王成志 王云超

（集美大學，廈門 361021）

主題詞：轉向梯形 定位角參數(shù) 運動分析 轉角誤差 轉角計算誤差

1 前言

轉向機構運動設計與車輪實際轉角和理想轉角的計算有關，這兩者的計算誤差必然影響車輛轉向機構的設計。車輪實際轉角涉及左、右主銷之間和主銷與車輪之間2類運動傳遞。前者的相關研究文獻較多，計算模型有近似的平面模型[1-3]和精確的空間模型[4-5]；后者與車輛轉向輪的主銷內(nèi)傾角、主銷后傾角、車輪外傾角與前束角這4 個定位角參數(shù)有關，嚴格來說，目前還缺乏其運動的精確計算模型。對斷開式車橋的轉向梯形進行運動分析時，一般直接用轉向輪車輪軸在水平面內(nèi)的轉角變化作為車輪轉角[6-7]。而整體式車橋的轉向梯形運動分析則分為多種情況：許多文獻[1-5]并不考慮主銷與車輪之間的運動差異；文獻[8]、文獻[9]等將主銷轉角按水平角速度分量分解獲得車輪轉角，但只考慮主銷內(nèi)傾與主銷后傾的影響；文獻[10]等提出的球面三角學計算模型由于考慮了外傾角對轉動的影響，計算精度明顯提高，但依然忽略了車輪前束角對轉向的影響。另外，用球面三角學建立的模型沒有解析的反解，也未考慮初始前束角影響。如果使用存在誤差的計算模型進行優(yōu)化設計，會影響設計精度或影響對車輛運動性能的判斷[11]。

理想轉角采用阿克曼理想轉向條件計算時，主銷中心距或輪距K和車輛軸距L有多種不同定義，有些定義會給理想轉角自身帶來計算誤差[12-13]。

本文重點建立考慮4個定位角參數(shù)的車輪轉角計算數(shù)學模型，以此為基礎，分析用各種模型計算轉角時轉向機構中各部分計算誤差，并分析誤差對機構總轉角誤差的影響，根據(jù)獲得的接地點坐標定義合理的K、L取值。

2 主銷及車輪運動模型

2.1 幾何分析原理

車輛轉向輪的主銷內(nèi)傾角α0、主銷后傾角β0、車輪外傾角λ0與前束角τ0等的定義如圖1所示。圖1中，DC為主銷軸線，D點為主銷軸線與車輪旋轉軸線的交點，點M0為車輪輪心，D與M0的距離為m（DM0連線為車輛直行時的車輪軸線初始位置）。主銷轉動360°時，輪心M0則繞主銷轉動1周，形成的軌跡是圓心在主銷軸線上以O為圓心，半徑為mr的空間圓ζ；而車輪軸線形成一個以DM0為母線，底圓為ζ，半頂角為φ的虛擬正圓錐體。

圖1 定位參數(shù)及車輪輪心軌跡

在圖1的D點建立如圖所示的DxLyLzL坐標系，將空間圓ζ沿zL負方向拉伸或投影到水平地面H上，得到圖2所示的橢圓柱體。以ζ的圓心O為原點建立坐標系OXLYLZL，ZL軸與左主銷重合，YL軸為圓錐底圓ζ所在斜面與W面（通過主銷的豎直垂面，即YLZL平面）的交線OE（E點為底圓ζ的最高點），斜向上為正。YL軸線和車輪軸線DM0在水平面H上的投影分別為若左主銷轉動角度為θL，即在圓錐底圓ζ上從OM0轉過角度θL到達OM（設車輛右轉），則左車輪軸線位置DM0轉到新位置DM，而在水平投影面上，左車輪軸線的投影從初始位置D′M0′轉過角度δL到達D′M′、OM0的投影從轉到O′M′。δL即為車輪繞垂直軸zL轉過的角度，相當于θL的水平分量。這時OM與YL軸的夾角為θ，D′M′與D′O′的夾角為δ（δ相當于θ的水平分量，以點D在水平面的投影點D′為角的頂點），兩者的對應關系可通過θ的投影角σ來關聯(lián)。YL軸正向、D′O′（D′指向O′為正）是角度θ、δ的測量起始標示線，都位于通過左主銷的豎直垂面W上。分別為θL、δL的測量起始標示線。

