一類切換非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)反步滑?？刂?/h1>
2020-05-21 04:18:28王素珍代明星孫國(guó)法靳奉祥
王素珍，代明星，孫國(guó)法，靳奉祥
(1. 青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520； 2. 山東建筑大學(xué) 測(cè)繪地理信息學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101)
在過(guò)去的幾十年，非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域已有許多研究成果。Krstic等[1]于1995年提出反步法，目前已成為解決非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題的一種非常有效的方法[2-4]，但是，傳統(tǒng)的反步法需要已知的系統(tǒng)模型信息，并未考慮系統(tǒng)的未知不確定性，為其實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了很多限制。由于模糊邏輯系統(tǒng)(FLS)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠非常好地逼近未知函數(shù)，因此被廣泛應(yīng)用于對(duì)系統(tǒng)的未知不確定項(xiàng)的逼近處理并基于此進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)[5-7]。眾多學(xué)者也基于FLS和反步法，針對(duì)不確定非線性系統(tǒng)提出了許多不同類型的自適應(yīng)模糊反步控制方法[8-9]。
近年來(lái)，切換系統(tǒng)[10]作為一種特殊的混雜系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中越來(lái)越廣泛，針對(duì)它的研究也越來(lái)越多，關(guān)于該系統(tǒng)的控制方法的研究也取得了不少成果。針對(duì)非線性切換系統(tǒng)，自適應(yīng)模糊反步控制也是一種典型的控制方法[11-13]。Li等[14]結(jié)合FLS并基于反步法的控制框架，針對(duì)一類純反饋非線性切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一類控制方法，取得了較好的控制效果。盡管這種方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性切換系統(tǒng)的控制，但是在反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中容易導(dǎo)致控制系統(tǒng)參數(shù)復(fù)雜性急劇增長(zhǎng)，影響控制效果。此外，該方法假設(shè)系統(tǒng)各階狀態(tài)已知，在實(shí)際應(yīng)用中具有較大的局限性，而且該方法并未考慮外界未知擾動(dòng)所帶來(lái)的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的魯棒性不強(qiáng)，因而不能很好地應(yīng)對(duì)外界擾動(dòng)所帶來(lái)的影響，無(wú)法取得更好的控制效果。
由于滑模變結(jié)構(gòu)控制的結(jié)構(gòu)特殊，具有很強(qiáng)的魯棒性，因此能很好地應(yīng)對(duì)外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)帶來(lái)的影響。滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)形式要求較高，需滿足匹配條件，但大多數(shù)切換非線性系統(tǒng)并不滿足匹配條件。此外滑?？刂埔灿幸粋€(gè)比較明顯的問(wèn)題，即容易產(chǎn)生抖振，從而影響控制效果。
本文中針對(duì)以上問(wèn)題，對(duì)于一類不確定切換非線性系統(tǒng)，在反步法控制框架下，結(jié)合滑模控制，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)模糊反步滑?？刂破鳌Ｔ摲椒ㄊ紫壤肍LS構(gòu)造一種切換模糊狀態(tài)觀測(cè)器，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不可測(cè)狀態(tài)的觀測(cè)，便于后期控制器的設(shè)計(jì)，并通過(guò)FLS實(shí)現(xiàn)變比例控制，從而達(dá)到抑制抖振的效果。此外，利用高階滑模微分器對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)進(jìn)行精確估計(jì)補(bǔ)償，從而簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)。對(duì)于反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中導(dǎo)致被控系統(tǒng)參數(shù)復(fù)雜性急劇增加的問(wèn)題，本文中通過(guò)引入二階滑模非線性微分器直接對(duì)每一步中的虛擬控制信號(hào)進(jìn)行求導(dǎo)，從而有效解決了傳統(tǒng)反步法控制中的弊端。最后對(duì)這種控制方法進(jìn)行仿真，通過(guò)仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性。
