一些正弦函數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性

杜先云，任秋道

(1.成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610225；2.綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，四川綿陽(yáng) 621000)

1 引入

目前《高等數(shù)學(xué)》[1]與《數(shù)學(xué)分析》[2]教材中，對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的內(nèi)容涉及少，而大量級(jí)數(shù)的斂散需要確定.我們通過(guò)數(shù)列收斂方法來(lái)判定級(jí)數(shù)收斂.從新的角度去認(rèn)識(shí)收斂數(shù)列的漸進(jìn)性：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，可以認(rèn)為收斂數(shù)列{yn}相鄰兩項(xiàng)的差所構(gòu)成的數(shù)列{yn-yn-1}(n>2)，無(wú)限接近一個(gè)公差為0的等差數(shù)列，從而給出了利用yn-yn-1趨于0來(lái)判斷數(shù)列收斂的方法[3].這說(shuō)明了收斂數(shù)列各項(xiàng)變化的微小性.本文給出了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)判定理，討論了一些正弦級(jí)數(shù)的斂散性.

2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定

引理[1]設(shè){yn}為一個(gè)有界數(shù)列.?ε>0，?N∈Z+，當(dāng)n>N時(shí)，不等式

|yn-yn-1|<ε

恒成立，則數(shù)列{yn}收斂.

一個(gè)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)仍然收斂，其逆命題不成立[2，3].但是有下面的定理：

(a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank)+…,

M=max{nk+1-nk|k=1,2,3,…}<.

|Sn|=|bn1+bn2+…+bnk0+(ank0+1+ank0+2+…+an)|

|t|+2.

從而該級(jí)數(shù)有界.利用引理的推論可得結(jié)論.證畢.

注該定理推廣了交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲定理.

3 正弦函數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性

在[1]中，可獲得：

(1)如果0<α1，a≠2kπ，k∈Z，則級(jí)數(shù)和收斂.

(2) 設(shè)有界函數(shù)f(n)滿足f(n)≥0(f(n)0).如果0<α1，則級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)(a-2kπ)2+(b-2lπ)2>0,k,l∈Z時(shí)，也收斂.

證明當(dāng)s=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)s>0時(shí)，設(shè)m∈N.根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，

(4m±1)2s=(4m)2s±C12s(4m)2s-1+C22s(4m)2s-2±…±4mC2s-12s+1.

從而設(shè)(4m+1)2s?4tm+1，(4m-1)2s?4tm′+1，其中tm,tm′∈N.由此可得，該級(jí)數(shù)部分和

由此可得，Sn→(n→).根據(jù)級(jí)數(shù)發(fā)散的定義，該級(jí)數(shù)發(fā)散.證畢.

推論2設(shè)ki∈N,i=0,1,…,t，C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,t},D={aj|aj=2rj+1∈C,rj∈Z}.

證明設(shè)m∈N.可知，設(shè)(4m+1)2s+1?4tm+1，(4m-1)2s+1?4tm′-1，其中tm,tm′∈N.由此可得，

定理4設(shè)C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,k},D={a2j|a2j=2r2j+1∈C,r2j∈Z}，

E={a2j+1|a2j+1=2r2j+1+1∈C,r2j+1∈Z}.如果|D|=2p+1，|E|=2q,p,q∈Z,則級(jí)數(shù)

證明根據(jù)定理3、4的證明知道，當(dāng)m∈N時(shí)，有

(4m+1)i=4um(i)+1,其中um(i)∈N,i=1,2,…,k；對(duì)于k=2s,s∈N時(shí)，

(4m-1)2j-1=4vm(2j-1)-1,(4m-1)2j=4vm(2j)+1,其中vm(2j-1),vm(2j)∈N,j=1,2,…,s.為了方便，設(shè)f(n)=a0n2s+a1n2s-1+…+a2s，A=a0+a2+…+a2s，B=a1+a3+…+a2s-1.因此，

f(4m+1)=[(a2s+a2s-2n2+…+a0n2s)+(a2s-1n+a2s-3n3+…+a1n2s-1)]|4m+1

=4[a2sum(0)+a2s-2um(2)+…+a0um(2s)+a2s-1u(1)+a2s-3u(3)+…

+a1u(2s-1)]+(a0+a2+…+a2s)+(a1+a3+…+a2s-1)?4r+A+B.

根據(jù)已知條件，(i)A=4p′+1,，B=4q′,p′,q′∈Z，可得f(4m+1)=4w+1,w∈Z.

同理f(4m+3)=4r′+A-B=4w′+1,w′∈Z.可得該級(jí)數(shù)部分和

由此可得，Sn→(n→).該級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)于(ii)A=4p′+1，B=4q′+2,p′,q′∈Z；(iii)A=4p′+3，

B=4q′,p′,q′∈Z；(iv)A=4p′+3，B=4q′+2,p′,q′∈Z.該級(jí)數(shù)均發(fā)散.對(duì)其它情況，類似方法可得該級(jí)數(shù)收斂.對(duì)于k=2s+1,s∈N時(shí)，類似可得結(jié)論.證畢.

推論設(shè)C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,k},D={a2j|a2j=2r2j+1∈C,r2j∈Z}，