圖2 左主銷轉角與左轉向車輪轉角投影關系

圖3所示為右主銷的幾何投影關系。同理，假設右主銷轉動角度為θR，即在圓錐底圓上ORN0轉過角度θR到達ORN（設車輛右轉），則右車輪軸線從AN0轉到AN，而在水平投影面上，右車輪軸線的投影從A′N0′轉過δR到達A′N′，ORN0的投影從轉到。這時ORN與YR軸、A′N′與的夾角分別為θ′、δ′，它們的測量起始標示線YR軸都位于通過右主銷的豎直垂面W′上。

圖3 右主銷轉角與右轉向車輪轉角的投影關系

顯然，先要確定θ（θ′）與δ（δ′）的關系。

2.2 斜面角度投影及主銷轉角水平分量

在圖1的DxLyLzL坐標系中，DO與DM0上的單位向量分別為：

式中，αβ=arctan(cosα0tanβ0)為主銷軸線與其在yLzL平面上的投影間的夾角；λτ=arctan(cosλ0tanτ0)為車輪軸線與其在yLzL平面上的投影間的夾角。

依據(jù)式（1）和式（2），根據(jù)空間向量的夾角公式，圓錐的半頂角為：

式 中，χ=sinαβsinλτ+sinα0cosαβcosλ0cosλτ+cosα0cosαβsinλ0cosλτ為由4 個定位參數(shù)決定的半頂角的余弦。

從圖2 中切出如圖4a 所示的計算模型。為便于觀察分析，將圖2 中的圓錐體和橢圓柱體投影到W平面、XLYL平面和水平面H上，結果如圖4b～圖4d所示。

圖4 左主銷轉角與左轉向輪轉角的幾何關系

借助圖4b可以求出圖4a中的四邊形EE1M1M（其中EE1和M1M都與E1M1垂直）中EE1、MM1的長度和。再由圖4c求出----EM后，有：

式中，ε=arccos(cosα0cosαβ)為主銷軸線與鉛垂線的夾角。

在△OE1M1（即△O′E′M′）中，可以求出邊長和，所以又有：

式中，ρ=sinεcosθ。

聯(lián)合式（4）和式（5），整理可得：

式（6）為斜面角度沿垂直方向投影到水平面的投影方程。設λ1為任意位置車輪軸線與水平面的夾角，則=mcosλ1。所以，根據(jù)水平面的△OD1M1（即△O′D′M′），由余弦定理可得：

λ1也是文獻[14]中定義的外傾角，考慮了轉向過程中外傾角的變化。由于車輪輪心M與D點的高度差為所以也有：

根據(jù)△OD1M1各線段長度，有：

式（9）即為相對主銷垂直面W的主銷轉角水平分量方程，水平分量的角度頂點D′是車輪軸線與主銷軸線共點D在水平面的投影點。由式（9）反求θ：

式（10）有2 個解，互為補角，統(tǒng)一取“+”號。式（9）和式（10）即為斜面角度θ與其水平分量δ的相互映射關系式。對圖3所示的右主銷，用同樣的方法可推導出同樣的式（9）與式（10），只需將θ、δ分別用θ′、δ′代替即可。

顯然，δ=f1(θ)、θ=f2(δ)均為變量θ或δ的偶函數(shù)，且δ=f1(θ)=f1(360?+θ)=f1(360?-θ)，θ=f2(δ)=f2(360?+δ)=f2(360?-δ)。