1 被控系統(tǒng)模型及準(zhǔn)備
1.1 系統(tǒng)模型描述和假設(shè)
考慮一類嚴(yán)格反饋切換非線性系統(tǒng)，其形式如下：
(1)
本文中的研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂品椒?，既可以達(dá)到控制效果，確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)的有界性，又使得被控系統(tǒng)的跟蹤誤差可以收斂在以原點(diǎn)為中心的一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)。
為了便于控制器的設(shè)計(jì)，給出以下幾點(diǎn)假設(shè)。
假設(shè)1存在一個(gè)已知的正數(shù)li,j，使得
假設(shè)2對(duì)于系統(tǒng)(1)的任何一個(gè)可能的參考信號(hào)xr，di, σ(t)(X,t)的n+1-i次微分都是有界的，即
di,σ(t)(X,t)∈Cn+1-i，
式中：ζ>0，是一個(gè)已知常數(shù)；Cn+1-i表示所有的微分函數(shù)集合。
1.2 模糊邏輯系統(tǒng)
模糊邏輯系統(tǒng)[5-6]一般包含4個(gè)部分，其中模糊邏輯系統(tǒng)的知識(shí)庫(kù)是由一系列模糊if-then推理規(guī)則組成，
thenmisGl,l=1,2,…,n,
(2)
定義模糊基函數(shù)為
(3)
m(b)=θTφ(b)。
(4)
引理1[5]將f(x)定義在緊湊集合Ω上的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)于任意的常數(shù)ε>0，總存在如下的FLS:
(5)
2 模糊狀態(tài)觀測(cè)器
在本節(jié)中，針對(duì)被控系統(tǒng)內(nèi)的不可測(cè)狀態(tài)量xi(i=2,3,…,n)構(gòu)造了一個(gè)切換模糊狀態(tài)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)對(duì)這些不可測(cè)的狀態(tài)量的觀測(cè)估計(jì)，以便于后期控制器的設(shè)計(jì)。
針對(duì)切換系統(tǒng)(1)的第j個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)觀測(cè)器
(6)
式中：
C=(1,0,…,0)T，Hi=(0,0,…,1,0,…,0,0)T。
定義觀測(cè)器誤差為
(7)
則
(8)
(9)
對(duì)于第j個(gè)子系統(tǒng)，假設(shè)di, j(t)=0，并選取李雅普諾夫函數(shù)V0=eTPje，那么
(10)
式中：
3 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
3.1 高階滑模微分器
由于高階滑模微分器[15]具有在有限時(shí)間內(nèi)收斂到被估計(jì)微分信號(hào)精確值的特點(diǎn)，因此可以對(duì)被控系統(tǒng)的擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，從而簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)，提高系統(tǒng)的控制性能。
對(duì)于系統(tǒng)(1)的第j個(gè)子系統(tǒng)，高階滑模微分器可被定義為如下形式：
(11)
此外，本文中將引入二階滑模微分器對(duì)反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中的虛擬控制信號(hào)進(jìn)行微分處理。二階滑模微分器的形式為
(12)
二階滑模微分器可以由圖1直觀地表示。
f(t)為微分器輸入信號(hào)； z0, j為微分器輸出信號(hào)； λ0, j和λ1, j為微分器可調(diào)參數(shù)；誤差非線性函數(shù)圖1 二階滑模非線性微分器
本文中以符號(hào)xi,c, j(t)表示每一個(gè)濾波器的輸出信號(hào)z0,i, j(t)，虛擬控制信號(hào)αi, j則是作為濾波器的輸入信號(hào)，并滿足初始條件z0,i, j(0)=αi, j(0)，z1,i, j(0)=0。
3.2 自適應(yīng)反步法滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
