閆敬畏

摘要：能量守恒是自然界最普遍的規(guī)律之一.在一道兩個帶電小球碰撞的試題中，碰撞前后的系統(tǒng)的電勢能和動能均增加.針對這一問題，本文作進一步探討.

關鍵詞：互能 自能 能量守恒

例：如圖1所示，光滑絕緣的水平面上，M、N兩點各放一電荷量分別為+q和+2q的電荷，有完全相同的金屬球A和B，給A和B以大小相等的初動能E0（此時動量大小均為p0）使其相向運動剛好能發(fā)生碰撞，碰后返回M、N兩點時的動能分別為E1和E2，動量大小分別為p1和p2，則（ ?）.

A.E1=E2=E0，P1=P2=P0

B.E1=E2>E0，P1=P2>P0

C.碰撞發(fā)生在M、N中點的左側

D.兩球同時返回M、N兩點

解析：由動量觀點看，系統(tǒng)動量守恒，兩球的速度始終等值反向，可得出結論：兩球必將同時返回各自的出發(fā)點，且兩球末動量大小和末動能一定相等.從能量觀點看，兩球接觸后的電荷量都變?yōu)?.5q，在相同距離上的庫侖斥力增大，返回過程中電場力做的正功大于接近過程中克服電場力做的功，系統(tǒng)機械能必然增大，即末動能增大.故A錯誤，B正確.

從牛頓定律的觀點看，兩球的加速度大小始終相同，相同時間內的位移大小一定相同，必然在連線中點相遇，又同時返回出發(fā)點.故C選項和D選項均錯誤.因此本題選B.

在上述對該題A、B選項的解答過程中，由功能關系推知當兩小球返回M、N點時動能增加了，從能量的角度可知，增加的動能是由帶電系統(tǒng)的電勢能轉化而來.

現在，我們再來考慮下電勢能的變化：

選無窮遠處為零勢能參考點，碰碰撞前兩小球在M、N處的電勢能為：

Ep0=kq1q2r=k2p2r.

接觸后電荷重新分布：

q1′=q2′=3q2.

碰前兩小球回到M、N處的電勢能為：

Ep1=kq1′q2′r=k9q24r.

該過程中電勢能變化量為：ΔEp=Ep1-Ep2=kq24r.

由以上計算結果可知帶電系統(tǒng)的電勢能也增加了.難道整個過程能量不守恒了？若守恒，是何種能量減小了呢？

實際上，帶電體系的靜電能包含了每個帶電體的自能和帶電體間的相互作用能，即E靜=E自+E互.所謂互能是指n個帶電體組成的系統(tǒng)，將各帶電體從現有位置彼此分開到無限遠時，他們之間的靜電力所做的功定義為帶電體間的互能.所謂自能，是指將一個帶電體視為無窮多個帶電體元，將這無窮多個帶電體元從無限分散狀態(tài)聚集成該帶電體，外力所作的功即為該帶電體的自能.很顯然，上述的計算只考慮到了帶電系統(tǒng)的互能，而未考慮到帶電體的自能.

現在我們來對均勻帶電金屬球的自能表達式進行推導.

設金屬球的半徑為R，將球面視為無窮多個帶電元，設想這些無窮多個帶電元是在外力作用下從無窮遠處搬運到帶電體上，選無窮遠處電勢為0，由φ=kqr知，金屬球表面電勢與電荷量成正比.如圖2所示，φ-q圖像為一傾斜直線，圖像與q軸圍成的面積表示電場力做的負功，即為儲存在金屬球上的自能.由面積計算可得

E自=12Σni=1UiΔqi=12kqr×q=kq22r.

所以，該題中兩金屬球自能的變化為

ΔEp′=k3q222r×2-2q2r+k4q2r=-11kq24r.

則系統(tǒng)電勢能的變化量應為

ΔE靜=ΔEp+Ep′=-5kq22r.

可見，系統(tǒng)的總靜電能是減小的，碰撞前后并未違反能量守恒定律.

參考文獻：

[1]程守洙.普通物理學[M].高等教育出版社，2006：316.