利用上述函數(shù)特性，可以求出車輪轉角與主銷轉角，即δL和θL、δR和θR的相互映射運動關系式。

2.3 左轉向輪轉角與左主銷轉角的關系

為了考慮主銷后傾及車輪前束對YL軸正向方位的影響，引入2個符號常數(shù)：

車輪軸線在初始位置（車輛直行）時，從圖4中可以看出，其在水平面的投影D′M0′與W面的夾角為(δ0-sbτ0)（δ0為主銷軸線在水平面投影與yL軸所夾銳角），按式（10）求出初始位置的θ記為θ0。以(δ0-sbτ0)和θ0為角度參考位置，即可求出δL和θL的關系。

由θL求δL時（稱為左側“銷-輪”轉角計算），先按θ=|sbstθ0-θL|用式（9）求得δ，則：

由δL求θL時（稱為左側“輪-銷”轉角計算），先按δ=|-sbδ0+τ0+δL|用式（10）求θ（如果δ＞180°，則θ取反再加360°，即360°-θ)，則：

2.4 右轉向輪轉角與右主銷轉角的關系

同理，先以(δ0-sbτ0)替換式（10）的δ求出θ0（左、右輪θ0相等）。以θ′=|sbstθ0+θR|替換式（9）的θ求得δ′。則右側“銷-輪”轉角計算公式為：

以δ′=|sbδ0-τ0+δR|替換式（10）的δ求出θ′，則右側“輪-銷”轉角計算公式為：

以上公式中，規(guī)定δL、θL、δR、θR右轉為正，左轉為負，4 個定位參數(shù)按圖1 所示的偏斜方向為正。另外，求得的θL與θR、δL與δR均關于原點對稱。

目前的文獻中“輪-銷”和“銷-輪”的計算模型有3種：多數(shù)文獻假設車輪轉角等于主銷轉角（以下稱“等同法”）；文獻[8]、文獻[9]等采用公式，實際就是按主銷單位矢量的垂直分量分解，即θL=δL/(cosα0cosαβ），它是按將角速度分解為水平分量的思路分解的，并不是真正的角度水平分量（以下稱“角速度分量法”）；文獻[10]采用“球面法”?！扒蛎娣ā北徽J為是根據(jù)主銷轉角計算轉向輪轉角最精確的計算模型。但須注意：文獻[10]中主銷后傾角的定義實際是本文的αβ，與國家標準[14]中的定義不同。

假設車輛4 個定位參數(shù)α0、β0、λ0、τ0如表1 所示，其中，δRdmax、δLdmax分別為內(nèi)、外輪理想最大轉角，分別用“球面法”模型與用本文“銷-輪”模型計算轉向輪轉角值，以比較兩者的差別。

表1 車輛基本特性參數(shù)

因左、右側模型計算結果關于原點對稱，這里僅討論右“銷-輪”計算模型。以右主銷轉角θR=-40?～36?為自變量，用各模型計算的右輪轉角用δRi表示（用下標i區(qū)分各模型的計算值，i=0 表示本文計算模型，i=1 表示等同法，i=2表示角速度分量法，下同），其他方法與本文模型的差值曲線如圖5所示（其中“球面法”表示左轉的負轉角公式原文獻未提供，為本文增加的）。

圖5 右側“銷-輪”各計算模型的計算誤差

從圖5 中可以看出，用“球面法”與用式（15）計算的轉向輪轉角的差值接近零（按實際數(shù)據(jù)查出，在θR=-40°～36°的轉角范圍內(nèi)，兩者最大差值為0.000 316°）。如果將τ0=0（“球面法”模型沒有考慮前束的影響）代入式（15）中，則兩者沒有差值。

假設各桿件是剛體，不考慮各種力、變形或間隙影響，則車輛的主銷與轉向輪之間的運動轉換關系理論上僅與4 個定位參數(shù)有關。本文計算公式中完全考慮了這4個因素，獲得的車輪轉角（δL、δR）是主銷轉角（θL、θR）真正的理論水平分量。