本節(jié)中將在反步法控制框架下結(jié)合滑?？刂品椒?，設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)控制方法。在進(jìn)行控制器反步法設(shè)計(jì)過(guò)程之前，首先利用高階滑模微分器(11)觀測(cè)估計(jì)第j子系統(tǒng)內(nèi)的擾動(dòng)di, j(i=1,2,…,n)，以便在控制器設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)的未知擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。
ek, j∈Cn+1-k。
(13)
基于式(13)，接下來(lái)進(jìn)行反步法控制器設(shè)計(jì)。反步法設(shè)計(jì)過(guò)程分為n步進(jìn)行，首先定義切換系統(tǒng)第j個(gè)子系統(tǒng)的跟蹤誤差為
(14)
步驟1針對(duì)誤差ζ1, j設(shè)計(jì)如下的虛擬控制律及自適應(yīng)律
(15)
(16)
選取李雅普諾夫泛函
(17)
式中r1, j為正常數(shù)。對(duì)V1, j求導(dǎo)得
(18)
假定x2, j=α1, j，利用Young不等式，并將式(15)、(16)代入可以得到
(19)
步驟i針對(duì)誤差ζi, j設(shè)計(jì)如下的虛擬控制律及自適應(yīng)律：
(20)
(21)
選取李雅普諾夫泛函
(22)
式中ri, j為正常數(shù)。對(duì)Vi, j求導(dǎo)得
(23)
(24)
反步法迭代設(shè)計(jì)到此為止，最后一步是將滑?？刂婆c反步法相結(jié)合，設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂破?。
步驟n考慮切換系統(tǒng)第j個(gè)系統(tǒng)的第n個(gè)子系統(tǒng)的誤差ζn, j。
定義一個(gè)滑模面
sj=cζn-1, j+ζn, j,
(25)
對(duì)式(25)求導(dǎo)，得
(26)
選取趨近律[17]
(27)
式中ρ和λ均為正實(shí)數(shù)。
基于滑模面(25)和趨近律(27)，可設(shè)計(jì)如下的控制律
(28)
參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如下
(29)
本文中設(shè)計(jì)的控制律(28)會(huì)因符號(hào)函數(shù)項(xiàng)signs的不斷切換而產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，而符號(hào)函數(shù)的增益λ會(huì)影響抖振的強(qiáng)度。抑制抖振的方法有很多，F(xiàn)LS或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法就是非常有效的方法。本文中基于系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)變?cè)鲆娴姆床交？刂品椒?，設(shè)計(jì)步驟如下：
1)定義FLS的輸入為滑模面s，輸出為增益λ。
2)分別定義FLS輸入和輸出的模糊集為{NB,NS,ZO,PS,PB},分別表示負(fù)大、負(fù)小、0、正小和正大。
3)設(shè)計(jì)模糊規(guī)則
4)求解FLS，獲得輸出
(30)
基于式(30)，可以得到新的系統(tǒng)控制律
(31)
系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明如下。
證明：定義李雅普諾夫函數(shù)
(32)
對(duì)式(32)求導(dǎo)，并將式(31)代入可以得到
(33)
結(jié)合式(10)、(24)、(33),并將式(29)代入,利用Young不等式
(34)
(35)
進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到
(36)
對(duì)式(36)進(jìn)一步化簡(jiǎn)，最終得到
(37)
式中：
對(duì)式(37)兩邊同乘以eajt并在兩端積分可以解得
(38)
由式(38)可以得到，跟蹤誤差ζ1會(huì)漸進(jìn)收斂到以式(39)為圓心的一個(gè)小的鄰域內(nèi)，即
(39)
因此，只需要通過(guò)合理設(shè)計(jì)參數(shù)aj和bj，就可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并使得系統(tǒng)輸出跟蹤上參考信號(hào)。
4 仿真
本節(jié)中將對(duì)具體的算例進(jìn)行仿真，對(duì)本文中所提出的控制方法的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證?？紤]如下的一個(gè)二階非線性切換系統(tǒng)。
子系統(tǒng)1：
(40)
式中
子系統(tǒng)2：
(41)
式中
選取參考信號(hào)為yr=3sin 2t+2cos 0.5t。
