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合肥一六八玫瑰園學(xué)校教育集團(tuán)/ 李巖

卜以樓老師的生長(zhǎng)數(shù)學(xué)觀認(rèn)為：教學(xué)的首要任務(wù),就是要明晰“教什么”的問(wèn)題?！敖淌裁础笔侵浮敖虒W(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”。如果說(shuō)教師教什么,學(xué)生就得聽(tīng)什么,那么教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位的關(guān)系就不明確,很容易變成以教師為主宰。教師把“學(xué)生學(xué)什么”作為教的內(nèi)容,那關(guān)系就比較明確了,教師要教學(xué)生的是“學(xué)什么”,就是引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去發(fā)現(xiàn)、去探究、去歸納、去判斷、去概括……去把本來(lái)教師要教的東西變?yōu)閷W(xué)生自己去探索他所應(yīng)該學(xué)的東西。本文以上述“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)談?wù)勔坏乐锌荚囶}的教學(xué)。

一、試題呈現(xiàn)

已知： 在矩形ABCD 中，BD 是對(duì)角線，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD 于點(diǎn)F，如圖1。

（1） 求證：AE=CF；

（2） 如圖2，當(dāng)∠ADB=30°時(shí)，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2 中四個(gè)三角形,使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的。

圖1

圖2

二、學(xué)生解決問(wèn)題情況反饋

本題是2019 年黑龍江省哈爾濱市的一道中考試題。第（1）題是證明兩條線段相等，可利用全等三角形進(jìn)行證明。通過(guò)對(duì)學(xué)生解題情況的觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生選擇哪一對(duì)三角形以及證明這一對(duì)三角形全等的條件的選擇都具有多樣性，而且都能較為順利地解決。第（2）題需要根據(jù)圖形和題意直接寫出符合條件的四個(gè)三角形。筆者在巡視指導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析題目不夠透徹，對(duì)于面積的計(jì)算找不到抓手，沒(méi)有回歸題目的本質(zhì)從三角形的高入手思考問(wèn)題，進(jìn)而在直接寫出結(jié)論的過(guò)程中出現(xiàn)攔路虎，基礎(chǔ)稍弱的同學(xué)基本放棄了思考。即使有學(xué)生得到了結(jié)果，但基本都是通過(guò)添加輔助線而得出的。

那么，對(duì)于類似的問(wèn)題，教師應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決呢？ 這其實(shí)就是教師要明確“教什么”的問(wèn)題，事實(shí)上就是指“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去發(fā)現(xiàn)、去探究、去歸納、去判斷、去概括等，把本來(lái)需要教師教的東西變成學(xué)生自己經(jīng)過(guò)探究應(yīng)該獲取的東西。

三、以生長(zhǎng)數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的教學(xué)觀是將自然生長(zhǎng)的理念引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的教學(xué)，是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)助力個(gè)體生命生長(zhǎng)的教學(xué)，是前后一致的、邏輯連貫的、一以貫之的數(shù)學(xué)教學(xué)。在這個(gè)過(guò)程中,需要關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)、生命的生長(zhǎng)、智慧的生長(zhǎng)、境界的生長(zhǎng)。回到具體問(wèn)題的解決上來(lái)，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生干什么、怎么干、干干看和回頭看。

1.干什么

可以引導(dǎo)學(xué)生按照以下步驟對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析。

（1） 題目要我們干什么？

第（1）問(wèn)要求證明什么？第（2）問(wèn)如何直接得出四個(gè)三角形？

立意：確定問(wèn)題最終目的，讓學(xué)生在梳理?xiàng)l件過(guò)程中有明確的方向。在第（2）問(wèn)中要明確要求不能添加輔助線。

（2） 題目中的所給條件有哪些？

立意：梳理題目中的已知條件，哪些條件可以為我所用。對(duì)于本題，已給條件有：①四邊形ABCD 是矩形；②BD 是對(duì)角線；③AE⊥BD 于點(diǎn)E；④CF⊥BD 于點(diǎn)F。第（2）問(wèn)中又給出的條件是：⑤∠ADB=30°；⑥不添加任何輔助線；⑦寫出的四個(gè)三角形中的每個(gè)三角形的面積都等于矩形面積的。