2.5 接地點相對坐標

對左輪（見圖2），當車輪軸位于DM位置時，車輪與地面的接觸點P（假設車輪是剛性的）顯然位于垂直平面DMM′D′與地面水平面的交線D′M′上，且在該面上DM⊥MP。D′M′與軸（與yL平行）的夾角為(δL+τ0)（動態(tài)左前束角），故在圖2 的坐標系DxLyLzL中，左車輪接地點P（相對于點D）的坐標為：

式中，r為車輪的輪輞半徑或取輪胎半徑；λ1的余弦和正弦見式（7）和式（8）。

求解時，左輪以δ=|-sbδ0+τ0+δL|代入式（10）求得θ，再帶入式（7）或式（8）中求出λ1隨車輪轉角的變化規(guī)律，然后按式（17）求出P點相對坐標。

用同樣方式可求出右車輪接地點Q相對于點A的坐標（圖3右輪中取yR′∥yR，則A′N′與yR′軸夾角為(δR-τ0)）。

3 轉角誤差及轉角計算誤差

3.1 單側轉向輪轉角誤差計算模型

在優(yōu)化設計轉向機構時，一般是車輛一側（如左主銷或左車輪）按理想運動輸入，將另一側（如右主銷或右車輪）機構輸出的轉角與理想轉角比較獲得轉角誤差。即：

式中，δLd=-δRdmax～δLdmax、δRd分別為左、右輪理想轉角。

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3.2 轉角的計算誤差

式（18）中的機構轉角δR和理想轉角δRd與計算模型有關，都存在計算誤差的問題。

3.2.1 理想轉角及合理的L、K取值

轉向系統(tǒng)的優(yōu)化目標是保證左、右輪轉向時的純滾動關系，即δL、δR必須滿足阿克曼理想轉向條件：

本文同時考慮車輛的左、右轉向，右轉為正，左轉為負，故不再區(qū)分內(nèi)輪、外輪。

式（19）本身是精確的，但其中的L、K有多種定義[12-13]。不合理的定義會造成理想轉角δRd出現(xiàn)計算誤差。

如圖6 所示，要保證轉向輪純滾動，按速度瞬心，左、右主銷軸線與車輪旋轉軸線的交點A、D點在水平地面的投影點與車輪接地點Q、P連線的延長線相交于后軸延長線的O點（水平地面投影點），故有：

圖6 理想的內(nèi)、外轉向輪轉角關系

根據(jù)式（17），左車輪軸線在水平地面上的投影與橫向（AD線）的夾角為(δLd+τ0)。同樣，右車輪軸線在水平地面上的投影與橫向的夾角為(δRd-τ0)。因此，式（20）可改為：

車輪存在外傾導致其產(chǎn)生圓錐滾動，使車輪有向外滾動的趨勢[15-16]。理想情況下，這一趨勢要抵消前束產(chǎn)生的向內(nèi)滾動，加上考慮到左、右車輪的相互牽制作用，可以消除式（21）中的前束角τ0。對比式（19）與式（21），可得到如下定義：K是兩側轉向車輪軸線與對應主銷的交點之間的距離，即；L是轉向車輪軸線與主銷的交點到過后軸豎直鉛垂面的距離，即

另外，如果假設車輪轉角（δL、δR）等于主銷轉角（θL、θR），從式（17）可知，上述定義依然成立。本文通過轉向車輪接地點分析得到了K和L的理論值，以實現(xiàn)對理想轉角較高精度的計算，而文獻[12]、文獻[13]則用圖形分析或速度分析等方法得到了類似的結果。

3.2.2 轉向機構轉角的計算誤差

單軸轉向機構總轉角計算誤差ηT由3個部分組成：轉向車輪與對應主銷之間轉角模型的計算誤差（分別為“輪-銷”和“銷-輪”計算模型的轉角計算誤差ηL、ηR）和左、右主銷之間的轉角計算模型的計算誤差ηM。