切換系統(tǒng)的切換信號(hào)σ如圖2所示。當(dāng)σ=1時(shí)，系統(tǒng)工作在子系統(tǒng)1的模式；當(dāng)σ=2時(shí)，系統(tǒng)工作在子系統(tǒng)2的模式。
圖2 切換系統(tǒng)的切換信號(hào)σ
系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3—6所示。系統(tǒng)輸出x1跟蹤參考信號(hào)yr的跟蹤效果在圖3中給出。由圖可知，系統(tǒng)輸出信號(hào)x1可以快速跟蹤上參考信號(hào)yr，并且跟蹤誤差ζ1能夠收斂在0值的小鄰域內(nèi)，驗(yàn)證了系統(tǒng)的跟蹤性能。
(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)
(b)系統(tǒng)輸出跟蹤誤差圖3 參考信號(hào)跟蹤效果及跟蹤誤差ζ1
高階滑模微分器對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)的觀測(cè)效果如圖4所示。通過(guò)合理選擇高階滑模微分器的階數(shù)及參數(shù)，使其能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)的觀測(cè)逼近。
圖5、6給出了觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的觀測(cè)效果。由圖可以看出，觀測(cè)器能夠在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)未知狀態(tài)的跟蹤觀測(cè)，并且觀測(cè)誤差e可以收斂在一個(gè)很小的范圍內(nèi)。
(b)系統(tǒng)擾動(dòng)d2的觀測(cè)效果圖4 系統(tǒng)擾動(dòng)觀測(cè)效果
(a)系統(tǒng)狀態(tài)x1及其觀測(cè)信號(hào)
(b)觀測(cè)誤差圖5 系統(tǒng)狀態(tài)x1觀測(cè)效果
(a)系統(tǒng)狀態(tài)x2及其觀測(cè)信號(hào)
(b)觀測(cè)誤差圖6 系統(tǒng)狀態(tài)x2觀測(cè)效果
5 結(jié)語(yǔ)
針對(duì)一類不確定嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng)的控制問(wèn)題，基于高階滑模微分器和模糊狀態(tài)觀測(cè)器提出了一種新的自適應(yīng)反步滑?？刂品椒ā＠媚：壿嬒到y(tǒng)對(duì)未知非線性項(xiàng)實(shí)時(shí)在線逼近，并實(shí)現(xiàn)變比例控制。引入高階滑模微分器對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)精確估計(jì)補(bǔ)償，增強(qiáng)魯棒性，簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，并通過(guò)非線性微分器的使用避免了反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中控制參數(shù)復(fù)雜性急劇增長(zhǎng)的問(wèn)題。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文中提出的方法具有較好的控制效果。
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近年來(lái)，切換系統(tǒng)[10]作為一種特殊的混雜系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中越來(lái)越廣泛，針對(duì)它的研究也越來(lái)越多，關(guān)于該系統(tǒng)的控制方法的研究也取得了不少成果。針對(duì)非線性切換系統(tǒng)，自適應(yīng)模糊反步控制也是一種典型的控制方法[11-13]。Li等[14]結(jié)合FLS并基于反步法的控制框架，針對(duì)一類純反饋非線性切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一類控制方法，取得了較好的控制效果。盡管這種方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性切換系統(tǒng)的控制，但是在反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中容易導(dǎo)致控制系統(tǒng)參數(shù)復(fù)雜性急劇增長(zhǎng)，影響控制效果。此外，該方法假設(shè)系統(tǒng)各階狀態(tài)已知，在實(shí)際應(yīng)用中具有較大的局限性，而且該方法并未考慮外界未知擾動(dòng)所帶來(lái)的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的魯棒性不強(qiáng)，因而不能很好地應(yīng)對(duì)外界擾動(dòng)所帶來(lái)的影響，無(wú)法取得更好的控制效果。