（3） 題目中的隱含條件又有哪些呢？

立意：題目中隱含條件的挖掘往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。本題的隱含條件有（由矩形的性質(zhì)可得）：①對(duì)邊相等AB=CD，AD=BC ；②對(duì)邊平行AB∥CD，AD∥BC；③內(nèi)錯(cuò)角相等∠ABE=∠CDF，∠CBE=∠ADE，等。

2.怎么干

第（1）問(wèn)要求證明AE=CF，這是證明兩條線段相等。目前我們證明線段相等的方法有很多，學(xué)生也非常容易想到最直接的方法就是尋找并證明兩個(gè)三角形全等，而這一點(diǎn)并不難。問(wèn)題的關(guān)鍵在于教師要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)深入思考，領(lǐng)悟第（1）問(wèn)的作用，關(guān)注第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)之間的聯(lián)系，第（1）問(wèn)能否為第（2）問(wèn)的解決提供必要的幫助。對(duì)于怎么干，路徑和方向很重要。

3.干干看

當(dāng)我們有了解決問(wèn)題的清晰思路，抑或只是有了一點(diǎn)苗頭，接著就應(yīng)該進(jìn)行大膽嘗試，或許在嘗試過(guò)程中，我們的思路有可能豁然開(kāi)朗。

問(wèn)題（1）的證明：在矩形ABCD 中，∵AB∥CD 且AB=CD，∴∠ABE=∠CDF。又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°?！摺螦BE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDF?！郃E=CF。

對(duì)于問(wèn)題（2），可以考慮兩個(gè)思路。

（2） ∵S△ABE=DF·AE，且BE=DF，∴ S△ABE=S△ADF=S矩形ABCD。同理S△BCE=SS矩形ABCD。所以，四個(gè)三角形分別是△ABE，△ADF，△CBE，△CDF。

4.回頭看

本題考察了矩形的性質(zhì)、全等三角形、含30°角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、等積三角形等知識(shí)，對(duì)學(xué)生的綜合能力有較高的要求，“等底等高的兩個(gè)三角形面積相等”是解決本題的關(guān)鍵。第（1）問(wèn)的證明兩條線段相等并不是一個(gè)孤立的問(wèn)題，而是為了證明第（2）問(wèn)中的兩個(gè)△ABE 和△CBE 的高相等，這樣四個(gè)三角形面積相等也就自然而然地得到了。至于面積如何等于原矩形面積的，則可以由含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系來(lái)確定。

從此題的解答過(guò)程中可以看出，題目本身難度不大，但得分率不高，原因在于學(xué)生在找已知條件時(shí)，不能充分挖掘題目本身的隱含條件，而本題對(duì)于隱含信息的梳理尤為重要。這就需要借助幾何直觀將問(wèn)題變得簡(jiǎn)明與形象，以便于學(xué)生探索解決問(wèn)題的策略與方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的升華。

四、結(jié)束語(yǔ)

北京大學(xué)丘維聲教授說(shuō)過(guò)：“學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)數(shù)學(xué)思維方式?！币虼耍虜?shù)學(xué)也就是教數(shù)學(xué)思維方式。思維方式既具有策略的宏觀靈動(dòng)，又具有方法的微觀定向。對(duì)于圖形問(wèn)題，需要經(jīng)歷抽象、分析、計(jì)算、思維生長(zhǎng)等過(guò)程，探索圖形中各元素之間的關(guān)系，然后通過(guò)邏輯推理進(jìn)行證明，這個(gè)過(guò)程可以讓學(xué)生清晰地體會(huì)到合情推理和演繹推理的靈魂。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，不能單純依賴教師的“教”，而是需要學(xué)生參與其中，遵循知識(shí)生長(zhǎng)規(guī)律，尋找解決問(wèn)題策略，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累解決問(wèn)題的能力和經(jīng)驗(yàn)。