前文已經(jīng)用“球面法”驗證了本文主銷與轉向輪轉角互算模型的正確性，因此，用前面3 種計算方法獲得的轉角值，減去用本文模型計算得到的轉角值，得到的差值即可認為是各計算模型的轉角計算誤差。因球面法沒有“輪-銷”模型，后文將不再涉及。

第3部分計算誤差ηM與具體機構有關，而且正確的空間模型理論上沒有計算誤差，平面模型與空間模型的差值就是平面模型的計算誤差ηM。

轉向梯形機構設計中，多數(shù)文獻采用比較簡單的平面模型[2-3]。而空間模型因推導較為復雜，目前的文獻中沒有明晰的空間梯形機構解析關系式。為便于分析及對比，以下直接列出圖7 所示的空間RSSR（R 表示轉動副，S表示球面副）轉向梯形機構A1BCD1左、右主銷轉向運動關系式：

式中，T=(-1+2 sin2α0sin2αβ)sin(γ1+θL)-sin 2α0sinαβcos(γ1+θL)+d1/b1sinα0sinαβ；U=cos 2α0cos(γ1+θL)-sin 2α0sinαβsin(γ1+θL)-d1/b1cosα0；V=1-2(1-sin2α0cos2αβ)sin2γ1-2 cos2α0cos 2γ1+sin 2α0sinαβsin 2γ1+d1/b1cosα0(2 cosγ1-cos(γ1+θL))+d1/b1sinα0sinαβ(-2 sinγ1+sin(γ1+θL))；γ1為轉向梯形底角；b1為球鉸中心到主銷的垂直距離（A1、D1為垂足），即梯形臂長；為梯形底邊長；為轉向節(jié)臂沿主銷軸向偏移的長度。

式（22）有如下的通用解：

圖7 車輛轉向梯形機構

對于圖7的安裝方式和式（22）中的系數(shù)公式，根號前取“-”號。

3.3 實例及討論

假設某型載貨汽車的轉向梯形機構如圖7所示，各參數(shù)見表1，分析轉角誤差及轉角計算誤差變化情況。

先觀察轉向輪與主銷互算時的計算誤差ηLi、ηRi。以左車輪轉角δL=-δRdmax～δLdmax為自變量，用各計算模型計算左主銷轉角θLi，差值(θLi-θL0)就是用各模型計算左“輪-銷”轉角的計算誤差ηLi，其隨δL的變化曲線如圖8所示。同樣，用各模型計算的右“銷-輪”轉角計算誤差ηRi隨θR的變化曲線見圖5。表2列出了在整個轉角范圍內(nèi)ηLi、ηRi的平均值以及最大絕對值。對輕型車輛，一般希望轉向機構的轉角誤差控制在1°范圍以內(nèi)，相比這個數(shù)值，單獨計算的ηLi、ηRi較大。

圖8 左側“輪-銷”各計算模型的計算誤差

表2 各模型的轉角計算誤差

以δLd求θLi，按轉向機構計算模型式（23）求右主銷轉角θRi，由θRi計算δRi，ηTi=δRi-δR0即為用各計算模型計算的轉向機構總的轉角誤差，其隨δLd的變化情況如圖9 所示，相關值見表2。最后由式（18）求出整個轉向系統(tǒng)的轉角誤差隨車輪轉角變化情況ΔRi，如圖10 所示。實際上，ηM=0時，圖10中ΔR1-ΔR2即可得到圖9的對應曲線。

圖9 各計算模型的轉向機構總轉角計算誤差

圖10 各計算模型的梯形機構轉角誤差

若主銷之間的轉角計算采用理論上無誤差的空間運動模型式（23），則ηM=0。圖9 及表2 的總轉角計算誤差ηTi（ηM=0）就是左、右兩側主銷與轉向輪之間的計算誤差帶來的。對比圖5 和圖8 可見，將各部分串聯(lián)在一起計算后，一般會使總計算誤差ηTi比單獨的轉向輪與主銷互算的計算誤差ηLi、ηRi小。例如，在本例參數(shù)及γ1=78.2°下（3 種方法的最大絕對轉角誤差分別為0.442 7°、0.578 0°、0.522 6°，數(shù)值較小，表明機構參數(shù)比較合理，見圖10），總轉角計算誤差ηTi（ηM=0）平均值及最大絕對值都明顯比左、右側的計算誤差ηLi、ηRi小，特別是“等同法”的誤差平均值反而較“角速度分量法”小。