由于滑模變結(jié)構(gòu)控制的結(jié)構(gòu)特殊，具有很強(qiáng)的魯棒性，因此能很好地應(yīng)對(duì)外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)帶來(lái)的影響。滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)形式要求較高，需滿足匹配條件，但大多數(shù)切換非線性系統(tǒng)并不滿足匹配條件。此外滑?？刂埔灿幸粋€(gè)比較明顯的問(wèn)題，即容易產(chǎn)生抖振，從而影響控制效果。
本文中針對(duì)以上問(wèn)題，對(duì)于一類不確定切換非線性系統(tǒng)，在反步法控制框架下，結(jié)合滑模控制，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)模糊反步滑?？刂破鳌Ｔ摲椒ㄊ紫壤肍LS構(gòu)造一種切換模糊狀態(tài)觀測(cè)器，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不可測(cè)狀態(tài)的觀測(cè)，便于后期控制器的設(shè)計(jì)，并通過(guò)FLS實(shí)現(xiàn)變比例控制，從而達(dá)到抑制抖振的效果。此外，利用高階滑模微分器對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)進(jìn)行精確估計(jì)補(bǔ)償，從而簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)。對(duì)于反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中導(dǎo)致被控系統(tǒng)參數(shù)復(fù)雜性急劇增加的問(wèn)題，本文中通過(guò)引入二階滑模非線性微分器直接對(duì)每一步中的虛擬控制信號(hào)進(jìn)行求導(dǎo)，從而有效解決了傳統(tǒng)反步法控制中的弊端。最后對(duì)這種控制方法進(jìn)行仿真，通過(guò)仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性。
1 被控系統(tǒng)模型及準(zhǔn)備
1.1 系統(tǒng)模型描述和假設(shè)
考慮一類嚴(yán)格反饋切換非線性系統(tǒng)，其形式如下：
(1)
本文中的研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂品椒?，既可以達(dá)到控制效果，確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)的有界性，又使得被控系統(tǒng)的跟蹤誤差可以收斂在以原點(diǎn)為中心的一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)。
為了便于控制器的設(shè)計(jì)，給出以下幾點(diǎn)假設(shè)。
假設(shè)1存在一個(gè)已知的正數(shù)li,j，使得
假設(shè)2對(duì)于系統(tǒng)(1)的任何一個(gè)可能的參考信號(hào)xr，di, σ(t)(X,t)的n+1-i次微分都是有界的，即
di,σ(t)(X,t)∈Cn+1-i，
式中：ζ>0，是一個(gè)已知常數(shù)；Cn+1-i表示所有的微分函數(shù)集合。
1.2 模糊邏輯系統(tǒng)
模糊邏輯系統(tǒng)[5-6]一般包含4個(gè)部分，其中模糊邏輯系統(tǒng)的知識(shí)庫(kù)是由一系列模糊if-then推理規(guī)則組成，
thenmisGl,l=1,2,…,n,
(2)
定義模糊基函數(shù)為
(3)
m(b)=θTφ(b)。
(4)
引理1[5]將f(x)定義在緊湊集合Ω上的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)于任意的常數(shù)ε>0，總存在如下的FLS:
(5)
2 模糊狀態(tài)觀測(cè)器
在本節(jié)中，針對(duì)被控系統(tǒng)內(nèi)的不可測(cè)狀態(tài)量xi(i=2,3,…,n)構(gòu)造了一個(gè)切換模糊狀態(tài)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)對(duì)這些不可測(cè)的狀態(tài)量的觀測(cè)估計(jì)，以便于后期控制器的設(shè)計(jì)。
針對(duì)切換系統(tǒng)(1)的第j個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)觀測(cè)器
(6)
式中：
C=(1,0,…,0)T，Hi=(0,0,…,1,0,…,0,0)T。
定義觀測(cè)器誤差為
(7)
則
(8)
(9)
對(duì)于第j個(gè)子系統(tǒng)，假設(shè)di, j(t)=0，并選取李雅普諾夫函數(shù)V0=eTPje，那么
(10)
式中：
3 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
