,T))是正定的，也即是minC(S,T)存在。設(shè)滿(mǎn)足minC(S,T)的未知數(shù)分別為S*,T*，則令?C/?S=0,?C/?T=0，聯(lián)合求解，得到最佳缺貨量

(9)

最佳服裝進(jìn)貨周期為

(10)

將式(9)、式(10)代入式(4)，計(jì)算得最佳服裝進(jìn)貨批量

(11)

此時(shí)

minC(S,T)=

3 實(shí)例數(shù)值仿真計(jì)算及分析

利用Matlab R2017a實(shí)現(xiàn)實(shí)例數(shù)值計(jì)算，對(duì)文中模型進(jìn)一步討論，并根據(jù)某服裝零售商單品類(lèi)數(shù)據(jù)對(duì)模型的主要參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。

以1個(gè)季度為統(tǒng)計(jì)周期，進(jìn)行零售商銷(xiāo)售數(shù)據(jù)的相關(guān)參數(shù)取值仿真。取R=2 000件,C1=1.2元/件,C2=3元/件,C3=8元/件,C4=35元/件，對(duì)α進(jìn)行0～1的數(shù)值靈敏度分析。為了更加直觀(guān)地表達(dá)各變量對(duì)最佳缺貨量的影響，文中引入最佳缺貨率，即在零售商運(yùn)營(yíng)現(xiàn)狀下，庫(kù)存管理成本最低時(shí)的缺貨率。設(shè)最佳缺貨率為η，且η=S*/Q*，聯(lián)合式(9)～式(12)求解，運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)表1。由表1可以看出，S*,T*,Q*和minC(S,T)的數(shù)值范圍相差比較大，借鑒文獻(xiàn)[11]的處理方式，通過(guò)選定某個(gè)值，可計(jì)算出S*,T*,Q*和minC(S,T)相對(duì)于該值的變化，使得所有數(shù)據(jù)保持在較小范圍內(nèi)，結(jié)果如圖2所示。

圖2中，橫坐標(biāo)表示α的相對(duì)變化取值，α在0～1的數(shù)值范圍內(nèi)以0.125的間距逐步遞增，其中α=0.5為各數(shù)值的中位數(shù)；縱坐標(biāo)表示S*,Q*,T*,minC(S,T)等庫(kù)存因變量指標(biāo)相比α=0.5時(shí)的相對(duì)變化量，縱坐標(biāo)為0指與α=0.5時(shí)的指標(biāo)值相等。由表1、圖2數(shù)值變化可知，隨著缺貨的延遲，α值遞增，S*與T*單調(diào)遞減，S*減小幅度逐漸減小，Q*與minC(S,T)呈小幅度遞增。由此可知，為保證庫(kù)存管理成本最低，缺貨延遲影響需求率的程度越大，缺貨量越??；對(duì)應(yīng)最低庫(kù)存管理成本的缺貨量下降，其最低庫(kù)存管理成本小幅增加。

同樣，α=0.750時(shí)，分別對(duì)C1,C2,C3,C4進(jìn)行數(shù)值靈敏度分析，結(jié)果見(jiàn)表2～表5。C1～C4對(duì)因變量相對(duì)變化的影響如圖3～圖6所示。

表5 C4對(duì)最佳庫(kù)存管理成本變量的影響

由圖3可知，當(dāng)C1遞增時(shí)，T*,Q*均遞減，S*和minC(S,T)則遞增。這表明庫(kù)存持有成本增加時(shí)，零售商為了避免庫(kù)存占用過(guò)多的資金，需小批量進(jìn)貨，同時(shí)縮短進(jìn)貨周期，以保持較低的庫(kù)存管理成本。圖4表明，當(dāng)C2遞增時(shí)，S*，T*單調(diào)遞減，Q*和minC(S,T)略微增加，說(shuō)明當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中因?yàn)檎`期等意外造成的缺貨成本增加時(shí)，為避免管理成本過(guò)高，零售商應(yīng)采用小批量進(jìn)貨。由圖5看出，當(dāng)C3增大時(shí)，S*遞減，說(shuō)明避免缺貨是商家的最佳選擇。由圖6可知，當(dāng)C4遞增時(shí)，S*，Q*遞減，T*和minC(S,T)遞增，說(shuō)明在訂貨成本過(guò)高時(shí)，保持缺貨狀態(tài)能維持較低的庫(kù)存管理成本。

4 結(jié)語(yǔ)

服裝產(chǎn)品缺貨時(shí)，消費(fèi)者一定程度上可以接受延遲滿(mǎn)足，針對(duì)此消費(fèi)特點(diǎn)，在傳統(tǒng)EOQ模型的基礎(chǔ)上，建立單個(gè)周期中庫(kù)存管理平均總成本的數(shù)學(xué)模型，研究缺貨因素下服裝庫(kù)存的最低庫(kù)存管理成本和庫(kù)存訂貨策略，對(duì)缺貨影響因子及各個(gè)成本變量進(jìn)行靈敏度測(cè)試。研究表明：

1)為保證庫(kù)存管理成本最低，缺貨延遲影響需求率的程度越大，缺貨量越?。粚?duì)應(yīng)最低庫(kù)存管理成本的缺貨量下降，最低庫(kù)存管理成本小幅增加。

2)庫(kù)存持有成本增大時(shí)，應(yīng)小批量進(jìn)貨，同時(shí)縮短進(jìn)貨周期，以保持較低庫(kù)存管理成本。

3)當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中因誤期等意外造成缺貨成本增加時(shí)，商家應(yīng)小批量進(jìn)貨。

4)訂貨成本過(guò)高時(shí)，可保持缺貨狀態(tài)，以降低庫(kù)存管理成本。

商家可參照靈敏度分析的結(jié)果根據(jù)具體情況采取相應(yīng)的訂貨策略，因此缺貨延遲條件下的EOQ庫(kù)存模型對(duì)商家的運(yùn)營(yíng)管理具有一定參考意義。