若將γ1改為71.0°（3種方法的最大絕對轉角誤差分別為12.722 2°、13.782 5°、13.940 0°，數(shù)值較大，表明機構參數(shù)不合理），左、右側的轉角計算誤差不受影響，總轉角計算誤差平均值雖有變化，但仍比左、右側的計算誤差明顯減?。ㄒ姳?中γ1=71.0°一行）；這時“等同法”的平均值反而大于“角速度分量法”，而且兩種方法的總轉角計算誤差最大值也反而都大于左、右側的計算誤差最大值。設車輛允許的轉角工作范圍為Ω，總轉角計算平均值減小，表明在Ω的大部分區(qū)域，左、右側的轉角計算誤差相互抵消，而最大總轉角計算誤差增大，表明在Ω的小部分工作范圍內(nèi)，總轉角計算誤差增大。而且該區(qū)域一般位于車輛最大轉角附近，這時轉角誤差曲線隨車輪轉角增大而急劇增大。從圖10可以看出，若曲線急劇變化，各模型轉角誤差曲線雖然很接近，但它們之間可能存在較大的轉角差。當然，車輛很少在大轉角區(qū)域附近工作，加權優(yōu)化時一般會弱化該區(qū)域計算誤差的影響。

如果將θL=-40°～36°代入有關梯形機構平面模型[2-3]，得到有關ηM值如表3 所示，總的轉角計算誤差見表2中ηTi(ηM≠0)一行。對比表2、表3 可知，計算誤差ηM會不同程度地增大總的轉角計算誤差，但ηM并不是直接疊加在ηTi上。

表3 梯形機構平面模型的轉角計算誤差

可見，由于轉向機構計算誤差函數(shù)的特殊性，機構各部分的計算誤差并不是簡單地相互累積增大或相互抵消，它們的變化與機構參數(shù)密切相關，但變化規(guī)律不明顯。將不精確的計算模型用于設計，其設計精度難以保證。所以，必須慎重使用有計算誤差的運動模型對轉向機構進行優(yōu)化設計。對重型車輛，若綜合考慮運動副間隙和零件受力變形等因素，直接用主銷之間機構轉角誤差進行優(yōu)化設計（即“等同法”）可能具有合適的設計精度，但針對輕型和中型車輛設計，建議采用更精確的轉角計算模型進行優(yōu)化設計或檢驗。

4 結束語

本文采用水平投影方法，獲得了考慮4個定位角參數(shù)的主銷轉角與轉向輪轉角相互精確計算的解析式，解決了由車輪轉角計算主銷轉角的問題，得到以下結論：

a.轉向機構設計時，必須考慮轉向輪轉角與主銷轉角的差異，應該使用只有單側轉向輪有轉角誤差的計算方法。在輕、中型車輛的優(yōu)化設計中尤應考慮采用轉角精確計算模型。

b.機構運動模型帶來的計算誤差對總的轉角計算誤差產(chǎn)生的影響與轉向機構的參數(shù)有關。在車輛轉角的很大一部分工作范圍內(nèi)，當最大轉角誤差較小時，左、右側轉向輪與其主銷之間的轉角計算誤差一般會相互抵消一部分；兩主銷之間的計算誤差會增大計算誤差，但也不是簡單地累加到總轉角計算誤差上。

c.按接地點分析，阿克曼定理中的K值、軸距L值應以車輪軸線與主銷軸線的交點為計算或測量起始點。