3.1 高階滑模微分器
由于高階滑模微分器[15]具有在有限時(shí)間內(nèi)收斂到被估計(jì)微分信號(hào)精確值的特點(diǎn)，因此可以對(duì)被控系統(tǒng)的擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，從而簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)，提高系統(tǒng)的控制性能。
對(duì)于系統(tǒng)(1)的第j個(gè)子系統(tǒng)，高階滑模微分器可被定義為如下形式：
(11)
此外，本文中將引入二階滑模微分器對(duì)反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中的虛擬控制信號(hào)進(jìn)行微分處理。二階滑模微分器的形式為
(12)
二階滑模微分器可以由圖1直觀地表示。
f(t)為微分器輸入信號(hào)； z0, j為微分器輸出信號(hào)； λ0, j和λ1, j為微分器可調(diào)參數(shù)；誤差非線性函數(shù)圖1 二階滑模非線性微分器
本文中以符號(hào)xi,c, j(t)表示每一個(gè)濾波器的輸出信號(hào)z0,i, j(t)，虛擬控制信號(hào)αi, j則是作為濾波器的輸入信號(hào)，并滿足初始條件z0,i, j(0)=αi, j(0)，z1,i, j(0)=0。
3.2 自適應(yīng)反步法滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
本節(jié)中將在反步法控制框架下結(jié)合滑?？刂品椒?，設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)控制方法。在進(jìn)行控制器反步法設(shè)計(jì)過(guò)程之前，首先利用高階滑模微分器(11)觀測(cè)估計(jì)第j子系統(tǒng)內(nèi)的擾動(dòng)di, j(i=1,2,…,n)，以便在控制器設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)的未知擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。
ek, j∈Cn+1-k。
(13)
基于式(13)，接下來(lái)進(jìn)行反步法控制器設(shè)計(jì)。反步法設(shè)計(jì)過(guò)程分為n步進(jìn)行，首先定義切換系統(tǒng)第j個(gè)子系統(tǒng)的跟蹤誤差為
(14)
步驟1針對(duì)誤差ζ1, j設(shè)計(jì)如下的虛擬控制律及自適應(yīng)律
(15)
(16)
選取李雅普諾夫泛函
(17)
式中r1, j為正常數(shù)。對(duì)V1, j求導(dǎo)得
(18)
假定x2, j=α1, j，利用Young不等式，并將式(15)、(16)代入可以得到
(19)
步驟i針對(duì)誤差ζi, j設(shè)計(jì)如下的虛擬控制律及自適應(yīng)律：
(20)
(21)
選取李雅普諾夫泛函
(22)
式中ri, j為正常數(shù)。對(duì)Vi, j求導(dǎo)得
(23)
(24)
反步法迭代設(shè)計(jì)到此為止，最后一步是將滑?？刂婆c反步法相結(jié)合，設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂破?。
步驟n考慮切換系統(tǒng)第j個(gè)系統(tǒng)的第n個(gè)子系統(tǒng)的誤差ζn, j。
定義一個(gè)滑模面
sj=cζn-1, j+ζn, j,
(25)
對(duì)式(25)求導(dǎo)，得
(26)
選取趨近律[17]
(27)
式中ρ和λ均為正實(shí)數(shù)。
基于滑模面(25)和趨近律(27)，可設(shè)計(jì)如下的控制律
(28)
參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如下
(29)
本文中設(shè)計(jì)的控制律(28)會(huì)因符號(hào)函數(shù)項(xiàng)signs的不斷切換而產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，而符號(hào)函數(shù)的增益λ會(huì)影響抖振的強(qiáng)度。抑制抖振的方法有很多，F(xiàn)LS或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法就是非常有效的方法。本文中基于系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)變?cè)鲆娴姆床交？刂品椒?，設(shè)計(jì)步驟如下：
1)定義FLS的輸入為滑模面s，輸出為增益λ。
2)分別定義FLS輸入和輸出的模糊集為{NB,NS,ZO,PS,PB},分別表示負(fù)大、負(fù)小、0、正小和正大。
3)設(shè)計(jì)模糊規(guī)則
4)求解FLS，獲得輸出
(30)
基于式(30)，可以得到新的系統(tǒng)控制律
(31)
系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明如下。
證明：定義李雅普諾夫函數(shù)
(32)
對(duì)式(32)求導(dǎo)，并將式(31)代入可以得到
(33)
結(jié)合式(10)、(24)、(33),并將式(29)代入,利用Young不等式
(34)
(35)
進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到
(36)
對(duì)式(36)進(jìn)一步化簡(jiǎn)，最終得到
(37)
式中：
對(duì)式(37)兩邊同乘以eajt并在兩端積分可以解得
(38)
由式(38)可以得到，跟蹤誤差ζ1會(huì)漸進(jìn)收斂到以式(39)為圓心的一個(gè)小的鄰域內(nèi)，即
(39)
因此，只需要通過(guò)合理設(shè)計(jì)參數(shù)aj和bj，就可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并使得系統(tǒng)輸出跟蹤上參考信號(hào)。
4 仿真
本節(jié)中將對(duì)具體的算例進(jìn)行仿真，對(duì)本文中所提出的控制方法的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證?？紤]如下的一個(gè)二階非線性切換系統(tǒng)。
子系統(tǒng)1：
(40)
式中
子系統(tǒng)2：
(41)
式中
選取參考信號(hào)為yr=3sin 2t+2cos 0.5t。
切換系統(tǒng)的切換信號(hào)σ如圖2所示。當(dāng)σ=1時(shí)，系統(tǒng)工作在子系統(tǒng)1的模式；當(dāng)σ=2時(shí)，系統(tǒng)工作在子系統(tǒng)2的模式。
圖2 切換系統(tǒng)的切換信號(hào)σ
系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3—6所示。系統(tǒng)輸出x1跟蹤參考信號(hào)yr的跟蹤效果在圖3中給出。由圖可知，系統(tǒng)輸出信號(hào)x1可以快速跟蹤上參考信號(hào)yr，并且跟蹤誤差ζ1能夠收斂在0值的小鄰域內(nèi)，驗(yàn)證了系統(tǒng)的跟蹤性能。
(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)
(b)系統(tǒng)輸出跟蹤誤差圖3 參考信號(hào)跟蹤效果及跟蹤誤差ζ1
高階滑模微分器對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)的觀測(cè)效果如圖4所示。通過(guò)合理選擇高階滑模微分器的階數(shù)及參數(shù)，使其能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)的觀測(cè)逼近。
圖5、6給出了觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的觀測(cè)效果。由圖可以看出，觀測(cè)器能夠在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)未知狀態(tài)的跟蹤觀測(cè)，并且觀測(cè)誤差e可以收斂在一個(gè)很小的范圍內(nèi)。
(b)系統(tǒng)擾動(dòng)d2的觀測(cè)效果圖4 系統(tǒng)擾動(dòng)觀測(cè)效果
(a)系統(tǒng)狀態(tài)x1及其觀測(cè)信號(hào)
(b)觀測(cè)誤差圖5 系統(tǒng)狀態(tài)x1觀測(cè)效果
(a)系統(tǒng)狀態(tài)x2及其觀測(cè)信號(hào)
(b)觀測(cè)誤差圖6 系統(tǒng)狀態(tài)x2觀測(cè)效果
5 結(jié)語(yǔ)
針對(duì)一類不確定嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng)的控制問(wèn)題，基于高階滑模微分器和模糊狀態(tài)觀測(cè)器提出了一種新的自適應(yīng)反步滑?？刂品椒ā＠媚：壿嬒到y(tǒng)對(duì)未知非線性項(xiàng)實(shí)時(shí)在線逼近，并實(shí)現(xiàn)變比例控制。引入高階滑模微分器對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)精確估計(jì)補(bǔ)償，增強(qiáng)魯棒性，簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，并通過(guò)非線性微分器的使用避免了反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中控制參數(shù)復(fù)雜性急劇增長(zhǎng)的問(wèn)題。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文中提出的方法具有較好的控制效果。
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